Chi-Quadrat-Verteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ( $\chi ^{2}$ -Verteilung) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. Üblicherweise ist mit „Chi-Quadrat-Verteilung“ die zentrale Chi-Quadrat-Verteilung gemeint. Ihr einziger Parameter muss eine natürliche Zahl sein und wird Freiheitsgrad genannt.

Sie ist eine der Verteilungen, die aus der Normalverteilung ${\mathcal {N}}\left(\mu ,\sigma ^{2}\right)$ abgeleitet werden können: Hat man Zufallsvariablen $Z_{i}$ , die unabhängig und standardnormalverteilt sind, so ist die Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden definiert als die Verteilung der Summe der quadrierten Zufallsvariablen $Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{n}^{2}$ . Solche Summen quadrierter Zufallsvariablen treten bei Schätzfunktionen wie der Stichprobenvarianz zur Schätzung der Varianz einer Stichprobe auf. Die Chi-Quadrat-Verteilung ermöglicht damit unter anderem ein Urteil über die Kompatibilität eines vermuteten funktionalen Zusammenhangs (Abhängigkeit von der Zeit, Temperatur, Druck etc.) mit empirisch ermittelten Messpunkten. Kann z.B. eine Gerade die Daten erklären, oder braucht man doch eine Parabel oder vielleicht einen Logarithmus? Man wählt verschiedene Modelle aus, und dasjenige mit der besten Anpassungsgüte, dem kleinsten $\chi ^{2}$ , bietet die beste Erklärung der Daten. So stellt die $\chi ^{2}$ -Verteilung durch die Quantifizierung der zufälligen Schwankungen die Auswahl verschiedener Erklärungsmodelle auf eine numerische Basis. Außerdem erlaubt sie, wenn man die empirische Varianz bestimmt hat, die Schätzung des Vertrauensintervalls, das den (unbekannten) Wert der Varianz der Grundgesamtheit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einschließt. Diese und weitere Anwendungen sind weiter unten und im Artikel Chi-Quadrat-Tests beschrieben.

Die Chi-Quadrat-Verteilung wurde 1876 eingeführt von Friedrich Robert Helmert, die Bezeichnung stammt von Karl Pearson (1900).

Dichten der Chi-Quadrat-Verteilung mit verschiedenen Freiheitsgraden k

Definition

Dichte und Verteilung von mehreren Chi-Quadrat-verteilten Zufallsgrößen

Die Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden beschreibt die Verteilung der Summe stochastisch unabhängiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen

$\chi _{n}^{2}\sim Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{n}^{2}$ , mit $Z_{k}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ für $k=1,\dots ,n$ .

Das Zeichen $\,\sim$ ist eine Kurzschreibweise für „ist verteilt wie“. Die Summe quadrierter Größen kann keine negativen Werte annehmen.

Im Unterschied dazu gilt für die einfache Summe $Z_{1}+\dotsb +Z_{n}\sim {\mathcal {N}}(0,n)$ mit um den Nullpunkt symmetrischer Verteilung.

Dichte

Die Dichte $f_{n}$ der $\chi_n^2$ -Verteilung mit Freiheitsgraden hat die Form:

$f_{n}(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x^{{{\frac {n}{2}}-1}}e^{{-{\frac x2}}}}{2^{{{\frac {n}{2}}}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$

Dabei steht $\Gamma (r)$ für die Gammafunktion. Die Werte von $\Gamma ({\tfrac {n}{2}})$ kann man mit

$\Gamma ({\tfrac {1}{2}})={\sqrt \pi }\;,\quad \Gamma (1)=1\;,$

$\Gamma (r+1)=r\cdot \Gamma (r){\text{ mit }}r\in {\mathbb {R}}^{+}$ .

berechnen.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion kann man mit Hilfe der regularisierten unvollständigen Gammafunktion schreiben:

$F_{n}(x)=P({\tfrac n2},{\tfrac x2}).$

Wenn eine natürliche Zahl ist, dann kann die Verteilungsfunktion (mehr oder weniger) elementar dargestellt werden:

$P({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {x}{2}})=1-e^{-{\frac {x}{2}}}\sum \limits _{k=0}^{n/2-1}{\frac {1}{\Gamma (k+1)}}({\tfrac {x}{2}})^{k}\quad (n=2,4,\dotsc ),$

$P({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {x}{2}})=\operatorname {Erf} \left({\sqrt {\tfrac {x}{2}}}\right)-e^{-{\frac {x}{2}}}\sum \limits _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor -1}{\frac {1}{\Gamma (k+{\tfrac {3}{2}})}}({\tfrac {x}{2}})^{k+{\tfrac {1}{2}}}\quad (n=1,3,\dotsc ),$

wobei $\operatorname {Erf}$ die Fehlerfunktion bezeichnet. Die Verteilungsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass $\chi_n^2$ im Intervall [0,x] liegt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist

$\operatorname {E}\left(\chi _{n}^{2}\right)=n$ .

Unter der Voraussetzung einer standardnormalverteilten Grundgesamtheit sollte also bei richtiger Abschätzung der Varianz der Grundgesamtheit der Wert $\chi _{n}^{2}/n$ in der Nähe von 1 liegen.

Varianz

Die Varianz der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist

$\operatorname {Var}(\chi _{n}^{2})=2n$ .

Modus

Der Modus der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist n-2 für $n\ge 2$ .

Schiefe

Die Schiefe $\operatorname {v}$ der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist

$\operatorname {v}(\chi _{n}^{2})={\frac {2{\sqrt {2}}}{{\sqrt {n}}}}$ .

Die Chi-Quadrat-Verteilung besitzt eine positive Schiefe, d.h., sie ist linkssteil- bzw. rechtsschief. Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade , desto weniger schief ist die Verteilung.

Kurtosis

Die Kurtosis (Wölbung) $\beta _{2}$ der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist gegeben durch

$\beta _{2}=3+{\frac {12}{n}}$ .

Der Exzess $\gamma_2$ gegenüber der Normalverteilung ergibt sich damit zu $\gamma _{2}={\tfrac {12}{n}}$ . Daher gilt: Je höher die Anzahl der Freiheitsgrade , desto geringer der Exzess.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion für $X\sim \chi _{n}^{2}$ hat die Form

$M_X(t) = \frac{1}{(1-2 t)^{n/2}}$ .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion für $X\sim \chi _{n}^{2}$ ergibt sich aus der momenterzeugenden Funktion als:

$\varphi _{X}(s)={\frac {1}{(1-2is)^{{n/2}}}}$ .

Entropie

Die Entropie der Chi-Quadrat-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

$H(X)=\ln \left(2\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {n}{2}}\right)\psi \left({\frac {n}{2}}\right)+{\frac {n}{2}},$

wobei ψ(p) die Digamma-Funktion bezeichnet.

Summe $\chi ^{2}$ -verteilter Zufallsvariablen

Sind $X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}$ unabhängige, $\chi ^{2}$ -verteilte Zufallsvariablen, mit $X_{i}\sim \chi ^{2}(m_{i})$ , so gilt:

$\sum _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim (Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{{m_{1}}}^{2})+\dotsb +(Z_{{1+m_{1}+\dotsb +m_{{n-1}}}}^{2}+\dotsb +Z_{{m_{n}+m_{1}+\dotsb +m_{{n-1}}}}^{2})\sim \chi ^{2}\left(\sum _{{i=1}}^{n}m_{i}\right)$ .

Darin sind die standardnormalverteilten Zufallsvariablen $Z_{k}$ unabhängig, und deshalb ist die Summe wieder $\chi ^{2}$ -verteilt. Die Chi-Quadrat-Verteilung ist also reproduktiv.

Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung

Wenn die normalverteilten Zufallsvariablen nicht bezüglich ihres Erwartungswertes $\mu _{i}(i=1,\ldots ,n)$ zentriert sind (d.h., wenn nicht alle $\mu _{i}=0$ sind), erhält man die nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung. Sie hat als zweiten Parameter neben den Nichtzentralitätsparameter $\lambda >0$ .

Seien $Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{i},1),\,i=1,2,\ldots ,n$ , so ist

$\sum _{{i=1}}^{n}{Z_{i}}^{2}\sim \chi ^{2}(n,\lambda )$ mit $\lambda =\sum _{{i=1}}^{n}{\mu _{i}}^{2}$ .

Insbesondere folgt aus $\,X\sim \chi ^{2}(n-1)$ und $Z\sim {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }},1)$ , dass $\,X+Z^{2}\sim \chi ^{2}(n,\lambda )$ ist.

Eine zweite Möglichkeit, eine nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung zu erzeugen, ist als Mischverteilung der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung. Dabei ist

$\chi ^{2}(n+2\,j)=\chi ^{2}(n,\lambda )$ ,

wenn $j\sim {\mathcal {P}}\left({\tfrac {\lambda }{2}}\right)$ aus einer Poisson-Verteilung gezogen wird.

Dichtefunktion

Die Dichtefunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung ist

$f(x)={\frac {\exp {\left[-{\frac {1}{2}}(x+\lambda )\right]}}{2^{{{\frac {n}{2}}}}}}\,\sum _{{j=0}}^{\infty }{\frac {x^{{{\frac {n}{2}}+j-1}}\lambda ^{j}}{2^{{2j}}\,\Gamma \left({\frac {n}{2}}+j\right)\,j!}}$ für $x\geq 0$ , $\,f(x)=0$ für $\,x<0$ .

Die Summe über j führt auf eine modifizierte Bessel-Funktion erster Gattung $I_{q}(x)$ . Damit erhält die Dichtefunktion folgende Form:

$f(x)={\frac {\exp {\left[-{\frac {1}{2}}(x+\lambda )\right]}x^{{{\frac {1}{2}}(n-1)}}{\sqrt {\lambda }}}{2(\lambda x)^{{{\frac {n}{4}}}}}}\,I_{{{\frac {n}{2}}-1}}\left({\sqrt {\lambda x}}\right)$ für $x\geq 0$ .

Erwartungswert und Varianz der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung $n+\lambda$ und $2n+4\lambda$ gehen ebenso wie die Dichte selbst bei $\lambda \to 0$ in die entsprechenden Ausdrücke der zentralen Chi-Quadrat-Verteilung über.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion der nichtzentralen Chi-Quadrat-Verteilung kann mit Hilfe der Marcum-Q-Funktion $Q_{M}(a,b)$ ausgedrückt werden.

$F(x)=1-Q_{{{\frac {n}{2}}}}\left({\sqrt {\lambda }},{\sqrt {x}}\right)$

Beispiel

Man macht Messungen einer Größe , die aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammen. Sei ${\overline {x}}$ der Mittelwert der gemessenen Werte und

$s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{{k=1}}^{n}(x_{k}-\overline {x})^{2}$

die korrigierte Stichprobenvarianz. Dann lässt sich z.B. das 95 %-Konfidenzintervall für die Varianz $\sigma ^{2}$ angeben:

${\tfrac {n-1}{\chi _{b}^{2}}}\,s^{2}\leq \sigma ^{2}\leq {\tfrac {n-1}{\chi _{a}^{2}}}\,s^{2},$

wobei $\chi _{b}^{2}$ durch $F_{{n-1}}(\chi _{b}^{2})=0{,}975$ und $\chi _{a}^{2}$ durch $F_{{n-1}}(\chi _{a}^{2})=0{,}025$ bestimmt wird, und deshalb auch $\chi _{a}^{2}\leq n-1\leq \chi _{b}^{2}$ . Die Grenzen ergeben sich daraus, dass ${\tfrac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}$ wie $\chi _{{n-1}}^{2}$ verteilt ist.

Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz

Sei $x_{{1}},\dots ,x_{{n}}$ eine Stichprobe von Messwerten, gezogen aus einer normalverteilten Zufallsvariablen mit arithmetischem Mittelwert ${\overline {x}}={\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$ und Stichprobenvarianz $s^{2}={\tfrac {1}{n-1}}\sum _{{i=1}}^{n}(x_{i}-\overline {x})^{2}$ als Schätzfunktionen für Erwartungswert $\mu$ und Varianz $\sigma ^{2}$ der Grundgesamtheit.

Dann lässt sich zeigen, dass ${\tfrac {(n-1)s^{2}}{\sigma ^{2}}}=\sum _{{i=1}}^{n}{\tfrac {(x_{i}-\overline {x})^{2}}{\sigma ^{2}}}$ verteilt ist wie $\chi _{{n-1}}^{2}$ .

Dazu werden nach Helmert die $(x_{i})$ mittels einer orthonormalen Linearkombination in neue Variablen $(y_{j})$ transformiert. Die Transformation lautet:

$y_{{1}}={\tfrac {1}{{\sqrt {2}}}}x_{{1}}-{\tfrac {1}{{\sqrt {2}}}}x_{{2}}$

$y_{{2}}={\tfrac {1}{{\sqrt {6}}}}x_{{1}}+{\tfrac {1}{{\sqrt {6}}}}x_{{2}}-{\tfrac {2}{{\sqrt {6}}}}x_{{3}}$

$\vdots$

$y_{{n-1}}={\tfrac {1}{{\sqrt {n(n-1)}}}}x_{{1}}+{\tfrac {1}{{\sqrt {n(n-1)}}}}x_{{2}}+\dotsb +{\tfrac {1}{{\sqrt {n(n-1)}}}}x_{{n-1}}-{\tfrac {n-1}{{\sqrt {n(n-1)}}}}x_{{n}}$

$y_{n}={\tfrac {1}{\sqrt {n}}}x_{1}+{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}x_{2}+\dotsb +{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}x_{n-1}+{\tfrac {1}{\sqrt {n}}}x_{n}={\sqrt {n}}\,{\overline {x}}.$

Die neuen unabhängigen Variablen $y_{i}$ sind wie normalverteilt mit gleicher Varianz $\sigma _{{y_{i}}}^{2}=\sigma _{{x_{i}}}^{2}=\sigma ^{2},(i=1,\dots ,n)$ , aber mit Erwartungswert ${\mathrm {E}}(y_{i})=0,(i=1,\dots ,n-1),$ beides aufgrund der Faltungsinvarianz der Normalverteilung.

Außerdem gilt für die Koeffizienten $a_{{ij}}$ in $y_{{i}}=\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{{j}}$ (falls j>i+1 , ist $a_{{ij}}=0$ ) wegen der Orthonormalität $\sum _{{i=1}}^{n}a_{{ij}}a_{{ik}}=\delta _{{jk}}$ (Kronecker-Delta) und damit

$\sum _{{i=1}}^{n}y_{{i}}^{2}=\sum _{{i=1}}^{n}\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{{j}}\sum _{{k=1}}^{n}a_{{ik}}x_{{k}}=\sum _{{j=1}}^{n}\sum _{{k=1}}^{n}\delta _{{jk}}x_{{j}}x_{{k}}=\sum _{{j=1}}^{n}x_{{j}}^{2}.$

Deshalb ergibt sich nun

$(n-1)s^{2}=\sum _{{i=1}}^{n}(x_{i}-\overline {x})^{2}=\sum _{{i=1}}^{n}x_{{i}}^{2}-n\overline {x}^{2}=\sum _{{i=1}}^{n}y_{{i}}^{2}-y_{{n}}^{2}=\sum _{{i=1}}^{{n-1}}y_{{i}}^{2}$

und schlussendlich nach Division durch $\sigma ^{2}$

$(n-1){\frac {s^{2}}{\sigma ^{2}}}=\sum _{{i=1}}^{{n-1}}{\frac {y_{i}^{2}}{\sigma ^{2}}}.$

Der Ausdruck auf der linken Seite ist offenbar verteilt wie eine Summe von quadrierten standardnormalverteilten unabhängigen Variablen mit n-1 Summanden, wie für $\chi _{{n-1}}^{2}$ gefordert.

Demnach ist also $\sum _{{i=1}}^{n}\left({\tfrac {x_{i}-\overline {x}}{\sigma }}\right)^{2}\sim \chi _{{n-1}}^{2}$ , während laut Definition der Chi-Quadrat-Summe $\sum _{{i=1}}^{n}\left({\tfrac {x_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\sim \chi _{{n}}^{2}$ . Ein Freiheitsgrad wird hier 'verbraucht', denn im Gegensatz zum Erwartungswert der Grundgesamtheit $\mu$ ist der berechnete arithmetische Mittelwert $\overline {x}={\tfrac {1}{n}}\sum x_{i}$ von den $\ x_{i}$ abhängig.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Gammaverteilung

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist ein Spezialfall der Gammaverteilung. Ist $X\sim \chi _{n}^{2}$ , so gilt

$X\sim \gamma ({\tfrac {n}{2}},{\tfrac {1}{2}}).$

Beziehung zur Normalverteilung

Quantile einer Normalverteilung und einer Chi-Quadrat-Verteilung

Die Summe $X_{n}=Z_{1}^{2}+\dotsb +Z_{n}^{2}$ von unabhängigen quadrierten standardnormalverteilten Zufallsvariablen $Z_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1)(i=1,\ldots ,n)$ genügt einer Chi-Quadrat-Verteilung $X_{n}\sim \chi _{n}^{2}$ mit Freiheitsgraden.

Für $n\geq 30$ ist $Y={\sqrt {2X}}-{\sqrt {2n-1}}$ näherungsweise standardnormalverteilt.

Für ist die Zufallsvariable $X_{n}$ näherungsweise normalverteilt, mit Erwartungswert und Standardabweichung ${\sqrt {2n}}$ bzw. bei einer nicht-zentralen Chi-Quadrat-Verteilung mit Erwartungswert $n+\lambda$ und Standardabweichung ${\sqrt {2n+4\lambda }}$ .

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden ist eine Exponentialverteilung $\operatorname {Exp}(\lambda )$ mit dem Parameter $\,\lambda =1/2$ .

Beziehung zur Erlang-Verteilung

Eine Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist identisch mit einer Erlang-Verteilung $\operatorname {Erl}(\lambda ,n)$ mit Freiheitsgraden und $\,\lambda =1/2$ .

Beziehung zur F -Verteilung

Wenn $Y_{{m}}\,$ und $X_{{n}}\,$ unabhängige $\chi ^{{2}}\,$ -verteilte Zufallsvariablen mit den Freiheitsgraden und sind, dann ist der Quotient

$F_{{m,n}}={\frac {Y_{{m}}/m}{X_{{n}}/n}}$

eine Zufallsvariable, die der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden $(m,\,n)$ genügt.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Verteilungsfunktionen der Poisson-Verteilung und der $\chi_n^2$ -Verteilung hängen auf folgende Weise zusammen:

Die Wahrscheinlichkeit, oder mehr Ereignisse in einem Intervall zu finden, innerhalb dessen man im Mittel $\lambda$ Ereignisse erwartet, gleicht der Wahrscheinlichkeit, dass der Wert von $\chi_{2n}^2\leq 2\lambda$ ist. Es gilt nämlich

$1-Q(n,\lambda )=P(n,\lambda ),$

mit und als regularisierte Gammafunktionen.

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Für gerade n=2m kann man die $\chi_n^2$ -Verteilung als -fache Faltung bilden mit Hilfe der gleichmäßig stetigen Dichte U(0,1) :

$\chi _{n}^{2}=-2\ln {\left(\prod _{{i=1}}^{m}u_{i}\right)}=-2\sum _{{i=1}}^{m}\ln(u_{i})$ ,

worin die $u_{i}$ unabhängige gleichmäßig stetig verteilte Zufallsvariablen sind.

Für ungerade gilt dagegen

$\chi _{n}^{2}=\chi _{{n-1}}^{2}+\left[{\mathcal {N}}(0,1)\right]^{{2}}.$

Herleitung der Dichtefunktion

Die Dichte der Zufallsvariable $\chi _{n}^{2}=X_{1}^{2}+\dotsb +X_{n}^{2}$ , mit $X_{1},\dots ,X_{n}$ unabhängig und standardnormalverteilt, ergibt sich aus der gemeinsamen Dichte der Zufallsvariablen $X_{1},\dots ,X_{n}$ . Diese gemeinsame Dichte ist das -fache Produkt der Standardnormalverteilungsdichte:

$f_{{X_{1},\dots ,X_{n}}}(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{{i=1}}^{n}{\frac {e^{{-{\frac 12}x_{i}^{2}}}}{{\sqrt {2\pi }}}}=(2\pi )^{{-{\frac n2}}}e^{{-{\frac 12}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}}.$

Für die gesuchte Dichte gilt:

${\begin{aligned}f_{{\chi _{n}^{2}}}(z)&=\lim _{{h\to 0}}{\frac 1h}P(z<\chi _{n}^{2}\leq z+h)\\&=\lim _{{h\to 0}}{\frac 1h}\int \limits _{K}(2\pi )^{{-{\frac n2}}}e^{{-{\frac 12}(x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2})}}\,dx_{1}\ldots dx_{n}\\&=(2\pi )^{{-{\tfrac n2}}}e^{{-{\frac z2}}}\lim _{{h\to 0}}{\frac 1h}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}\\\end{aligned}}$

mit $K=\{z\leq x_{1}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\leq z+h\}.$

Im Grenzwert ist die Summe im Argument der Exponentialfunktion gleich z, sie darf deshalb vor das Integral und den Limes gezogen werden.

Das verbleibende Integral

$\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}=V_{n}({\sqrt {z+h}})-V_{n}({\sqrt z})$

entspricht dem Volumen der Schale zwischen der Kugel mit Radius ${\sqrt {z+h}}$ und der Kugel mit Radius ${\sqrt z}$ ,

wobei $V_{n}(R)={\frac {\pi ^{{{\frac n2}}}R^{n}}{\Gamma ({\frac n2}+1)}}$ das Volumen der n-dimensionalen Kugel mit Radius R angibt.

Es folgt: $\lim _{{h\to 0}}{\frac 1h}\int \limits _{K}dx_{1}\ldots dx_{n}={\frac {dV_{n}({\sqrt {z}})}{dz}}={\frac {\pi ^{{{\tfrac n2}}}z^{{{\tfrac n2}-1}}}{\Gamma ({\tfrac n2})}}$

und nach Einsetzen in den Ausdruck für die gesuchte Dichte:

$f_{{\chi _{n}^{2}}}(z)={\frac {z^{{{\frac n2}-1}}e^{{-{\frac z2}}}}{2^{{{\frac n2}}}\Gamma ({\frac n2})}}$ .

Quantilfunktion

Die Quantilfunktion x_p der $\chi ^{2}$ -Verteilung ist die Lösung der Gleichung $p=P({\tfrac n2},{\tfrac {x_{p}}2})$ und damit prinzipiell über die Umkehrfunktion zu berechnen. Konkret gilt hier

$x_{p}=2P^{{-1}}\left({\tfrac n2},p\right),$

mit > $P^{{-1}}$ als Inverse der regularisierten unvollständigen Gammafunktion.

Quantilfunktion für kleinen Stichprobenumfang

Für wenige Werte (1, 2, 4) kann man die Quantilfunktion auch alternativ angeben:

$n=1:x_{p}=2(\operatorname {Erf}^{{-1}}(p))^{2},$

$n=2:x_{p}=-2\,\ln(1-p),$

$n=4:x_{p}=-2\,(1+W_{{-1}}(-(1-p)/e)),$ /DD>

wobei $\operatorname {Erf}$ die Fehlerfunktion, $W_{{-1}}(x)\,$ den unteren Zweig der Lambertschen W-Funktion bezeichnet und die Eulersche Zahl.

Näherung der Quantilfunktion für feste Wahrscheinlichkeiten

Für bestimmte feste Wahrscheinlichkeiten lassen sich die zugehörigen Quantile x_p durch die einfache Funktion des Stichprobenumfangs

$x_{p}\approx n+a{\sqrt {n+\operatorname{sgn}(a){\sqrt {n}}}}+b+c/n$

mit den Parametern a,b,c aus der Tabelle annähern, wobei $\operatorname{sgn}(a)$ die Signum Funktion bezeichnet, die einfach das Vorzeichen ihres Arguments darstellt:

0,005	0,01	0,025	0,05	0,1	0,5	0,9	0,95	0,975	0,99	0,995
-3,643	-3,298	-2,787	-2,34	-1,83	0	1,82	2,34	2,78	3,29	3,63
1,8947	1,327	0,6	0,082	-0,348	-0,67	-0,58	-0,15	0,43	1,3	2
-2,14	-1,46	-0,69	-0,24	0	0,104	-0,34	-0,4	-0,4	-0,3	0

Der Vergleich mit einer $\chi ^{2}$ -Tabelle zeigt ab n>3 einen relativen Fehler unter 0,4 %, ab n>10 unter 0,1 %. Da die $\chi ^{2}$ -Verteilung für große in eine Normalverteilung mit Standardabweichung ${\sqrt {2n}}$ übergeht, besitzt der Parameter aus der Tabelle, der hier frei gefittet wurde, bei der entsprechenden Wahrscheinlichkeit etwa die Größe des ${\sqrt {2}}$ -fachen des Quantils der Normalverteilung ( ${\sqrt {2}}\,\operatorname {Erf}^{{-1}}(2p-1)$ ), wobei $\operatorname {Erf}^{{-1}}$ die Umkehrfunktion der Fehlerfunktion bedeutet.

Das 95 % - Konfidenzintervall der Varianz aus dem Abschnitt Beispiel kann z.B. mit den beiden Funktionen $x_{p}$ aus den Zeilen mit $p=0{,}025\to \chi _{a}^{2}$ und $p=0{,}975\to \chi _{b}^{2}$ auf einfache Weise als Funktion von grafisch dargestellt werden.