Vorzeichenfunktion

Die Vorzeichenfunktion oder Signumfunktion (von lateinisch signum Zeichen) ist in der Mathematik eine Funktion, die einer reellen oder komplexen Zahl ihr Vorzeichen zuordnet.

Vorzeichenfunktion auf den reellen Zahlen

Definition

Graph der Vorzeichenfunktion

Die reelle Vorzeichenfunktion bildet von der Menge der reellen Zahlen in die Menge $\{-1,0,1\}$ ab und wird in der Regel wie folgt definiert:

$\sgn(x):= \begin{cases} +1 & \; \text{falls} \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; \text{falls} \; x=0 \\ -1 & \; \text{falls} \; x<0 \\ \end{cases}$

Sie ordnet also den positiven Zahlen den Wert +1, den negativen Zahlen den Wert −1 und der 0 den Wert 0 zu.

Bei Anwendungen in der Rechentechnik verzichtet man mitunter auf eine Sonderstellung der 0, diese wird dann den positiven, negativen oder beiden Zahlenbereichen zugeordnet. Dadurch lässt sich das Vorzeichen einer Zahl in einem einzigen Bit kodieren.

Ableitung und Integral

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig.

Die Vorzeichenfunktion ist an der Stelle x=0 nicht stetig und damit dort nicht klassisch differenzierbar. Für alle anderen Stellen $x\neq 0$ ist die Vorzeichenfunktion differenzierbar mit $\sgn^\prime(x) = 0$ . Die Vorzeichenfunktion besitzt auch keine schwache Ableitung. Allerdings ist sie im Sinne von Distributionen differenzierbar, und ihre Ableitung ist $2\delta$ , wobei $\delta$ die Delta-Distribution bezeichnet.

Ferner gilt für alle $x \in \R$

$|x|=\int_0^x \sgn(t)\, dt\,.$

Die Vorzeichenfunktion ist darüber hinaus die schwache Ableitung der Betragsfunktion.

Vorzeichenfunktion auf den komplexen Zahlen

Definition

Signum von vier komplexen Zahlen

Im Vergleich zur Vorzeichenfunktion reeller Zahlen wird nur selten die folgende Erweiterung auf komplexe Zahlen betrachtet:

$\sgn(z) := \begin{cases} \frac {z} {|z|} & \; \text{falls} \; z\ne 0 \\ 0 & \; \text{falls} \; z=0 \\ \end{cases}$

Das Ergebnis dieser Funktion liegt für $z \ne 0$ auf dem Einheitskreis und besitzt dasselbe Argument wie der Ausgangswert, insbesondere gilt

$\sgn\left(r\mathrm e^{\mathrm i\varphi}\right)=\mathrm e^{\mathrm i\varphi},\qquad\mathrm{falls}\ r>0.$

Beispiel: $z_1 = 2 + 2\mathrm i$ (im Bild rot)

$\operatorname{sgn}(z_1) = \operatorname{sgn}(2 + 2\mathrm i) = \frac {2 + 2\mathrm i} {\left| 2 + 2\mathrm i \right|} = \frac {2 + 2\mathrm i} {2\sqrt2} = \frac {1 + \mathrm i} {\sqrt{2}} = \frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}{2} {\mathrm i}.$

Rechenregeln

Für die komplexe Vorzeichenfunktion gelten die folgenden Rechenregeln:

Für alle komplexen Zahlen und gilt:

$z=|z|\cdot\sgn z$ für alle wobei den Betrag von bezeichnet;
$\operatorname{sgn}(\bar z) = \overline{\operatorname{sgn}(z)}$ , wobei der Querstrich die komplexe Konjugation bezeichnet;
, insbesondere
- $\sgn(\lambda\cdot z)=\sgn z$ für positive reelle $\lambda$ ,
- $\sgn(\lambda\cdot z)=-\sgn z$ für negative reelle $\lambda$ ,
- $\operatorname{sgn}(-z) = -\operatorname{sgn}(z)$ ;
$\operatorname{sgn}(|z|) = |\operatorname{sgn}(z)|$ .
Falls $z\ne0$ ist, gilt auch

$\operatorname{sgn}(z^{-1}) = \operatorname{sgn}(z)^{-1} = \overline{\operatorname{sgn}(z)}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Basierend auf einem Artikel in Wikipedia.de