Digamma-Funktion

Die Digamma-Funktion $\psi(x)$ in der komplexen Zahlenebene.

Die Digamma-Funktion oder Psi-Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die definiert wird als:

$\psi (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}$

Sie ist also die logarithmische Ableitung der Gammafunktion. Die Digamma-Funktion ist die erste der Polygammafunktionen. Bis auf ihre Pole erster Ordnung für negative ganze Argumente ist sie (genau wie die Gammafunktion) in ganz $\mathbb {C}$ holomorph.

Berechnung

Die Beziehung zur harmonischen Reihe

Die Digammafunktion, welche meist als ψ₀(x), ψ⁰(x) oder $\digamma$ (nach der Form des vorklassischen griechischen Buchstaben Ϝ digamma) dargestellt wird, steht mit der harmonischen Reihe in folgender Beziehung:

$\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!$

wobei H_n das n-te Element der harmonischen Reihe und γ die Euler-Mascheroni-Konstante ist. Für halbzahlige Werte kann sie geschrieben werden als:

$\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}.$

Integral-Darstellung

Die Digammafunktion kann wie folgt als Integral dargestellt werden:

$\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\, \mathrm dt.$

Dies kann auch geschrieben werden als:

$\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} \, \mathrm dx.$

Dies folgt aus der Formel für das Euler-Integral für die harmonische Reihe.

Taylor-Reihe

Durch Reihenentwicklung der Taylor-Reihe um den Punkt z=1 kann die Digammafunktion wie folgt dargestellt werden:

$\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k.$

Sie konvergiert für |z|< 1. Dabei ist $\zeta(n)$ die Riemannsche ζ-Funktion. Die Reihe kann leicht von der zugehörigen Taylor-Reihe für die Hurwitzsche ζ-Funktion hergeleitet werden.

Binomische Reihe

Die binomische Reihe für die Digammafunktion folgt aus dem Euler-Integral

$\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k},$

wobei $\tbinom sk$ der verallgemeinerte Binomialkoeffizient ist.

Funktionalgleichung

Die Digammafunktion genügt folgender Funktionalgleichung, welche direkt aus der logarithmischen Ableitung der Gammafunktion hergeleitet werden kann:

$\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }.$

Hiermit kann allerdings nicht ψ(1/2) berechnet werden; dieser Wert ist unten angegeben.

Rekursionsformel und Summenausdrücke

Die Digamma-Funktion genügt der Rekursionsformel

$\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}.$

oder

$\Delta [\psi] (x) = \frac{1}{x},$

wobei Δ der rechtsseitige Differenzoperator ist. Dies erfüllt die Rekursionsbeziehung der harmonischen Reihe. Daraus folgt

$\psi(n)\ =\ H_{n-1} - \gamma.$

Allgemeiner gilt:

$\psi(x) = -\gamma + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{x+k-1} \right).$

Aus der Gaußschen Produktdarstellung der Gammafunktion lässt sich äquivalent dazu

$\psi(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\ln n-\sum\limits_{k=0}^n\frac1{x+k}\right)$ .

schlussfolgern.

Quotientenbeziehung zur Gammafunktion

Für den Quotienten aus Digammafunktion und Gammafunktion liefert die Produktdarstellung den Ausdruck

$\frac{\psi(x)}{\Gamma(x)}= \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\ln n\prod\limits_{k=0}^n(x+k)-\sum\limits_{j=0}^n\prod\limits_{k=0\atop k\ne j}^n(x+k)}{n!\,n^x}$ .

Bei positiven ganzen Zahlen $m\ge 0$ , bei deren negativen Werten sowohl Digamma- als auch Gammafunktion divergieren, folgt dann

$\frac{\psi(-m)}{\Gamma(-m)}= -\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\prod\limits_{k=0\atop k\ne m}^n(k-m)}{n!\,n^{-m}}= (-1)^{m-1} m! \lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^m}{\prod\limits_{k=n-m+1}^n k}=(-1)^{m-1} m!$ .

Mit Hilfe der Funktionalgleichung für die Gammafunktion findet man sogar heraus, dass der Wert des Quotienten ausschließlich vom Argument der Gammafunktion abhängt, also gilt für ganzzahlige $m,n\geq 0$ schließlich

${\frac {\psi (-m)}{\Gamma (-n)}}=(-1)^{{n-1}}n!$ .

Gaußsche Summe

Die Digammafunktion hat eine Gaußsche Summe der Form

$-\frac1{\pi k} \sum_{n=1}^k \sin\frac{2\pi nm}{k}\, \psi\left(\frac{n}{k}\right) = \zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -\mathrm{B}_1 \left(\frac{m}{k}\right) = \frac{1}{2} - \frac{m}{k}$

für natürliche Zahlen 0<m<k . Dabei ist ζ(s,q) die Hurwitzsche ζ-Funktion und $\mathrm{B}_n(x)$ das Bernoulli-Polynom. Ein Spezialfall des Multiplikationstheorem ist

$\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right) =-k(\gamma+\ln k).$

Gaußsches Digamma-Theorem

Für ganze Zahlen und (mit $m<k$ ) kann die Digammafunktion mit elementaren Funktionen ausgedrückt werden

$\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\frac{m\pi}{k} +2\sum_{n=1}^{\left[\frac{k-1}2\right]} \cos\frac{2\pi nm}{k}\, \ln\sin\frac{n\pi}{k}.$