Polygammafunktion

Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
m = 0 m = 1 m = 2 m = 3 m = 4

In der Mathematik sind die Polygammafunktionen $\psi _{n}(z)$ eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion $\ln \Gamma (z)$ definiert sind. Dabei bezeichnet $\Gamma (z)$ die Gammafunktion und $\ln$ den natürlichen Logarithmus.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

**Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene**

$\ln \Gamma (z)$	$\psi ^{{(0)}}(z)$	$\psi ^{{(1)}}(z)$	$\psi ^{{(2)}}(z)$	$\psi ^{{(3)}}(z)$	$\psi ^{{(4)}}(z)$

Notation

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi $\psi$ gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion $\psi (z)$ bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol $\psi _{1}$ (oder seltener $\psi ^{{(1)}}$ ) und ist die zweite Ableitung von $\ln \Gamma (z)$ . Allgemein wird die -te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung mit $\psi _{n}$ oder $\psi ^{{(n)}}$ bezeichnet und als die (n+1) -te Ableitung von $\ln \Gamma (x)$ definiert.

Definition und weitere Darstellungen

Es ist

$\psi _{m}(z)={\frac {\mathrm {d} ^{m+1}}{\mathrm {d} z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)={\frac {\mathrm {d} ^{m}}{\mathrm {d} z^{m}}}\,\psi (z)$

mit der Digammafunktion $\psi (z)$ . Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von $\Gamma (\cdot )$ bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

$\psi _{m}(z)=(-1)^{{m+1}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}{\mathrm e}^{{-zt}}}{1-{\mathrm e}^{{-t}}}}\,{\mathrm d}t$

für ${\rm {{Re}\,z>0}}$ und m>0.

Eigenschaften

Differenzengleichungen

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

$\psi _{m}(z+1)=\psi _{m}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{{-m-1}}.$

Reflexionsformel

Eine weitere wichtige Beziehung lautet

$(-1)^{m}\psi _{m}(1-z)-\psi _{m}(z)=\pi {\frac {{\mathrm d}^{m}}{{\mathrm d}z^{m}}}\cot {(\pi z)}.$

Multiplikationsformel

Die Multiplikationsformel ist für m>0 gegeben durch

$\sum _{{k=0}}^{{n-1}}\psi _{{m}}\left({\frac {z+k}{n}}\right)=n^{{m+1}}\psi _{{m}}(z).$

Zum Fall m=0, also der Digammafunktion, siehe dort.

Reihendarstellungen

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

$\psi _{m}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac 1{(z+k)^{{m+1}}}}$

wobei m>0 und $z\not =-1,-2,-3,\ldots$ eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion $\zeta (x,y)$ schreiben als

$\psi _{m}(z)=(-1)^{{m+1}}\;m!\;\zeta (m+1,z).$

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nicht-ganze Ordnungen ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

$\psi _{m}(z)=-\gamma \delta _{{m,0}}\;-\;{\frac {(-1)^{m}m!}{z^{{m+1}}}}\;+\;\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\left({\frac {1}{k}}\delta _{{m,0}}\;-\;{\frac {(-1)^{m}m!}{(z+k)^{{m+1}}}}\right),$

wobei $\delta _{{n,0}}$ das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um z=1 ist gegeben durch

$\psi _{m}(z+1)=\sum _{{k=0}}^{\infty }(-1)^{{m+k+1}}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},$

die für |z|<1 konvergiert. $\zeta$ bezeichnete dabei die riemannsche Zetafunktion.

Spezielle Werte

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie $\pi$ , Quadratwurzel, Clausen-Funktion ${\mathrm {Cl}}(x)$ , riemannsche ζ-Funktion, catalansche Konstante sowie dirichletsche β-Funktion; z. B.

$\psi _{m}({\tfrac 12})=(-1)^{{m+1}}m!\,(2^{{m+1}}-1)\zeta (m+1),\qquad m\in \mathbb{N}$

Allgemein gilt ferner:

$\psi _{m}(1)=(-1)^{{m+1}}m!\,\zeta (m+1),\qquad m\in \mathbb{N}$ .

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

${\frac {{\mathrm {d}}^{m}}{{\mathrm {d}}x^{m}}}\tan x={\frac {\psi _{m}({\tfrac 12}+{\tfrac {x}{\pi }})-(-1)^{m}\,\psi _{m}({\tfrac 12}-{\tfrac {x}{\pi }})}{\pi ^{{m+1}}}}$ .

Darüber hinaus haben sich spezielle Werte von Polygammafunktionen als universelle Konstanten immer wieder bei einer geschlossenen Grenzwert-Beschreibung von Reihen oder auch Integralen als nützlich erwiesen, zum Beispiel gilt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{4}}}={\frac {1}{768}}\left(\psi _{3}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-8\pi ^{2}\right).$

Verallgemeinerte Polygammafunktion

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für $s\in \mathbb {C}$ und $z\in \mathbb {C} \setminus -\mathbb {N} _{0}$ die Funktionalgleichung

$\psi _{s}(z+1)=\psi _{s}(z)+{\frac {\ln z-\psi (-s)-\gamma }{\Gamma (-s)}}\,z^{{-(s+1)}},$

wobei $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

${\frac {\psi (-m)}{\Gamma (-n)}}=(-1)^{{n-1}}n!$

für ganzzahlige $m,n\geq 0$ ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen $\zeta$ -Funktion erhält man dann die Beziehung

$\psi _{s}(z)={\frac 1{\Gamma (-s)}}\left({\frac {\partial }{\partial s}}+\psi (-s)+\gamma \right)\zeta (s+1,z)={\mathrm e}^{{-\gamma \,s}}{\frac {\partial }{\partial s}}\left({\mathrm e}^{{\gamma \,s}}\,{\frac {\zeta (s+1,z)}{\Gamma (-s)}}\right),$

welche die Funktionalgleichung erfüllt.

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

$\psi _{s}\left({\frac {z}{2}}\right)+\psi _{s}\left({\frac {z+1}{2}}\right)=2^{{s+1}}\psi _{s}(z)+{\frac {2^{{s+1}}\ln 2}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z)$

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

$\sum \limits _{{k=0}}^{{n-1}}\psi _{s}\left({\frac {z+k}{n}}\right)=n^{{s+1}}\psi _{s}(z)+{\frac {n^{{s+1}}\ln n}{\Gamma (-s)}}\zeta (s+1,z),$

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für $s\in \mathbb {N}$ enthält.

q-Polygammafunktion

Die -Polygammafunktion ist definiert durch

$\psi _{n}^{q}(z)={\frac {\partial ^{n}\psi _{q}(z)}{\partial z^{n}}}$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de