Plancksches Wirkungsquantum

Physikalische Konstante
Name	Plancksches Wirkungsquantum
Formelzeichen	h
Größenart	Wirkung
Wert
SI	6,626 070 15 · 10⁻³⁴ Js
Unsicherheit (rel.)	(exakt)
Gauß	6,626 070 15 · 10⁻²⁷ erg s
Natürliche E.	4,135 667 696 … · 10⁻¹⁵ eV·s
Planck	2π
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018

Gedenktafel – Humboldt-Universität zu Berlin

Das Plancksche Wirkungsquantum, oder die Planck-Konstante , ist das Verhältnis von Energie () und Frequenz () eines Photons, entsprechend der Formel $E = h \cdot f$ . Die gleiche Beziehung gilt allgemein zwischen der Energie eines Teilchens oder physikalischen Systems und der Frequenz seiner quantenmechanischen Phase.

Die Entdeckung des Wirkungsquantums durch Max Planck in den Jahren 1899 und 1900 begründete die Quantenphysik. Das Wirkungsquantum verknüpft Eigenschaften, die vorher in der klassischen Physik entweder nur Teilchen oder nur Wellen zugeschrieben wurden. Damit ist es die Basis des Welle-Teilchen-Dualismus der modernen Physik.

Planck betrachtete seinerzeit das Wirkungsquantum neben der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit als die dritte der fundamentalen Naturkonstanten der Physik. Zusammen bilden diese Konstanten die Grundlage des natürlichen Einheitensystems der Planck-Einheiten. Er gab der von ihm entdeckten Konstanten den Namen „elementares Wirkungsquantum“, weil sie bei „elementaren Schwingungsvorgängen“ eine entscheidende Rolle spielt und sich gemäß der Definition (s.o.) als Quotient einer Energie und einer Frequenz ergibt, weshalb sie die gleiche Dimension wie die physikalische Größe Wirkung hat.

Definition

Das Plancksche Wirkungsquantum ist für jedes physikalische System, das harmonisch schwingen kann, das stets gleiche Verhältnis des kleinstmöglichen Energieumsatzes zur Schwingungsfrequenz. Größere Energieumsätze sind nur möglich, wenn sie ganzzahlige Vielfache dieses kleinsten Energiebetrages sind. Darüber hinaus gilt in der Quantenmechanik für jedes physikalische System, dass das Verhältnis seines gesamten Energieinhalts zur Frequenz seiner quantenmechanischen Phase ist.

Das Plancksche Wirkungsquantum hat die Dimension von Energie mal Zeit, die Wirkung genannt wird. Es erhält seine universelle Bedeutung durch sein Auftreten in den Grundgleichungen der Quantenphysik (Schrödinger-Gleichung, Heisenbergsche Bewegungsgleichung, Dirac-Gleichung).

Einige allgemeingültige Folgen

Jede harmonische Schwingung (mit Frequenz , Kreisfrequenz $\omega =2\pi f$ ) kann Energie nur in diskreten Beträgen aufnehmen oder abgeben, die ganzzahlige Vielfache des Schwingungsquants $\Delta E = h f \equiv \hbar \omega$ sind.
Jedes physikalische System kann seinen Drehimpuls (genauer: die Projektion des Drehimpulsvektors ${\vec {J}}$ auf eine beliebige Gerade) nur um ganzzahlige Vielfache von $\hbar \equiv \tfrac{h}{2\pi}$ ändern.
Jedem physikalischen System mit Impuls ist eine Materiewelle mit der Wellenlänge $\lambda = \tfrac{h}{p}$ zugeordnet.
Bei jedem physikalischen System erfüllen Energie und Kreisfrequenz $\omega$ seiner quantenmechanischen Phase die Gleichung $E = \hbar \omega$ .
Je zwei Variablen eines physikalischen Systems, die zueinander kanonisch konjugiert sind (z.B. Ort und Impuls eines Teilchens, oder verallgemeinerter Ort und verallgemeinerter Impuls, z.B. Drehwinkel und Drehimpuls), erfüllen eine Unschärferelation, der zufolge sie in keinem Zustand des Systems beide gleichzeitig wohldefinierte Werte besitzen können. Vielmehr gilt für die Streuungen $\sigma_x,\, \sigma_p$ der Werte beider Variablen: $\sigma_x\cdot\sigma_p\ge\tfrac{\hbar}{2}$ .

Wert und Zeichen

Das Plancksche Wirkungsquantum gehört zu den Naturkonstanten, die zur Definition der Basiseinheiten im Internationalen Einheitensystem verwendet werden und deshalb mit einem exakten Wert definiert wurden. Sein Wert beträgt 6,626 070 15 · 10⁻³⁴ Js.

Bis zur Änderung der Definition der Basiseinheiten am 20. Mai 2019 musste h experimentell bestimmt werden und war demgemäß mit einer Messunsicherheit behaftet. Der Wert betrug 6,626 070 040(81) · 10⁻³⁴ Js, wobei die eingeklammerte Zahl die geschätzte Unsicherheit (1 Standardunsicherheit) für den Mittelwert angab und sich auf die beiden letzten angegebenen Dezimalziffern bezog.

Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum

Weil Frequenzen oft als Kreisfrequenz $\textstyle \omega =2\pi f$ an Stelle der Frequenz $\textstyle f$ angegeben werden, kommt in vielen Gleichungen an Stelle des Wirkungsquantums $\textstyle h$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum $\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ (gesprochen: „h quer“) zum Einsatz. Damit gilt: $\textstyle hf=\hbar \omega$ . Es wird auch nach Paul Dirac als Diracsche Konstante ^[1] bezeichnet und sein Wert beträgt: $\hbar$ 1,054 571 817 · 10⁻³⁴ Js.

Oft wird das Produkt $\hbar c$ mit der Lichtgeschwindigkeit benötigt, das wegen seiner Dimension Energie mal Länge einen universellen Zusammenhang zwischen Energie- und Längenskala ausdrückt. In den in der Kernphysik üblichen Einheiten gilt:

$\hbar c=197{,}326\,9804\ldots \mathrm {MeV\,fm}$

Da auch c exakt definiert ist, ist auch das Produkt ħc exakt.

Historisches zur Entdeckung und Rezeption

Wärmestrahlung I (Planck 1899)

Max Planck war 1899 auf eine neue Naturkonstante gestoßen, als er eine thermodynamische Beschreibung der Wärmestrahlung schwarzer Körper, auch Hohlraumstrahlung genannt, entwickelte. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz sollten das Spektrum der Wärmestrahlung und dessen Temperaturabhängigkeit, wie sie etwa an Holzkohle beim Übergang von Rotglut zu Weißglut sichtbar ist, für alle ideal schwarzen Körper exakt gleich sein, völlig unabhängig von ihrer sonstigen Beschaffenheit. Die Berechnung des Spektrums galt daher als ein herausragendes ungelöstes Problem der theoretischen Physik.

Die Messwerte zeigen im hochfrequenten (d.h. kurzwelligen) Bereich eine charakteristische Abnahme zu höheren Frequenzen hin. Diese lässt sich gemäß dem Wienschen Strahlungsgesetz gut durch einen Exponentialfaktor $e^{-\tfrac{af}{T}}$ wiedergeben ( Frequenz, Temperatur, ein fester Parameter), diese Formel aber widerspricht jeder theoretischen Herleitung aus der klassischen Physik. Planck konnte jedoch eine neuartige theoretische Herleitung angeben. Dazu analysierte er das thermische Gleichgewicht zwischen den Wänden eines Hohlraums und den elektromagnetischen Wellen in seinem Innern. Die Wände modellierte er als Ansammlung emittierender und absorbierender Oszillatoren und wählte für deren Entropie eine neuartige geeignete Formel mit zwei freien Parametern und . Diesen Parametern kam aufgrund der allgemeingültigen Ableitung nun eine universelle Bedeutung zu. erwies sich als der oben im Wienschen Strahlungsgesetz genannte Parameter, als Produkt von mit der Boltzmann-Konstante $k_{\mathrm{B}}$ . Für , das später in umbenannt wurde, gab Planck den Wert $b=6{,}885\cdot10^{-27}\,\mathrm{erg\,s}$ an, nur 4 % über dem heutigen Wert für . Planck erkannte auch, dass diese neuen Konstanten zusammen mit der Gravitationskonstante und der Lichtgeschwindigkeit ein System von universellen Naturkonstanten bilden, aus denen sich auch für Länge, Masse, Zeit und Temperatur universelle Einheiten bilden lassen, die Planck-Einheiten.

Wärmestrahlung II (Planck 1900)

Neue Messungen widersprachen dem Wienschen Strahlungsgesetz, damit auch der von Planck gefundenen Deutung. Sie zeigten, dass im niederfrequenten (d.h. langwelligen, infraroten) Teil der Wärmestrahlung die Intensität zu größeren Frequenzen hin zunächst zunimmt, bevor sie dem Wienschen Strahlungsgesetz gemäß wieder abnimmt. Diese Zunahme entsprach gut dem Rayleigh-Jeans-Gesetz, wie es ohne weitere Annahmen aus der klassischen Elektrodynamik und dem Gleichverteilungssatz der Statistischen Mechanik abgeleitet worden war. Allerdings sagte dieses Gesetz auch eine unbegrenzte Zunahme der Intensität bei weiter steigender Frequenz voraus, was als Ultraviolettkatastrophe bezeichnet wurde und den älteren Messungen im hochfrequenten Teil des Spektrums (s.o.) widersprach. Planck fand (wörtlich) „eine glücklich erratene interpolierende Formel“, die nun mit allen (auch erst danach neu angestellten) Messungen hervorragend übereinstimmte. Theoretisch herleiten konnte er dieses als Plancksches Strahlungsgesetz bezeichnete Ergebnis nur, indem er versuchsweise den Exponentialfaktor des Wienschen Gesetzes wie den aus der kinetischen Gastheorie bekannten Boltzmann-Faktor $e^{-\tfrac{\Delta E}{k_{\mathrm{B}} T}}$ interpretierte und darin für $\Delta E$ die je nach Frequenz verschiedenen diskreten Energiestufen $\Delta E = h f$ ansetzte. Den Buchstaben nahm er von Hilfsgröße. Der Vergleich mit der Wienschen Formel zeigte, dass es sich bei gerade um das erwähnte Produkt $b=a k_{\mathrm{B}}$ handelt.

Damit schrieb Planck den Oszillatoren die neue Eigenschaft zu, dass sie ihre Energie nur in endlichen Schritten der Größe $\Delta E = h f$ ändern könnten. Er führte damit erstmals eine Quantelung einer scheinbar kontinuierlich variierbaren Größe ein, eine Vorstellung, die der Physik damals, als auch die Atomhypothese noch heftig angefeindet wurde, völlig fremd war. Doch alle Versuche, eine theoretische Herleitung ohne die Annahme diskreter Energieumsätze zu finden, schlugen fehl. Planck hielt den nicht-kontinuierlichen Charakter des Energieaustausches zunächst nicht für eine Eigenschaft der vermeintlich gut verstandenen Lichtwellen, sondern schrieb ihn ausschließlich den Emissions- und Absorptionsprozessen im Material der Hohlraumwände zu. Mit großer Verspätung wurde ihm 1918 für die Entdeckung der Quantisierung der Nobelpreis zuerkannt.

h und die Lichtquanten

Albert Einstein analysierte 1905 den photoelektrischen Effekt, der ebenfalls mit der klassischen Physik unvereinbar ist. Einstein war einer der wenigen Physiker, die die fundamentale Bedeutung von Plancks Arbeit früh erkannten und nutzten. Er konnte den Effekt mit Hilfe der Lichtquantenhypothese erklären, der zufolge auch das Licht Quanteneigenschaften aufweist. Demnach besteht, im Gegensatz zu Plancks damaliger Ansicht, die elektromagnetische Strahlung selbst aus teilchenartigen Objekten, den Lichtquanten, deren Energie je nach Frequenz der Lichtwelle durch die Gleichung E = h f gegeben ist. Später wurde diese Gleichung die Einsteinsche Gleichung für das Lichtquant genannt. Damit erkannte er erstmals den Welle-Teilchen-Dualismus, ein neues Problem für die Physik. Nicht zuletzt deshalb brauchte auch diese Analyse Jahre, um sich durchzusetzen. 1921 brachte sie Einstein den Nobelpreis ein.

Siehe auch: Bestimmung von h mit dem Photoelektrischen Effekt

h und die spezifische Wärme fester Körper

Die Quantisierung der Schwingungsenergie war für Albert Einstein 1907 auch der Schlüssel zur Erklärung eines weiteren unverstandenen Phänomens, der Abnahme der spezifischen Wärme fester Körper zu niedrigen Temperaturen hin. Bei höheren Temperaturen hingegen stimmten die Messwerte meist gut mit dem von Dulong-Petit nach der klassischen Physik vorhergesagten Wert überein. Einstein nahm an, dass die Wärmeenergie im festen Körper in Form von Schwingungen der Atome um ihre Ruhelage vorliegt, und dass auch diese rein mechanische Art von Schwingungen nur in Energiestufen $\Delta E = h f$ angeregt werden kann. Da die im thermischen Gleichgewicht zwischen den einzelnen Atomen fluktuierenden Energiemengen von der Größenordnung $k_{\mathrm{B}} T$ sind, ergab sich die Möglichkeit, zwischen „hohen“ Temperaturen ( $k_{\mathrm{B}} T > h f$ ) und „tiefen“ Temperaturen ( $k_{\mathrm{B}} T < h f$ ) zu unterscheiden. Dann hat die Quantelung bei hohen Temperaturen keine sichtbaren Auswirkungen, während sie bei tiefen Temperaturen die Aufnahme von Wärmeenergie behindert. Die Formel, die Einstein aus dieser Vorstellung heraus ableiten konnte, passte (nach geeigneter Festlegung von für jeden Festkörper) ausgezeichnet zu den damaligen gemessenen Daten. Trotzdem wurde lange weiter bezweifelt, dass die Plancksche Konstante nicht nur für elektromagnetische Wellen, sondern auch im Bereich der Mechanik wichtig sein könnte.

h und die Phasenraumzelle

Viele Gesetze der Thermodynamik, z.B. zur spezifischen Wärme von Gasen und Festkörpern, aber auch zum irreversiblen Anwachsen der Entropie und zur Form des dadurch erreichten Gleichgewichtszustands, hatten durch die Statistische Mechanik (vor allem durch Ludwig Boltzmann und Josiah Willard Gibbs) eine mechanische Deutung erfahren. Die statistische Mechanik gründet in der Annahme der ungeordneten Bewegung extrem vieler Atome oder Moleküle und ermittelt mit statistischen Methoden die wahrscheinlichsten Werte von makroskopisch messbaren Größen (wie Dichte, Druck usw.), um den Gleichgewichtszustand zu charakterisieren. Dazu muss zunächst die Gesamtmenge aller möglichen Zustände aller Teilchen mathematisch erfasst werden in einem Zustands- oder Phasenraum. Legt man einen bestimmten makroskopischen Zustand fest, dann bilden alle Teilchenzustände, in denen das System diesen makroskopischen Zustand zeigt, im Phasenraum ein Teilvolumen. Aus der Größe jedes solchen Teilvolumens wird ermittelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der betreffende makroskopische Zustand vorkommen wird. Mathematisch ist also ein Volumenintegral zu bilden, und dazu braucht man vorübergehend und als Hilfsgröße die Definition eines Volumenelements, auch Phasenraumzelle genannt. Im Endergebnis aber soll die Phasenraumzelle nicht mehr auftauchen. Wenn möglich, lässt man ihre Größe in der erhaltenen Formel gegen Null schrumpfen (wie differentielle Größen generell in der Infinitesimalrechnung), wenn nicht, sieht man sie als unerwünschten Parameter an (der z.B. eine unbekannte additive Konstante bestimmt) und versucht, nur solche Schlussfolgerungen zu betrachten, die von der Phasenraumzelle unabhängig sind (z.B. Differenzen, in denen sich die Konstante weghebt). Berechnet man auf diese Weise die Entropie eines Gases, heißt die Konstante chemische Konstante. Otto Sackur bemerkte 1913 zu seiner Überraschung, dass man der Phasenraumzelle eine bestimmte Größe geben muss, damit die chemische Konstante mit den Messwerten übereinstimmt. Die Phasenraumzelle (pro Teilchen und pro Raumdimension seiner Bewegung) muss gerade die Größe haben. Seiner Veröffentlichung gab er den Titel Die universelle Bedeutung des sog. Planckschen Wirkungsquantums und Max Planck nannte es von „fundamentaler Bedeutung“, wenn sich die gewagte Hypothese bewahrheitete, dass dies Ergebnis unabhängig von der Art des Gases gilt. Dies war der Fall.

Fundamental an diesem Ergebnis ist insbesondere, dass sich hier ein tiefer Grund für das Phänomen der Quantisierung zu zeigen beginnt, der in vollem Umfang allerdings erst Jahre später mit der Quantenstatistik der Strahlung klar wurde. Eine Phasenraumzelle kann man nämlich auch für Schwingungen definieren, und dann ergibt sich aus der Einsteinschen Formel E = h f , dass die Phasenraumzelle für das Lichtquant ebenfalls die Größe hat: Die für die Größe der Phasenraumzelle maßgebliche physikalische Größe ist hier die Wirkung, bei einer Schwingung ist die Wirkung das Produkt aus Energie und Periode $\tfrac{1}{f}$ : $E \cdot \tfrac{1}{f}= h$ .

h und die Größe der Atome

Die klassische Physik muss bei der Erklärung der stabilen Größe der Atome versagen. Denn wenn sie eine bestimmte Größe erklären könnte, wäre ein z.B. halb so großes Atom dann nach denselben Gesetzen genau so gut möglich. Anders ausgedrückt: Die Grundformeln der klassischen Physik enthalten nicht genügend Naturkonstanten, als dass man aus ihnen eine Formel für eine Größe mit der Dimension einer Länge gewinnen könnte. Das Wirkungsquantum kann diese Lücke schließen, wie schon Planck selber 1899 bemerkte, als er erstmals die Planckschen Einheiten vorstellte (s.o.). Doch weil das Wirkungsquantum nach überwiegender Meinung nicht in die Mechanik eingeführt werden sollte, kam der erste Versuch, es zur Erklärung des Atomradius zu nutzen, erst 1910 durch Arthur Erich Haas zustande und wurde dann sogar z.T. lächerlich gemacht. Dabei nahm Haas an, ein Elektron kreise im Feld einer positiven Ladung , und setzte die Umlauffrequenz und die Bindungsenergie dieses Systems ins Verhältnis E=hf . Daraus ergibt sich ein Radius im Bereich der aus der Chemie und der kinetischen Gastheorie bekannten Atomradien.

Mehr Erfolg hatte 1913 Niels Bohr, der in seinem Atommodell vom gleichen Bild ausging, aber auch Kreisbahnen verschiedener Energie und, vor allem, die Emission von Lichtquanten beim Quantensprung von einer zur anderen Bahn einführte. Die Übereinstimmung mit den gemessenen Wellenlängen, die er allerdings nur durch eine kaum zu begründende Quantenbedingung ( $E= \tfrac{n}{2}hf$ mit der neuen Hauptquantenzahl $n=1,2,3,\dotsc$ ) erhielt, machte das Modell schnell berühmt. Die tragende Rolle des Wirkungsquantums beim inneren Aufbau der Atome war bewiesen. Die Quantenbedingung wurde schnell als Drehimpulsquantelung erkannt, denn die Kreisbahn zur Hauptquantenzahl kann durch die Bedingung definiert werden, dass der Drehimpuls des Elektrons den Wert $L=nh/2 \pi$ hat.

Dieser große Fortschritt machte das Bohrsche Atommodell zum maßgeblichen Ausgangspunkt der weiteren Entwicklungen, obwohl weitere ähnlich große Fortschritte dann jahrelang ausblieben. Insbesondere schlugen die Versuche fehl, Atome mit mehreren Elektronen zu verstehen.

h und die Materiewellen

Der Erfolg des Bohrschen Atommodells seit 1913 verdankte sich zum guten Teil der Bohrschen Quantenbedingung, die von außen hart in die Mechanik eingreift, indem sie dem Elektron nur wenige der mechanisch möglichen Bahnen erlaubt. Aufgrund der anhaltenden Schwierigkeiten mit der weiteren Entwicklung der Atomtheorie wurde nach Möglichkeiten gesucht, die Mechanik selbst so umzugestalten, dass sie die Quantenbedingung von vornherein berücksichtigt. Es sollte die bisherige Quantentheorie von einer regelrechten Quantenmechanik abgelöst werden. Den größten Schritt vor dem wirklichen Beginn der Quantenmechanik leistete Louis de Broglie 1924, indem er materiellen Teilchen, z.B. Elektronen, Welleneigenschaften zuschrieb. Er übertrug die für Photonen gefundene Beziehung $p = h/\lambda$ zwischen Impuls ${\vec {p}}$ und Wellenlänge $\lambda$ auf die von ihm gedachte Materiewelle des Elektrons. Damit dehnte er den Welle-Teilchen-Dualismus auf Teilchen aus. Als unmittelbarer Erfolg zeigt sich, dass die Bohrsche Kreisbahn zur Hauptquantenzahl gerade den Umfang $n\lambda$ hat, mithin die Materiewelle des Elektrons eine stehende Welle darauf ausbilden kann. Ohne über diese Materiewelle viel sagen zu können, fand Erwin Schrödinger Anfang 1926 eine Formel für die Ausbreitung dieser Welle in einem Kraftfeld, mit der er die Wellenmechanik begründete. Für die stationären Zustände des Wasserstoffatoms konnte er mit dieser Schrödingergleichung ohne zusätzliche Quantenbedingung genau die bekannten Ergebnisse berechnen. Zusätzlich wurden bekannte Fehler des Bohrschen Modells behoben, z.B. dass das Atom flach sei oder dass der Drehimpuls nicht $L = 0 \hbar$ sein könne. Als einzige Naturkonstante tritt in der Schrödingergleichung das Wirkungsquantum auf. Gleiches gilt für die Gleichung, die Werner Heisenberg einige Monate zuvor aus einer „quantentheoretischen Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen“ gewann, womit er die Matrizenmechanik begründete. Beide Ansätze sind mathematisch äquivalent und werden als Grundgleichungen der eigentlichen Quantenmechanik angesehen. Weiterhin geblieben sind allerdings die Schwierigkeiten, sich ein mit dem Welle-Teilchen-Dualismus verträgliches Bild von den quantenmechanischen Begriffen und Vorgängen zu machen.

Drehimpuls

Die Bezeichnung „Wirkungsquantum“ war für Planck zunächst alleine durch die physikalische Dimension Energie mal Zeit der Konstante motiviert, die als Wirkung bezeichnet wird. Indes hat der klassische mechanische Bahndrehimpuls $\vec l = \vec r \times \vec p$ die gleiche Dimension, und $\hbar$ erwies sich ganz allgemein auch als die für den Drehimpuls maßgebliche Naturkonstante.

In dem 1913 von Niels Bohr aufgestellten Atommodell tritt, nachdem es 1917 zum Bohr-Sommerfeldschen Atommodell erweitert wurde, der Bahndrehimpulsvektor $\vec l = \vec r \times \vec p$ des Elektrons als zweifach gequantelte Größe in Erscheinung. Dem Betrag nach kann er wie im Bohrschen Modell nur ganzzahlige Vielfache von $\hbar$ annehmen: $|\vec l| = l \hbar$ mit der Drehimpulsquantenzahl . Zusätzlich gilt die Bedingung, dass die Projektion des Drehimpulsvektors der Länge $l \hbar$ auf eine Koordinatenachse nur die Werte $m \hbar$ annehmen kann, wobei die magnetische Quantenzahl ganzzahlig ist (s. Richtungsquantelung) und auf den Bereich von bis beschränkt ist. Für die Bahnen zur Hauptquantenzahl kann alle Werte $l=1,2,\dotsc ,n$ haben.

In der 1925 von Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger begründeten Quantenmechanik ergibt sich die gleiche Quantelung des Bahndrehimpulses, indem dieser durch den Operator $\hat{ \vec l} = \hat {\vec r }\times \hat {\vec p}$ dargestellt wird. Allerdings hat der Betrag des Drehimpulsvektors nun die Länge $|{\vec l}|={\sqrt {l(l+1)}}\hbar$ . Außerdem gehören im Wasserstoffatom zu den Elektronenzuständen mit Hauptquantenzahl nach quantenmechanischer Berechnung die Bahndrehimpulsquantenzahlen $l=0,1,\dotsc ,n-1$ , diese sind also um 1 kleiner als im Bohr-Sommerfeldschen Modell. Dies stimmt mit allen Beobachtungen überein.

Außer dem Bahndrehimpuls können die Teilchen (ebenso Teilchensysteme) auch Spin besitzen, das ist ein Eigendrehimpuls um ihren eigenen Schwerpunkt, oft mit ${\vec {s}}$ bezeichnet. Auch der Spin wird in Einheiten von $\hbar$ ausgedrückt. Es gibt Teilchen, deren Spin ein ganzzahliges Vielfaches von $\hbar$ ist (Bosonen), aber auch Teilchen mit halbzahligem Vielfachen von $\hbar$ (Fermionen). Die Unterscheidung der zwei Teilchenarten Bosonen und Fermionen ist in der Physik grundlegend. Die Erweiterung von nur ganzzahligen zu halbzahligen Quantenzahlen des Drehimpulses ergibt sich aus den Eigenschaften des quantenmechanischen Spinoperators $\hat{ \vec s}$ . Seine drei Komponenten erfüllen miteinander dieselben Vertauschungsrelationen wie die Komponenten des Bahndrehimpulsoperators $\hat {\vec l}$ . Für den Bahndrehimpuls gilt darüber hinaus $\hat{\vec{l}} \cdot \hat{\vec{p}} =0$ , dies gilt jedoch nicht für den Spin.

Unschärferelation

In der Heisenbergschen Vertauschungsrelation tritt das (reduzierte) Plancksche Wirkungsquantum als Wert des Kommutators zwischen Orts- und Impulsoperator auf:

$\left[{\hat {X}},{\hat {P}}\right]\;=\;\mathrm {i} \hbar$

Als Folge gilt für das Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe die Heisenbergsche Unschärferelation

$\Delta x\,\Delta p\;\geq \;{\frac {\hbar }{2}}\;.$

Von-Klitzing-Konstante

→ Hauptartikel: Von-Klitzing-Konstante

Die Von-Klitzing-Konstante $R_{\mathrm {K} }={\tfrac {h}{e^{2}}}$ (mit als Elementarladung) tritt beim Quanten-Hall-Effekt auf. Ihr Wert war bis zum 19. Mai 2019 $R_{\mathrm {K} }\approx 25\ 812{,}807\ 4555(59)\ \Omega$ . Diese Konstante konnte extrem genau gemessen werden. Daher konnte sie analog zur modernen Festlegung der Lichtgeschwindigkeit dazu dienen, die Bestimmung der Planckschen Konstanten auf sehr genaue Widerstandsmessungen zurückzuführen.

Seit der Änderung am Internationalen Einheitensystem am 20. Mai 2019 (s.o.) hat auch diese Konstante einen exakten Wert von:

$R_{\mathrm {K} }={\frac {6{,}626\,070\,15\cdot 10^{-34}\mathrm {J\cdot s} }{(1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}\mathrm {C} )^{2}}}=25\ 812{,}807\ 45\ldots \ \Omega .$

Anmerkungen

↑ Die Ein-Zeichen-Notation für das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum wurde im Jahr 1926 von P. A. M. Dirac eingeführt. Ein kurzer Abschnitt zur Historie findet sich z.B. in M. Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw-Hill, New York 1966, S. 294. Diracs Originalarbeit: P. A. M. Dirac: Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom. Proc. Roy. Soc. A, 110 (1926), S. 561–579.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de