Generalisierter Impuls

Der generalisierte Impuls, auch verallgemeinerter, kanonischer, kanonisch konjugierter, oder konjugierter Impuls, tritt sowohl in der Hamiltonschen Mechanik als auch in der Lagrange-Mechanik auf. Zusammen mit dem konjugierten Ort kennzeichnet er den jeweiligen Zustand des Systems, der sich mit der Zeit gemäß den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ändert.

Als Funktion des Ortes und der Geschwindigkeit ${\dot q}$ ist der generalisierte Impuls die partielle Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Geschwindigkeit:

$p_{j} = {\frac{{\partial L}}{{\partial \dot q_j }}} \, , \ j = 1 .... n$

Beim Übergang von der klassischen Physik zur Quantenmechanik wird der kanonische Impuls (im Gegensatz zum kinetischen Impuls) durch den Impulsoperator ${\hat {p}}$ ersetzt:

$p_j\rightarrow \hat p_j = -\hbar i \frac{\partial}{\partial x_j}$

Beispiele

Klassische Bewegung

Bei Bewegung eines Teilchens der Masse in einem Potential $V({\mathbf {x}},t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

$L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf{x}}^2 - V(\mathbf{x},t)$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

${\mathbf p}=m{\dot {{\mathbf x}}}$

Bei Bewegung eines Teilchens der Masse in einem Potential $V(r,\varphi ,z,t)$ in Zylinderkoordinaten

$L = \frac 1 2\, m \bigl(\dot r^2 + r^2 \dot{\varphi}^2 + \dot{z}^2 \bigr) - V(r,\varphi,z,t)$

ist der zum Winkel konjugierte generalisierte Impuls die Komponente des Drehimpulses in Richtung der Zylinderachse:

$p_{\dot{\varphi}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} = m \, r^2 \dot{\varphi}$

Bei Bewegung einer Punktladung mit Masse im elektromagnetischen Feld ( $\phi$ ist das elektrische Potential)

$L = \frac{1}{2} \, m \, \dot{\mathbf x}^2 - q \, \phi(t, \mathbf x) + q \, \dot{\mathbf x} \cdot \mathbf A(t, \mathbf x)$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential $\mathbf {A}$ des Feldes:

$\mathbf p = m \, \dot{\mathbf x} + q \, \mathbf A(t,\mathbf x)$

Relativistische Bewegung

Bei der relativistischen Bewegung eines Teilchens der Masse $m_{0}$ in einem Potential $V({\mathbf {x}},t)$ ohne Zwangsbedingungen in kartesischen Koordinaten

$L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-V(\mathbf {x} ,t)$

ist der generalisierte Impuls gleich dem kinetischen Impuls:

$\mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}$

Bei relativistischer Bewegung einer Punktladung mit der Masse $m_{0}$ im elektromagnetischen Feld

$L=-m_{0}\,c^{2}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}-q\,\phi (t,\mathbf {x} )+q\,{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} (t,\mathbf {x} )$

hat der generalisierte Impuls zusätzlich zum kinetischen Impuls einen Beitrag vom Vektorpotential des Feldes:

$\mathbf {p} ={\frac {m_{0}\,{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\,\mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)$

Literatur

Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de