Umkreis

In der ebenen Geometrie ist ein Umkreis ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Polygons (Vielecks) geht.

Nicht für jedes Polygon existiert ein solcher Umkreis. Allgemein besitzt ein konvexes Polygon genau dann einen Umkreis, wenn die Mittelsenkrechten aller Seiten einander in einem Punkt schneiden. In diesem Fall ist der gemeinsame Punkt der Mittelpunkt des Umkreises.

Umkreis eines Dreiecks

Dreieck mit Mittelsenkrechten und Umkreis

Eine besonders große Bedeutung hat der Umkreis in der Dreiecksgeometrie. Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis, wie im Folgenden begründet wird.

Alle Punkte der Mittelsenkrechten zu [AB] sind von und gleich weit entfernt. Entsprechend haben die Punkte der Mittelsenkrechten zu [BC] übereinstimmende Entfernungen von und . Der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten ist also von allen drei Ecken (, und ) gleich weit entfernt. Er muss also auch auf der dritten Mittelsenkrechten liegen. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der durch eine Ecke des Dreiecks geht, so müssen auch die anderen Ecken auf diesem Kreis liegen.

Der Umkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die Kimberling-Nummer $X_{3}$ .

Sonderfälle

Für spitzwinklige Dreiecke liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks. Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe Satz des Thales). Im Falle eines stumpfwinkligen Dreiecks (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Radius

Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem Sinussatz

$R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}$

oder aus der Dreiecksfläche berechnen.

$R={\frac {abc}{4A}}$

Dabei stehen die Bezeichnungen , , für die Seitenlängen und $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ für die Größen der Innenwinkel. bezeichnet den Flächeninhalt des Dreiecks, der sich z.B. mit Hilfe der heronischen Formel berechnen lässt.

Koordinaten

Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ( $X_{3}$ )
Trilineare Koordinaten	$\cos \alpha \,:\,\cos \beta \,:\,\cos \gamma$ $=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,:\,b(c^{2}+a^{2}-b^{2})\,:\,c(a^{2}+b^{2}-c^{2})$
Baryzentrische Koordinaten	$\sin(2\alpha )\,:\,\sin(2\beta )\,:\,\sin(2\gamma )$

Weitere Eigenschaften

Der Umkreismittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden.
Nach dem Südpolsatz schneidet sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite mit der Winkelhalbierenden des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis.
Die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt beträgt ${\sqrt {R(R-2r)}}$ , wobei den Umkreisradius und den Inkreisradius bezeichnet (Satz von Euler).
Die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten ist gleich der Summe aus Umkreis- und Inkreisradius (Satz von Carnot).

Verallgemeinerung: Mittellotensatz

Die Aussage, dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden, wird in der synthetischen Geometrie als Mittellotensatz bezeichnet. Dort kann für allgemeinere affine Ebenen, in denen kein Abstandsbegriff und damit keine "Kreise" definiert sind, gezeigt werden, dass dieser Satz äquivalent zum Höhenschnittpunktsatz ist. → Siehe dazu Höhenschnittpunkt und präeuklidische Ebene.

Umkreise anderer Vielecke

Während beim Dreieck stets ein Umkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in besonderen Fällen zu.

Vierecke, die einen Umkreis haben, werden Sehnenvierecke genannt. Spezialfälle sind gleichschenklige Trapeze, also auch Rechtecke und Quadrate.

Unabhängig von der Eckenzahl hat jedes regelmäßige Polygon einen Umkreis. Für den Umkreisradius eines regelmäßigen -Ecks mit der Seitenlänge gilt:

$R={\frac {a}{2\sin {\frac {180^{\circ }}{n}}}}$