Quadrat

Quadrat mit Seitenlänge a und Diagonale d

In der Geometrie ist ein Quadrat ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes, konvexes und regelmäßiges Viereck. Es hat vier gleich lange Seiten und vier rechte Winkel. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Rechtecks, der Raute, des Parallelogramms, des Trapezes und des Drachenvierecks. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z.B. der Länge der Seite oder der Diagonalen.

Quadrate sind die Seitenflächen eines platonischen Körpers, nämlich des Würfels. Das Quadrat ist zudem Grundform einer platonischen Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

Eigenschaften

Für das Quadrat gilt:

Die vier Seiten sind gleich lang, d. h., es ist eine Raute und ein gleichseitiges Polygon.
Die vier Innenwinkel sind gleich, d. h., es ist ein Rechteck und ein gleichwinkliges Polygon. Die Innenwinkel sind rechte Winkel.
Die beiden Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und sind orthogonal.
Der Schnittpunkt der Diagonalen ist Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Symmetriezentrum. Das Quadrat ist sowohl Sehnen- als auch Tangentenviereck.
Der Flächeninhalt des Umkreises ist doppelt so groß wie der des Inkreises.
Es hat 4 Symmetrieachsen: die beiden Mittelsenkrechten und die beiden Diagonalen.
Es ist 4-zählig drehsymmetrisch und daher auch punktsymmetrisch.
Die Symmetriegruppe ist die Diedergruppe $D_{4}$ .

Das Quadrat kann charakterisiert werden als:

Rechteck mit zwei benachbarten gleich langen Seiten
Raute mit zwei benachbarten gleichen Winkeln
Raute mit einem rechten Winkel
Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten und zwei benachbarten gleichen Winkeln
Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten und einem rechten Winkel
Viereck mit gleich langen, orthogonalen Diagonalen, die sich halbieren

Formeln

Mathematische Formeln zum Quadrat
Flächeninhalt	$A = a^2 = \frac{d^2}{2}$
Umfang	$U=\,4\cdot a$
Länge der Diagonalen	$d=a\cdot {\sqrt {2}}=2\cdot r_{u}$
Inkreisradius	$r_{i}={\frac {a}{2}}={\frac {d}{2\cdot {\sqrt {2}}}}$
Umkreisradius	$r_{u}={\frac {a}{\sqrt {2}}}={\frac {d}{2}}$
Innenwinkel	$\alpha =\beta =\gamma =\delta =90^{\circ }$

Konstruktion

Das Quadrat ist ein mit Zirkel und Lineal konstruierbares regelmäßiges Polygon.

Konstruktion mit gegebener Seitenlänge

Konstruktion bei gegebener Seite, kommt mit einer einzigen Zirkeleinstellung (Radius = a) aus

Gegeben: Die Seite a mit den Endpunkten A und B.
Ziehe um Ende A einen Kreisbogen (c₁, mindestens ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius.
Ziehe um Ende B einen Kreisbogen (c₂, mindestens ein Viertelkreis) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt der Kreise ist Punkt M.
Zeichne eine Gerade durch die Punkte B und M (mindestens doppelt so lang wie BM)
Zeichne einen Thaleskreis (c_t) um M durch B. Man erhält Punkt E.
Zeichne eine Gerade durch die Punkte A und E. Der Schnittpunkt mit c₁ ist Ecke D des späteren Quadrats.
Ziehe um D der einen Kreisbogen (c₃) mit der Seitenlänge als Radius. Der Schnittpunkt mit c₂ ist Ecke C.
Verbinde die Ecken zu einem Quadrat.

Konstruktion mit gegebener Diagonale

Konstruktion bei gegebener Diagonale

Gegeben: Die Diagonale d mit den Endpunkten A und C.
Konstruiere auf der Diagonale die Mittelsenkrechte (blau). Der Schnittpunkt mit der Diagonalen ist der Mittelpunkt M.
Ziehe um M einen Kreis durch A. Die Schnittpunkte mit der Mittelsenkrechten sind die beiden fehlenden Ecken B und D.
Verbinde die Ecken A, B, C, und D zyklisch miteinander.

Animationen


Quadrat mit gegebener Seitenlänge nutzt den Thaleskreis. Es funktioniert auch mit einem anderen Mittelpunkt M, Animation		Quadrat mit gegebener Diagonale, Animation

Parkettierungen mit Quadraten

Einige platonische und archimedische Parkettierungen enthalten Quadrate. Diese Parkettierungen sind periodisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch und enthalten ausschließlich regelmäßige Polygone.

Quadratgitter
3-3-3-4-4
3-3-4-3-4
3-4-6-4
4-8-8
4-6-12

Die Zahlen unter den Abbildungen geben an, wie viele Ecken die regelmäßigen Polygone haben, die jeweils an einem Punkt zusammenstoßen. Die Innenwinkel ergeben zusammen 360°.

Polyeder mit Quadraten

Der Würfel ist der einzige platonischen Körper, der quadratische Seitenflächen hat. Auch einige archimedische Körper enthalten Quadrate, zum Beispiel das Kuboktaeder, der Oktaederstumpf, das Rhombenkuboktaeder und das Rhombenikosidodekaeder.

Verallgemeinerungen

In der euklidischen Geometrie ist das Quadrat der zweidimensionale Spezialfall von Hyperwürfel und Kreuzpolytop.

Der Begriff Quadrat wird in der synthetischen Geometrie der affinen Ebene verallgemeinert, indem eine der äquivalenten Aussagen, die ein Quadrat in der elementaren Geometrie beschreiben, zur Definition des Begriffes verwendet wird. Zum Beispiel wird für präeuklidische Ebenen die Existenz dieser Figuren zu einem zusätzlichen Axiom.

In nichteuklidische Geometrien sind Quadrate allgemein Polygone mit 4 gleich langen Seiten und gleichen Innenwinkeln.

In der sphärischen Geometrie ist ein Quadrat ein Polygon, dessen Seiten Großkreise sind, die sich im gleichen Winkel schneiden. Anders als bei Quadraten der ebenen Geometrie sind die Winkel eines sphärischen Quadrats größer als ein rechter Winkel. Größere sphärische Quadrate haben größere Winkel.

In der hyperbolischen Geometrie existieren keine Quadrate mit rechten Winkeln. Stattdessen haben Quadrate Winkel, die kleiner als ein rechter Winkel sind. Größere hyperbolische Quadrate haben kleinere Winkel.

Verallgemeinerungen des Quadrats
Geometrie	sphärische Geometrie	sphärische Geometrie	euklidische Geometrie	hyperbolische Geometrie
Innenwinkel	180°	120°	90°	72°
Schläfli-Symbol	{4, 2}	{4, 3}	{4, 4}	{4, 5}
Anzahl der Quadrate in der Parkettierung	2	6	unendlich	unendlich

Lateinisches Quadrat

Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit n Reihen und Spalten, wobei jedes Feld mit einem von n verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Die natürliche Zahl n wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.

Beispiele

${\begin{bmatrix}1&2&3\\3&1&2\\2&3&1\end{bmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{bmatrix}}$

Magisches Quadrat

Ein magisches Quadrat der Kantenlänge 3

Ein magisches Quadrat der Kantenlänge n ist eine quadratische Anordnung der natürlichen Zahlen 1, 2, …, n², bei der die Summen der Zahlen aller Zeilen, Spalten und der beiden Diagonalen gleich sind. Diese Summe wird als die magische Zahl des magischen Quadrates bezeichnet.

Quadratur des Quadrates

Einfache, perfekte Quadratur des Quadrates der geringstmöglichen Ordnung (21)

Die Quadratur des Quadrates ist die Parkettierung eines gegebenen Quadrates mit kleineren Quadraten, deren Seitenlängen ganzzahlige Werte haben. Interessant und anspruchsvoll wird die Aufgabenstellung durch folgende Zusatzbedingungen:

Keine zwei Teilquadrate sollen die gleiche Größe haben. Eine Quadrat-Parkettierung, die diese Bedingung erfüllt, heißt perfekt.
Wenn eine Teilmenge der Teilquadrate ein Rechteck bildet, heißt die Quadratur zusammengesetzt, andernfalls einfach.

Quadratur des Kreises

Das Quadrat und der Kreis haben den gleichen Flächeninhalt.

Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt zu konstruieren. Sie ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden Strecke, die dem Kreisumfang entspricht. Das wiederum entspricht der Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ aus der Strecke 1. Beschränkt man die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, so ist die Aufgabe aufgrund der Transzendenz von $\pi$ unlösbar. Dies konnte 1882 von dem deutschen Mathematiker Ferdinand von Lindemann bewiesen werden.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de