Schnittpunkt

Ein Schnittpunkt ist in der Mathematik ein gemeinsamer Punkt zweier Kurven in der Ebene oder im Raum. Der allgemeine Sprachgebrauch versteht unter Schnittpunkt jenen zweier Geraden, was jedoch im mathematischen Kurvenbegriff enthalten ist. Im Raum gibt es noch den Schnittpunkt einer Kurve mit einer Fläche. Im einfachsten Fall schneidet eine Gerade eine Ebene.

Schnittpunkt zweier Geraden

Die Bestimmung eines Schnittpunktes ist in den beiden Fällen Gerade-Gerade und Gerade-Ebene einfach (s. unten). Im Allgemeinen führt die Bestimmung von Schnittpunkten auf nicht lineare Gleichungen, die man in der Praxis mit einem Newton-Verfahren löst. Schnittpunkte einer Gerade mit einem Kegelschnitt (Kreis, Hyperbel, Ellipse, Parabel) oder einer Quadrik (Kugel, Ellipsoid, Hyperboloid, …) führen auf quadratische Gleichungen und sind auch noch relativ leicht lösbar. Für den Schnitt einer Gerade mit Ebene/Kugel/Zylinder/Kegel bietet die darstellende Geometrie Methoden, um Schnittpunkte zeichnerisch zu bestimmen.

Schnittpunkt in der Ebene

Schnittpunkt zweier Geraden

Für den Schnittpunkt zweier nicht paralleler

Geraden (gegeben in Koordinatenform) $a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}$

ergibt sich mit der Cramerschen Regel für die Koordinaten des Schnittpunktes $(x_{s},y_{s})$

$x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\$

Falls $a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0$ ist, sind die beiden Geraden parallel.

Für eine Gerade durch die Punkte

$P_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}$ und $P_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$

und eine Gerade durch die Punkte

$P_{3}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{pmatrix}}$ und $P_{4}={\begin{pmatrix}x_{4}\\y_{4}\end{pmatrix}}$

Berechnet man den Schnittpunkt, indem man zuvor die Zweipunkteformen in Koordinatenformen umrechnet.

Der Schnittpunkt $S={\begin{pmatrix}x_{s}\\y_{s}\end{pmatrix}}$ ergibt sich zu

$x_{s}={\frac {(x_{4}-x_{3})(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})-(x_{2}-x_{1})(x_{4}y_{3}-x_{3}y_{4})}{(y_{4}-y_{3})(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{4}-x_{3})}}$

und

$y_{s}={\frac {(y_{1}-y_{2})(x_{4}y_{3}-x_{3}y_{4})-(y_{3}-y_{4})(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{(y_{4}-y_{3})(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1})(x_{4}-x_{3})}}$

Schnittpunkt zweier Strecken

Schnitt zweier Strecken

Sind zwei nicht parallele Strecken $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ und $(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$ gegeben, so müssen sie sich nicht schneiden. Denn der Schnittpunkt $(x_{0},y_{0})$ der zugehörigen Geraden muss nicht in beiden Strecken enthalten sein. Um letzteres zu klären, stellt man beide Strecken parametrisiert dar:

$(x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1}))$ ,

$(x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3}))\ .$

Schneiden sich die Strecken, so muss der gemeinsame Punkt $(x_{0},y_{0})$ der zugehörigen Geraden Parameter $s_{0},t_{0}$ haben mit der Eigenschaft $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ . Die Schnittparameter $s_{0},t_{0}$ sind Lösung des linearen Gleichungssystems

$s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},$

$s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .$

Dieses löst man (wie oben) mit der Cramerschen Regel, überprüft die Schnittbedingung $0\leq s_{0}\leq 1,\ 0\leq t_{0}\leq 1$ und setzt $s_{0}$ oder $t_{0}$ in die zugehörige Parameterdarstellung ein, um schließlich den Schnittpunkt $(x_{0},y_{0})$ zu erhalten.

Beispiel: Für die Strecken (1,1),(3,2) und (1,4),(2,-1) erhält man das Gleichungssystem

und $s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}$ . D. h. die Strecken schneiden sich und der Schnittpunkt ist $({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})$ .

Bemerkung: Betrachtet man Geraden durch zwei Punktepaare (nicht Strecken !), so kann man die Bedingung $0\leq s_{0},t_{0}\leq 1$ ignorieren und erhält mit dieser Methode den Schnittpunkt der beiden Geraden (s. vorigen Abschnitt).

Schnitt Kreis-Gerade

Schnittpunkte einer Geraden mit einem Kreis

Um den Schnitt der

Gerade mit dem Kreis $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}$

zu berechnen, wird zunächst das System durch Setzen von ${\bar x}=x-x_{0}$ und ${\bar y}=y-y_{0}$ so verschoben, dass der Kreismittelpunkt im Nullpunkt liegt. Dadurch ergibt sich als neue Kreisgleichung

${\bar x}^{2}+{\bar y}^{2}=r^{2}$

und als neue Geradengleichung

$a{\bar x}+b{\bar y}=d$ mit $d=c-ax_{0}-by_{0}$ .

Durch Auflösen der Geradengleichung nach ${\bar {x}}$ oder ${\bar y}$ , Einsetzen in die Kreisgleichung, Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen und anschließendes Rückgängigmachen der Verschiebung ergeben sich dann die Schnittpunkte $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ mit

$x_{{1/2}}=x_{0}+{\frac {ad\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-d^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}},\quad y_{{1/2}}=y_{0}+{\frac {bd\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-d^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,$

sofern $r^{2}(a^{2}+b^{2})\geq d^{2}$ gilt. Im Fall der Gleichheit gibt es nur einen Schnittpunkt und die Gerade ist eine Tangente des Kreises.

Bemerkung: Die Schnittpunkte einer Gerade mit einer Parabel oder einer Hyperbel lassen sich analog durch Lösen einer quadratischen Gleichung bestimmen.

Schnittpunkte zweier Kreise

Die Bestimmung der Schnittpunkte zweier Kreise

$(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}$

lässt sich durch Subtraktion der beiden Gleichungen auf das Problem Schnittpunkte der Gerade

$2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}$

mit einem der beiden Kreise zurückführen (s. o.).

Schnitt zweier Kreise, Mittelpunkte auf der x-Achse, Potenzgerade dunkelrot

Sonderfall $\;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0$ :
In diesem Fall hat der erste Kreis den Nullpunkt als Mittelpunkt und der zweite Mittelpunkt liegt auf der x-Achse. Dadurch vereinfacht sich die Gleichung der Potenzgerade zu $\;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;$ und für die Schnittpunkte $(x_{0},\pm y_{0})$ ergibt sich

$x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}\ .$

Falls $r_{1}^{2}<x_{0}^{2}$ ist, schneiden sich die Kreise nicht. Im Fall $r_{1}^{2}=x_{0}^{2}$ berühren sich die Kreise.

Der allgemeine Fall lässt sich immer durch eine geeignete Verschiebung und Drehung auf diesen Sonderfall zurückführen.

Alternative Berechnungsmethode

Analog zu den obigen Kreisgleichungen, sind die Mittelpunkte der Kreise wie folgt beschreibbar:

Schnittpunkte zweier Kreise

${\boldsymbol {M}}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}\quad \quad {\boldsymbol {M}}_{2}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$

Die Bezeichnungen sind der nebenstehenden Grafik zu entnehmen. Des Weiteren lassen sich der Vektor ${\boldsymbol {D}}_{1}$ und ${\boldsymbol {D}}_{2}$ wie folgt beschreiben:

${\boldsymbol {D}}_{1}={\begin{pmatrix}D_{1x}\\D_{1y}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{\left\|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\right\|^{2}}}+1\right)\cdot \left({\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\right)$

${\boldsymbol {D}}_{2}={\begin{pmatrix}D_{2x}\\D_{2y}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}{\left\|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\right\|^{2}}}+1\right)\cdot \left({\boldsymbol {M}}_{1}-{\boldsymbol {M}}_{2}\right)$

(Hinweis: $\|\cdot \|$ stellt die Vektornorm dar, bzw. die Länge des Vektors)

Wobei $r_{1},r_{2}$ die Radien der Kreise repräsentieren. Dieser Vektor verbindet also die Punkte ${\boldsymbol {M}}_{1}$ und ${\boldsymbol {M}}_{12}$ . Auf diese Formel kommt man durch geometrische Überlegungen. Und zwar muss anhand der in der Grafik zu sehenden Dreiecke die folgende Gleichung nach dem Satz des Pythagoras erfüllt sein.

$l={\sqrt {r_{1}^{2}-\|{\boldsymbol {D}}_{1}\|^{2}}}={\sqrt {r_{2}^{2}-\|{\boldsymbol {D}}_{2}\|^{2}}}\quad \quad (1)$

Weiterhin gilt, dass die Summe der Längen von ${\boldsymbol {D}}_{1}$ und ${\boldsymbol {D}}_{2}$ dem Mittelpunktsabstand der Kreise entspricht:

$\|{\boldsymbol {D}}_{1}\|+\|{\boldsymbol {D}}_{2}\|=\|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\|$

Folglich lässt sich der Mittelpunktsabstand prozentual mit dem Parameter auf die Längen von ${\boldsymbol {D}}_{1}$ und ${\boldsymbol {D}}_{2}$ aufteilen:

$\|{\boldsymbol {D}}_{1}\|=x\cdot \|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\|\quad ,\quad \|{\boldsymbol {D}}_{2}\|=(1-x)\cdot \|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\|\quad \quad (2)$

Mit den Gleichungen (1) und (2) lässt sich damit der Parameter bestimmen:

$r_{1}^{2}-x^{2}\cdot \|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\|^{2}=r_{2}^{2}-(1-x)^{2}\cdot \left\|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\right\|^{2}\quad \rightarrow \quad x={\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{\left\|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\right\|^{2}}}+1\right)$

Nun benötigt man einen zum Richtungsvektor zwischen ${\boldsymbol {M}}_{1}$ und ${\boldsymbol {M}}_{2}$ orthogonalen Einheitsvektor. Dies lässt sich dann wie folgt darstellen:

${\boldsymbol {e}}_{2}={\begin{pmatrix}-e_{1y}\\e_{1x}\end{pmatrix}}\quad {\text{mit}}\quad {\boldsymbol {e}}_{1}={\begin{pmatrix}e_{1x}\\e_{1y}\end{pmatrix}}={\frac {{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}}{\|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\|}}$

Die Schnittpunkte ${\boldsymbol {x_{s}}}$ lassen sich nun wie folgt beschreiben:

${\boldsymbol {x}}_{s}={\boldsymbol {M}}_{1}+{\boldsymbol {D}}_{1}\pm l\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}={\boldsymbol {M}}_{2}+{\boldsymbol {D}}_{2}\pm l\cdot {\boldsymbol {e}}_{2}\quad {\text{unter der Bedingung}}\quad \left\|{\boldsymbol {M}}_{2}-{\boldsymbol {M}}_{1}\right\|\leq r_{1}+r_{2}$

Schnitt Kreis-Ellipse

Schnittpunkte zweier Kegelschnitte

Die Aufgabe, die Schnittpunkte einer Ellipse/Hyperbel/Parabel mit einer Ellipse/Hyperbel/Parabel zu bestimmen, führt bei Elimination einer Koordinate i.a. auf eine Gleichung vierten Grades, die nur in speziellen Fällen leicht lösbar ist. Die Schnittpunkte lassen sich allerdings auch iterativ mit Hilfe des 1- bzw. 2-dimensionalen Newton-Verfahrens bestimmen, je nachdem man a) beide Kegelschnitte implizit (→ 2-dim. Newton) oder b) einen implizit und den anderen parametrisiert darstellt (→ 1-dim. Newton). Siehe hierzu den nächsten Abschnitt.

Schnittpunkt zweier Kurven

Schnittpunkte zweier Kurven: transversales Schneiden

Schnittpunkt zweier Kurven: berührendes Schneiden bzw. Berührung

Zwei in der Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ liegende, stetig differenzierbare Kurven (also Kurven ohne „Knick“) haben einen Schnittpunkt, wenn sie einen Punkt der Ebene gemeinsam haben und die beiden Kurven in diesem Punkt entweder

a) unterschiedliche Tangenten aufweisen (transversales Schneiden), oder

b) gemeinsame Tangenten haben und sich in dem Punkt kreuzen (berührendes Schneiden, siehe Bild).

Falls die beiden Kurven zwar einen gemeinsamen Punkt und dort eine gemeinsame Tangente haben, aber sich nicht kreuzen, berühren sie sich in .

Da berührendes Schneiden eher selten vorkommt und rechnerisch sehr aufwendig zu behandeln ist, wird im Folgenden stets transversales Schneiden vorausgesetzt. Um es nicht immer wieder erwähnen zu müssen, werden auch die jeweils nötigen Differenzierbarkeits-Bedingungen vorausgesetzt. Die Bestimmung von Schnittpunkten führt immer wieder auf das Problem, eine Gleichung mit einer bzw. zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten lösen zu müssen. Die Gleichungen sind im Allgemeinen nicht linear und können dann beispielsweise mit dem 1- oder 2-dimensionalen Newton-Verfahren numerisch gelöst werden. Im Folgenden werden die einzelnen Fälle und die zu lösenden Gleichungen beschrieben:

Schnittpunkt: parametrisierte Kurve / implizite Kurve

Schnittpunkt: implizite Kurve / implizite Kurve

Falls beide Kurven explizit vorliegen: $y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)$ liefert Gleichsetzen die Gleichung

$f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .$

Falls beide Kurven parametrisiert vorliegen: $K_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ K_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s))$ .

Gleichsetzen liefert zwei Gleichungen für zwei Unbekannte:

$x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .$

Falls eine Kurve parametrisiert und die andere implizit gegeben sind: $K_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ K_{2}:f(x,y)=0$ .

Dies ist nach dem expliziten der einfachste Fall. Denn man muss hier nur die Parameterdarstellung von $K_{1}$ in die Gleichung f(x,y)=0

von $K_{2}$ einsetzen und erhält die Gleichung

$f(x_{1}(t),y_{1}(t))=0\ .$

Falls beide Kurven implizit gegeben sind: $K_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ K_{2}:f_{2}(x,y)=0$ .

Ein Schnittpunkt ist hier die Lösung des im Allgemeinen nichtlinearen Gleichungssystems

$f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .$

Die für das jeweilige Newton-Verfahren nötigen Startwerte lassen sich aus einer Visualisierung der beiden Kurven gewinnen. Eine parametrisiert oder explizit gegebene Kurve lässt sich leicht visualisieren, da man zu vorgegebenem Parameter bzw. direkt einen Punkt berechnen kann. Für implizit gegebene Kurven ist dies nicht so einfach. Hier muss man im Allgemeinen mit Hilfe von Startpunkten und einem Iterationsverfahren Kurvenpunkte berechnen.

Beispiele:

1: $K_{1}:(t,t^{3})$ und Kreis $K_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0$ (s. Bild).

Es ist die Newton-Iteration $t_{{n+1}}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}$ für

$f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10$ durchzuführen. Als Startwerte kann man −1 und 1,5 wählen.

Die Schnittpunkte sind: (−1,1073; −1.3578) und (1,6011; 4,1046)

2: $K_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,$

$K_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0$ (s. Bild).

Es ist die Newton-Iteration

${x_{{n+1}} \choose y_{{n+1}}}={x_{{n}}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}$ durchzuführen, wobei ${\delta _{x} \choose \delta _{y}}$ die Lösung des linearen Gleichungssystems

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}$ an der Stelle $(x_{n},y_{n})$ ist. Als Startpunkte kann man (−0,5; 1) und (1; −0,5) wählen.

Das lineare Gleichungssystem löst man am einfachsten mit der Cramerschen Regel.

Als Schnittpunkte ergeben sich (−0.3686; 0,9953) und (0,9953; −0,3686).

Schnittpunkt zweier Polygone

Schnitt zweier Polygone: Fenstertest

Falls man Schnittpunkte zweier Polygone sucht, kann man jede Teilstrecke des einen Polygons mit jeder Teilstrecke des anderen Polygons auf Schneiden untersuchen (s. oben: Schnitt zweier Strecken). Für Polygone mit vielen Teilstrecken ist diese einfache Methode sehr zeitaufwändig. Durch sogenannte Fenstertests lässt sich die Rechenzeit deutlich reduzieren. Dabei fasst man mehrere Teilstrecken zu einem Teilpolygon zusammen und berechnet das zugehörige Fenster, das ist das minimale achsenparallele Rechteck, das das Teilpolygon enthält. Bevor aufwändig ein Schnittpunkt zweier Teilpolygone berechnet wird, werden die zugehörigen Fenster auf Überlappung getestet.

Schnittpunkte im Raum

Im 3-dimensionalen Raum spricht man von einem Schnittpunkt (gemeinsamer Punkt) einer Kurve mit einer Fläche. Bei den folgenden Überlegungen sollen (wie oben) nur die transversalen Schnitte einer Kurve mit einer Fläche behandelt werden.

Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene

Schnittpunkt: Gerade - Ebene

Eine Gerade wird im Raum in der Regel durch eine Parameterdarstellung (x(t),y(t),z(t)) und eine Ebene durch eine Gleichung ax+by+cz=d beschrieben. Durch Einsetzen der Parameterdarstellung der Gerade in die Ebenengleichung ergibt sich die lineare Gleichung

$ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,$

für den Parameter $t_{0}$ des Schnittpunktes $(x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))$ . (Falls die lineare Gleichung keine Lösung besitzt, ist die Gerade parallel zur Ebene. Falls die Gleichung für alle $t\in \mathbb{R}$ erfüllt ist, ist die Gerade in der Ebene enthalten.)

Schnittpunkt dreier Ebenen

Ist eine Gerade als Schnitt zweier nicht paralleler Ebenen $\varepsilon _{i}:\ {\vec n}_{i}\cdot {\vec x}=d_{i},\ i=1,2$ gegeben und soll mit einer dritten Ebene $\varepsilon _{3}:\ {\vec n}_{3}\cdot {\vec x}=d_{3}$ geschnitten werden, muss der gemeinsame Punkt der 3 Ebenen bestimmt werden.

Drei Ebenen $\varepsilon _{i}:\ {\vec n}_{i}\cdot {\vec x}=d_{i},\ i=1,2,3$ mit linear unabhängigen Normalenvektoren ${\vec n}_{1},{\vec n}_{2},{\vec n}_{3}$ besitzen den Schnittpunkt

${\vec p}_{0}={\frac {d_{1}({\vec n}_{2}\times {\vec n}_{3})+d_{2}({\vec n}_{3}\times {\vec n}_{1})+d_{3}({\vec n}_{1}\times {\vec n}_{2})}{{\vec n}_{1}\cdot ({\vec n}_{2}\times {\vec n}_{3})}}\ .$

Zum Beweis überzeuge man sich von ${\vec n}_{i}\cdot {\vec p}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,$ unter Beachtung der Regeln für ein Spatprodukt.

Schnittpunkte einer Kurve mit einer Fläche

Schnittpunkt: Kurve $(t,t^{2},t^{3})$ , Fläche $x^{4}+y^{4}+z^{4}=1$

Analog wie im ebenen Fall führen die folgenden Fälle zu im Allgemeinen nicht linearen Gleichungssystemen, die mit einem 1- bzw. 3-dimensionalen Newton-Verfahren gelöst werden können:

parametrisierte Kurve und

parametrisierte Fläche $F:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,$

parametrisierte Kurve und

implizite Fläche $F:f(x,y,z)=0\ .$

Beispiel:

parametrisierte Kurve $K:(t,t^{2},t^{3})$ und

implizite Fläche $F:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0$ (siehe Bild)

Zu lösende Gleichung: $t^{4}+t^{8}+t^{{12}}-1=0$

Die Schnittpunkte sind: (−0,8587; 0,7374; −0,6332), (0,8587; 0,7374; 0,6332).

Bemerkung: Eine Gerade kann auch in einer Ebene enthalten sein. Dann gibt es unendlich viele gemeinsame Punkte. Auch eine Kurve kann teilweise oder vollständig in einer Fläche enthalten sein (siehe Kurven auf der Fläche $x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0$ ). In diesen Fällen spricht man aber nicht mehr von Schnittpunkt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de