Spatprodukt

Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird

Das Spatprodukt, auch gemischtes Produkt genannt, ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren und einem dritten Vektor. Es ergibt das orientierte Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepipeds). Sein Betrag ist somit gleich dem Volumen des aufgespannten Spats. Das Vorzeichen ist positiv, falls diese drei Vektoren in der angegebenen Reihenfolge ein Rechtssystem bilden; bilden sie ein Linkssystem, so ist es negativ. Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, so ist ihr Spatprodukt Null.

In kartesischen Koordinaten lässt sich das Spatprodukt auch mit Hilfe der aus den drei Vektoren gebildeten Determinante berechnen.

Definition

Das Spatprodukt $({\vec a},{\vec b},{\vec c})$ dreier Vektoren ${\vec {a}}$ , ${\vec {b}}$ und $\vec c$ des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums $\mathbb {R} ^{3}$ kann wie folgt definiert werden:

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$ .

Notation

Oft wird für das Spatprodukt keine eigene Notation eingeführt, sondern man schreibt einfach $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ . Andere gebräuchliche Notationen sind: $[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]$ , > $\langle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle$ und $|{\vec {a}}\ {\vec {b}}\ {\vec {c}}|$ .

Eigenschaften

Das Spatprodukt ist nicht kommutativ. Der Wert ändert sich jedoch nicht, wenn man die Faktoren zyklisch vertauscht:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}$ .

Man kann das Spatprodukt mit Hilfe der Determinante berechnen. Für

${\vec a}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec b}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec c}={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$

gilt

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}}$ .

Der Beweis kann zum Beispiel durch einfaches Ausrechnen erbracht werden, siehe unten.

Da im Spatprodukt die Vektoren zyklisch vertauscht werden können und das Skalarprodukt kommutativ ist, gilt

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})$ .

Man kann also bei entsprechend angepasster Klammerung (die anders unsinnig wäre) die beiden Rechenzeichen „vertauschen“.

Im Gegensatz zur zyklischen Vertauschung tritt bei der Vertauschung zweier Faktoren ein Vorzeichenwechsel auf:

$( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ) = - ( \vec{b}, \vec{a}, \vec{c} )$ .

Weiter gilt wegen ${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}$ :

$( \vec{a}, \vec{a}, \vec{b} ) = 0$ .

Die Multiplikation mit einem Skalar $\alpha \in \mathbb{R}$ ist assoziativ:

$( \alpha \cdot \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ) = \alpha \cdot ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} )$ .

Es gilt ein Distributivgesetz:

$( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} + \vec{d} ) = ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ) + ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{d} )$ .

Geometrische Interpretation

Betrag des Volumens und orientiertes Volumen

Das Volumen des von den drei Vektoren $\vec a, \vec b, \vec c$ aufgespannten Spats (Parallelepipeds) ist gleich dem Betrag des Spatprodukts:

$V=|({\vec a},{\vec b},{\vec c})|=|({\vec a}\times {\vec b})\cdot {\vec c}|$ .

Verzichtet man darauf, den Betrag zu bilden, so erhält man das orientierte Volumen. Der von den 3 Vektoren aufgespannte (unregelmäßige) Tetraeder hat ${\tfrac {1}{6}}$ des Volumens des Spats.

Herleitung

Das Volumen eines Spats errechnet sich aus dem Produkt seiner Grundfläche und seiner Höhe.

$V=A_{g}\cdot h$

Das Kreuzprodukt $\vec{a}\times\vec{b}$ ist der Normalenvektor auf der durch ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Grundfläche, der mit ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ ein rechtshändiges Koordinatensystem bildet und dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des durch ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ aufgespannten Parallelogramms ist, also $A_g= | \vec{a}\times\vec{b} |$ .

Die Höhe des Spats ist die Projektion des Vektors $\vec c$ auf die Richtung dieses Normalenvektors (dessen Einheitsvektor). Wenn diese den Winkel $\alpha$ einschließen, gilt nach der Definition des Skalarprodukts

$h = | \vec{c} | \cos \alpha = \hat e_{\vec{a} \times \vec{b}} \cdot \vec{c}$ .

Es folgt

$V = A_g \cdot h = | \vec{a}\times\vec{b} | ( \hat e_{\vec{a} \times \vec{b}} \cdot \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ .

Das Volumen ist null für $\alpha$ gleich 90°, wenn also die Vektoren in einer Ebene liegen. Sie heißen dann komplanar und linear abhängig.

Das orientierte Volumen ist negativ, falls $\alpha$ größer ist als 90°. Dann zeigen Vektorprodukt und projizierte Höhe in entgegengesetzte Richtungen, weil die Vektoren ein Linkssystem bilden.

Herleitung der algebraischen Eigenschaften

Das Spatprodukt kann auch mit dem Levi-Civita-Symbol hergeleitet werden. Dafür wird zuerst das Skalarprodukt durch eine Summe dargestellt:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec c}=\sum _{{i=1}}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}.$

Das Kreuzprodukt wird nun mit dem Levi-Civita-Symbol durch eine Summenschreibweise dargestellt:

$\sum _{{i=1}}^{3}({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}\cdot c_{i}=\sum _{{i=1}}^{3}\sum _{{j=1}}^{3}\sum _{{k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a_{j}b_{k}c_{i}.$

Der total antisymmetrische Epsilontensor $\varepsilon_{ijk}$ ist gleich $\varepsilon _{{kij}}$ bzw. gleich $\varepsilon _{{jki}}$ . Damit lässt sich das Spatprodukt wie folgt ausdrücken:

$\sum _{{i=1}}^{3}\sum _{{j=1}}^{3}\sum _{{k=1}}^{3}\varepsilon _{{ijk}}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{{i=1}}^{3}\sum _{{j=1}}^{3}\sum _{{k=1}}^{3}\varepsilon _{{kij}}a_{j}b_{k}c_{i}=\sum _{{i=1}}^{3}\sum _{{j=1}}^{3}\sum _{{k=1}}^{3}\varepsilon _{{jki}}a_{j}b_{k}c_{i}.$

Die Summenzeichen können vertauscht werden. Außerdem kann man nun geschickt Klammern setzen:

$\sum_{i=1}^3 \left(\sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k \right) c_i = \sum_{k=1}^3 \left(\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{kij} c_i a_j \right) b_k = \sum_{j=1}^3 \left(\sum_{k=1}^3 \sum_{i=1}^3 \varepsilon_{jki} b_k c_i \right) a_j.$

Schreibt man die Kreuzprodukte nun wieder ohne Levi-Civita-Symbol, so ergibt sich die gewünschte Identität:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}.$

Wortherkunft

Die Bezeichnung Spatprodukt geht auf die Bezeichnung „Spat“ für ein Parallelflach (Parallelepiped, Parallelotop) zurück. In der Geologie deutet die Nachsilbe -spat auf eine gute Spaltbarkeit des betreffenden Minerals hin. Beispiele: Feldspat, Kalkspat. Diese Spate weisen klare Bruchlinien auf. Insbesondere die Kristalle des Kalkspates ähneln dem geometrischen Ideal eines Parallelflachs sehr stark. Über die Volumenberechnung eines solchen Parallelflachs bzw. Spates ergibt sich damit die Bezeichnung Spatprodukt.

Literatur

Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de