Dreiecksfläche

allgemeines Dreieck

Die exakte Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks ist eines der ältesten Probleme der Geometrie. Bereits im antiken Ägypten stellte es sich, wenn nach dem Rückgang der Nilüberschwemmung das fruchtbare Ackerland neu zu verteilen war. Dreiecke und deren Flächenberechnung bilden auch heute noch eine wichtige Grundlage der Landvermessung – mittels Triangulierung können unregelmäßige Flächen bestimmt werden. Auch in modernen Bereichen der Mathematik wird das Prinzip der Dreiecksnetze benutzt.

Ihre physikalische Einheit ist der Quadratmeter (m²).

Flächenberechnung am ebenen Dreieck

Dreiecksflächen lassen sich leicht berechnen, wenn man die Längen aller drei Seiten oder die Längen zweier Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel kennt.

Alle drei Seitenlängen gegeben

Sind alle drei Seitenlängen eines Dreiecks bekannt, so lässt sich der Satz des Heron anwenden:

$F={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

Dabei ist $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ der halbe Umfang des Dreiecks.

Sonderfall Gleichseitiges Dreieck

Aus a=b=c folgt für den halben Umfang $s={\tfrac {3a}{2}}$ . Dies eingesetzt in obige Formel ergibt:

$F={\sqrt {{\tfrac {3a}{2}}({\tfrac {a}{2}})({\tfrac {a}{2}})({\tfrac {a}{2}})}}={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$

Zwei Seitenlängen und eingeschlossener Winkel gegeben

Zusammenhang zwischen Dreieck und Parallelogramm.

Sind zwei Seitenlängen (und der eingeschlossene Winkel) eines Dreiecks bekannt, so lässt sich der Flächeninhalt der Dreiecksfläche auf mehrere Arten bestimmen. Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks lautet

$F={\frac {a\cdot h}{2}},$

dabei ist die Grundseite und die darauf senkrecht stehende Höhe des Dreiecks. Die Formel liefert die Hälfte des Inhalts eines Parallelogramms, denn jedes Dreieck kann mit einer gedrehten Kopie seiner selbst zu dem entsprechenden Parallelogramm ergänzt werden. Dessen Flächeninhalt lässt sich mittels Scherung auf den eines Rechtecks zurückführen. Ein anderer Ansatz ergibt sich, weil ein Dreieck immer als Spezialfall eines Trapez gesehen werden kann, bei dem die zweite Grundseite aus nur einem Punkt besteht.

Zwar lässt sich jede Seite des Dreiecks als Grundseite nutzen, die Berechnung der korrespondierenden Höhe ist jedoch außer in Spezialfällen elementargeometrisch nicht möglich. Aus der Trigonometrie folgert man: $h\,(=h_{a})=b\cdot \sin {\gamma }$ . Damit ergibt sich:

$F={\frac {ab\cdot \sin {\gamma }}{2}}.$

Spezialfälle

Rechtwinkliges Dreieck

Bei rechtwinkligen Dreiecken fällt die Höhe mit einer der Katheten zusammen.

Bei rechtwinkligen Dreiecken muss die Höhe nicht extra berechnet werden. Wenn die Länge der beiden Katheten bekannt ist, ergibt sich $F={\tfrac {a\cdot b}{2}}$ .

Gleichschenkliges Dreieck

Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Schenkeln schneidet die Basis immer in der Mitte und lässt sich deswegen mit dem Satz des Pythagoras zu $h={\sqrt {a^{2}-{\tfrac {b^{2}}{4}}}}$ errechnen und somit ist

$F={\tfrac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}$ .

Aus der o.g. Formel ergibt sich auch:

$F={\frac {1}{2}}{a^{2}}\cdot \sin {\gamma }.$

Gleichseitiges Dreieck

Als regelmäßiges Polygon hat jedes gleichseitige Dreieck mit der Kantenlänge die Höhe $h={\tfrac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ , daraus ergibt sich der Flächeninhalt $F={\tfrac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$ .

Weil die Winkel im gleichseitigen Dreieck alle gleich groß sind, ergibt sich aus der o.g. Formel auch:

$F={\frac {1}{2}}{a^{2}}\cdot \sin 60^{\circ }.$

Sonstige Fälle

Sofern das Dreieck eindeutig bestimmbar ist, müssen evtl. zunächst weitere Winkel oder Seitenlängen berechnet werden, bis genügend Informationen für eine der obigen Formeln vorhanden sind.

Berechnung mit Koordinaten

In der Ebene

Herleitung der Dreiecksfläche mittels Trapezen $F=A_{1}+A_{2}-A_{3}$

Dreiecksfläche berechnet mithilfe des von seinen Seitenvektoren aufgespannten Parallelepipeds. $F={\tfrac {1}{2}}\left|\det \left({\begin{matrix}u_{x}&v_{x}\\u_{y}&v_{y}\end{matrix}}\right)\right|$ $={\tfrac {1}{2}}|u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}|$

In der euklidischen Ebene mit Koordinatenachsen lässt sich der Flächeninhalt für ein Dreieck mit den Punkten $P_{1}=(x_{1},y_{1})$ , $P_{2}=(x_{2},y_{2})$ und $P_{3}=(x_{3},y_{3})$ über die Trapezformel herleiten. Bei der Projektion des (eventuell in den ersten Quadranten verschobenen) Dreiecks auf eine der Achsen ergeben sich drei Trapeze, deren Summe bzw. Differenz die Dreiecksfläche ist. Dabei können alle benötigten Größen elementar an den Koordinaten abgelesen werden. Für die Fläche des Dreiecks ergibt sich folglich:

$F={\tfrac {1}{2}}(y_{3}+y_{1})(x_{3}-x_{1})+{\tfrac {1}{2}}(y_{2}+y_{3})(x_{2}-x_{3})-{\tfrac {1}{2}}(y_{2}+y_{1})(x_{2}-x_{1})$

$={\tfrac {1}{2}}(x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}))$

Diese Formel lässt sich sehr übersichtlich mit Hilfe einer Determinante darstellen:

$F={\frac {1}{2}}\left|\det \left({\begin{matrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right)\right|={\frac {1}{2}}\left|\det \left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right)\right|$

Verschiebt man das Dreieck so, dass $P_{1}$ auf dem Nullpunkt liegt, so ergibt sich aufgrund des Laplaceschen Entwicklungssatzes (Entwicklung nach der ersten Spalte):

${\begin{aligned}F&={\frac {1}{2}}\left|\det \left({\begin{matrix}1&1&1\\0&x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{1}\\0&y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{1}\end{matrix}}\right)\right|\\&={\frac {1}{2}}\left|\det \left({\begin{matrix}x_{2}-x_{1}&x_{3}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}&y_{3}-y_{1}\end{matrix}}\right)\right|\\&={\frac {1}{2}}|(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1})-(x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})|\end{aligned}}$

Diese zweite Darstellung in Determinantenform ergibt sich auch aus der allgemeinen Volumenformel für Parallelepipede, da ein zweidimensionales Parallelepiped ein Parallelogramm mit der doppelten Dreiecksfläche ist. Es gilt daher, dass der Betrag der Determinante einer $2\times 2$ -Matrix, deren Spalten die Seitenvektoren eines Dreiecks sind, den zweifachen Flächeninhalt diesen Dreiecks liefert. Den gleichen Ansatz erhält man, wenn man die Dreiecksfläche nicht als Summe von Trapezflächen, sondern als Summe dreier Integrale über die linearen Funktionen, die die drei Seiten definieren, auffasst.

Ebenfalls möglich ist es, die drei Seiten als Kurven in der Ebene darzustellen, dann bildet das Dreieck eine stückweise glatte geschlossene Kurve, deren umschlossene Fläche sich mit der Sektorformel von Leibniz berechnen lässt.

Im dreidimensionalen Raum

Im euklidischen Raum erhält man den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch $(0,0,0),(x_{1},x_{2},x_{3})$ und $(y_{1},y_{2},y_{3})$ aufgespannt wird mit Hilfe des Kreuzprodukts der beiden Vektoren ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})$ und ${\vec {y}}=(y_{1},y_{2},y_{3})$ . Dies liefert einen Vektor, dessen euklidische Norm gleich dem Flächeninhalt des von ${\vec {x}}$ und ${\vec {y}}$ aufgespannten Parallelogramms ist.

$2F=\left|{\vec {x}}\times {\vec {y}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}\right|={\sqrt {(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})^{2}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})^{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})^{2}}}\,.$

Oder: Mit Hilfe des Skalarproduktes

$2F={\sqrt {{\vec {x}}^{2}{\vec {y}}^{2}-({\vec {x}}\cdot {\vec {y}})^{2}}}$ .

Flächenberechnung sphärischer Dreiecke

Streng genommen ist kein Dreieck auf der Erdoberfläche eben, da die Erde bekanntlich annähernd Kugelgestalt hat (siehe Erdkrümmung). Bei sehr großen Dreiecken (etwa Kapstadt – Rio de Janeiro – Tokio) muss man daher auf Methoden der sphärischen Geometrie (bzw. sphärische Trigonometrie) oder der Differentialrechnung zurückgreifen:

Nach dem Satz von Legendre hat ein kleines sphärisches Dreieck nahezu den gleichen Flächeninhalt wie ein ebenes Dreieck mit drei gleich langen Seiten. Diese sog. Verebnung wird umso genauer, je kleiner die Dreiecke werden. Daraus folgt eine iterative Methode der Flächenberechnung eines sphärischen Dreiecks: Man halbiere wiederholt die geodätischen Linien, die die Begrenzung des Dreiecks bilden, und berechne die sich aus den kleineren Dreiecken ergebenden Flächensummen. Der Grenzwert dieses Vorgangs existiert und ist die Fläche des sphärischen Dreiecks.

Zwei direkte Wege führen freilich rascher ans Ziel: entweder über geeignete Formeln aus der sphärischen Trigonometrie oder über den sphärischen Exzess (den Überschuss der Winkelsumme über 180°). Für ein sphärisches Dreieck mit Innenwinkeln $\alpha ,\beta ,\gamma$ , das auf einer Kugel mit Radius liegt, gilt dabei die folgende Formel:

$F=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )\cdot r^{2}$

Der Exzess ist direkt proportional zur Dreiecksfläche, was auch auf dem Erdellipsoid für die Praxis der Geodäsie genau genug ist. Der Ersatz von Kugeldreiecken durch ihre ebenen Äquivalente wird allerdings schon ab etwa 10 km zu ungenau.

Literatur

Martin Nitschke: Geometrie. Hanser Verlag, ISBN 3-446-22676-1.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de