Zeitmittelwert

Der Zeitmittelwert oder zeitliche Mittelwert ist in der Physik ein spezieller Mittelwert einer zeitabhängigen physikalischen Größe oder Funktion. Häufige Anwendung findet der Zeitmittelwert unter anderem in der statistischen Physik bei der Ergodenhypothese und in der Elektrotechnik zur Berechnung des Gleichwertes, ist jedoch ein generelles Werkzeug vieler physikalischer Anwendungen.

Mathematisch wird der zeitliche Mittelwert durch die Integration der Funktion über ein Zeitintervall $[t_0, t_0 + \Delta t]$ und anschließender Normierung auf die Dauer $\Delta t$ dieses Intervalls gebildet:

$\overline{f(t)} = \frac{1}{\Delta t} \int\limits_{t_0}^{t_0 + \Delta t} \!\!\! f(t) \, \mathrm{d}t$

f(t) steht für eine beliebige von der Zeit abhängige Größe. Sofern die betrachtete Funktion stetig und differenzierbar ist (was bei physikalischen Vorgängen überwiegend der Fall ist), ist der Grenzwert des zeitlichen Mittels für sehr kurze Zeitintervalle identisch mit dem Momentanwert:

$f(t) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\,\overline{f(t)}$

Dieser Zusammenhang ist insofern wichtig, dass oft nur der Zeitmittelwert messtechnisch zugänglich ist, beispielsweise bei einer Geschwindigkeitsmessung durch Bestimmung des Weg- und Zeitintervalls. Eine gute Übereinstimmung von Messwert und Momentangeschwindigkeit erhält man also nur dann, wenn man das Messintervall möglichst kurz wählen kann.

Hängt eine Größe linear von der Zeit ab, so ist der Zeitmittelwert das Arithmetische Mittel (der „Durchschnitt“) von Anfangs- und Endwert:

$f(t) = at + b \quad \Rightarrow \quad \overline{f(t)} = \frac {f(t) + f(t+ \Delta t)}{2}$

Beispiele

Der Gleichwert ist in der Elektrotechnik der Zeitmittelwert einer periodisch veränderlichen Größe. Beispielsweise setzt sich die elektrische Spannung aus einem Gleichspannungsanteil (dem zeitlichen Mittelwert) und einem Wechselspannungsanteil zusammen. Der Gleichwert einer reinen Wechselspannung ist Null.
Der zeitliche Mittelwert der Geschwindigkeit heißt Durchschnittsgeschwindigkeit $\overline v$ . Es gilt: $\overline v = \frac {\Delta s}{\Delta t}$ .
Der zeitliche Mittelwert der Lufttemperatur wird Jahresmitteltemperatur genannt. Aus praktischen Gründen werden hier Messwerte stündlich erfasst und über ein Messintervall von einem Jahr mit dem arithemitischen Mittelwert berechnet.

Basierend auf einem Artikel in:

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