Mittelwert

Ein Mittelwert (kurz auch nur Mittel) ist eine nach einer bestimmten Rechenvorschrift aus zwei oder mehreren Zahlen ermittelte weitere Zahl. Sie liegt zwischen den vorgegebenen Zahlen. Einige von beliebig viel berechenbaren Mittelwerten sind das Arithmetische, das Geometrische und das Quadratische Mittel.

Mittelwerte werden am häufigsten in der Statistik angewendet, wobei mit Mittel oder Durchschnitt meistens das arithmetische Mittel gemeint ist. Bei laxer Formulierung werden die Begriffe Mittelwert und Erwartungswert häufig synonym verwendet.

Definitionen der bekanntesten und wichtigsten Mittelwerte

Im Folgenden seien $x_1, \dotsc, x_n$ gegebene reelle Zahlen, in der Statistik etwa Messwerte, deren Mittelwert berechnet werden soll.

Mittelwert	Definition
Modus (Statistik)	Ausprägung mit höchster Häufigkeit
Median (Statistik)	Für die sortierten Werte $x_{{(1)}},\dotsc ,x_{{(n)}}$ ${\bar {x}}_{{\mathrm {med}}}={\begin{cases}x_{{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}},&n{\text{ ungerade,}}\\{\frac 12}\left(x_{{\left({{\frac n2}}\right)}}+x_{{\left({{\frac n2}+1}\right)}}\right),&n{\text{ gerade.}}\end{cases}}$
Arithmetisches Mittel	${\bar {x}}_{{{\mathrm {arithm}}}}={\frac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}$
Geometrisches Mittel	${\bar {x}}_{{\mathrm {geom}}}={\sqrt[ {n}]{\prod _{{i=1}}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[ {n}]{x_{1}x_{2}\dotsm x_{n}}}$
Harmonisches Mittel	${\bar {x}}_{{\mathrm {harm}}}={\frac {n}{\sum \limits _{{i=1}}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\dotsb +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
Quadratisches Mittel	${\bar {x}}_{{\mathrm {quadr}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}{x_{i}^{2}}}}={\sqrt {{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}} \over n}}$
Kubisches Mittel	${\bar {x}}_{{\mathrm {kubisch}}}={\sqrt[ {3}]{{\frac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}{x_{i}^{3}}}}={\sqrt[ {3}]{{\frac {x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+\dotsb +x_{n}^{3}}{n}}}}$

Beispiele für die Verwendung unterschiedlicher Mittelwerte

Merkmalsträger	Wert
$x_{{(1)}}$	2 (A)
$x_{{(2)}}$	2 (A)
$x_{{(3)}}$	2 (A)
$x_{(4)}$	3 (B)
$x_{{(5)}}$	3 (B)
$x_{{(6)}}$	4 (C)
$x_{{(7)}}$	5 (D)

Säulendiagramm zu den Beispielen

Im Folgenden soll beispielhaft an den sieben rechts angegebenen Ausprägungen gezeigt werden, wo welche Definition des Mittelwerts sinnvoll ist.

Der Modus ist bereits in der Nominalskala sinnvoll, in der einzelne Merkmale nicht geordnet werden können. Sind etwa von sieben befragten Personen drei katholisch (A), zwei evangelisch (B), einer muslimisch (C) und einer Hindu (D), so liegt der Modus bei , denn dies kommt am häufigsten vor.

Für den Median ist eine Ordinalskala Voraussetzung, in der die Merkmale geordnet werden können. Auf die Frage nach der Qualität des Essens eines Restaurants antworten beispielsweise drei Kunden mit „sehr gut“ (A), zwei mit „gut“ (B) sowie je einer mit „mittel“ und „schlecht“ (C bzw. D). Nach Ordnen der Daten wie in der Liste rechts erkennt man, dass die mittlere Beobachtung bei .

Das arithmetische Mittel wird beispielsweise zum Berechnen der Durchschnittsgeschwindigkeit genutzt: Läuft eine Schildkröte erst eine Stunde lang drei Meter pro Stunde, dann drei Stunden lang je zwei Meter und beschleunigt für jeweils eine Stunde nochmals auf drei, vier und fünf Meter pro Stunde, so ergibt sich als arithmetisches Mittel bei einer Strecke von 21 Metern in 7 Stunden:

${\begin{aligned}{\bar {x}}_{{{\mathrm {arithm}}}}&={\frac 17}\sum \limits _{{i=1}}^{7}{x_{i}}\\&={\frac {(3+2+2+2+3+4+5)\,{\mathrm {m}}}{7\,{\mathrm {h}}}}={\frac {21\,{\mathrm {m}}}{7\,{\mathrm {h}}}}=3\,{\mathrm {{\frac mh}}}.\end{aligned}}$

Auch das harmonische Mittel kann zur Berechnung einer durchschnittlichen Geschwindigkeit sinnvoll sein, wenn nicht über gleiche Zeiten, sondern über gleiche Strecken gemessen wird: Die Schildkröte laufe den 1. Meter mit 3 Metern pro Stunde, weitere 3 m mit jeweils 2 m/h und beschleunigt auf den letzten 3 Metern nochmals auf jeweils 3, 4 und 5 m/h. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt sich bei einer Strecke von 7 Metern in ${\tfrac {157}{60}}$ Stunden:

${\begin{aligned}{\bar {x}}_{{{\mathrm {harm}}}}&={\frac 7{\sum \limits _{{i=1}}^{7}{\frac 1{x_{i}}}}}\\&={\frac {7\,{\mathrm m}}{\left({\frac 13}+{\frac 12}+{\frac 12}+{\frac 12}+{\frac 13}+{\frac 14}+{\frac 15}\right)\,{\mathrm h}}}={\frac {7\,{\mathrm m}}{{\frac {157}{60}}\,{\mathrm h}}}\approx 2{,}68\,{\mathrm {{\frac mh}}}.\end{aligned}}$

Mit dem geometrischen Mittel errechnet man den mittleren Wachstumsfaktor. Eine Bakterienkultur wachse beispielsweise am ersten Tag auf das Fünffache, am zweiten auf das Vierfache, dann zweimal auf das Dreifache und die letzten drei Tage verdoppelt sie sich täglich. Der Bestand nach dem siebten Tag errechnet sich also durch ${\text{Anfangsbestand}}\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2={\text{Endbestand}}.$ Alternativ kann mit dem geometrischen Mittel der Endbestand ermittelt werden, denn

${\bar {x}}_{{\mathrm {geom}}}={\sqrt[ {7}]{5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}={\sqrt[ {7}]{1440}}\approx 2{,}83$

und somit ist

${\text{Anfangsbestand}}\cdot ({\bar {x}}_{{\mathrm {geom}}})^{7}={\text{Endbestand}}.$

Ein tägliches Wachstum der Bakterienkultur um das 2,83-Fache hätte also nach sieben Tagen zum selben Ergebnis geführt.

Geschichte

In der Mathematik treten Mittelwerte, insbesondere die drei klassischen Mittelwerte (arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel), bereits in der Antike auf. Pappos von Alexandria kennzeichnet 10 verschiedene Mittelwerte m von 2 Zahlen und ( a<b ) durch spezielle Werte des Streckenverhältnisses (b-m):(m-a) . Auch die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel ist in der Antike bereits bekannt und geometrisch interpretiert. Im 19. und 20. Jahrhundert spielen Mittelwerte in der Analysis eine spezielle Rolle, dort im Wesentlichen im Zusammenhang mit berühmten Ungleichungen und wichtigen Funktionseigenschaften wie Konvexität (Hölder-Ungleichung, Minkowski-Ungleichung, Jensensche Ungleichung usw.). Dabei wurden die klassischen Mittelwerte in mehreren Schritten verallgemeinert, zunächst zu den Potenzmittelwerten (siehe Abschnitt Hölder-Mittel unten) und diese wiederum zu den quasi-arithmetischen Mittelwerten. Die klassische Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel geht dabei über in allgemeinere Ungleichungen zwischen Potenzmittelwerten bzw. quasi-arithmetischen Mittelwerten.

Gemeinsame Definition der drei klassischen Mittelwerte

Die Idee, die den drei klassischen Mittelwerten zugrunde liegt, lässt sich auf folgende Weise allgemein formulieren:

Beim arithmetischen Mittel sucht man die Zahl , für die

$m+m+\dotsb +m=n\cdot m=x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}$

gilt, wobei sich die Summe links über Summanden erstreckt. Das arithmetische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Summe“. Anschaulich bestimmt man mit dem arithmetischen Mittel aus Stäben verschiedener Länge einen mit einer durchschnittlichen oder mittleren Länge.

Beim geometrischen Mittel sucht man die Zahl , für die

$m\cdot m\dotsm m=m^{n}=x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}$

gilt, wobei sich das Produkt links über Faktoren erstreckt. Das geometrische Mittel mittelt also bzgl. der arithmetischen Verknüpfung „Produkt“.

Das harmonische Mittel löst die Gleichung

${\frac 1m}+{\frac 1m}+\dotsb +{\frac 1m}={\frac nm}={\frac 1{x_{1}}}+{\frac 1{x_{2}}}+\dotsb +{\frac 1{x_{n}}}$

Zusammenhänge

Der Kehrwert des harmonischen Mittels ist gleich dem arithmetischen Mittel der Kehrwerte der Zahlen.

Für n=2 hängen die Mittelwerte untereinander in folgender Weise zusammen:

$x_{{\mathrm {harm}}}={\frac {x_{{\mathrm {geom}}}^{2}}{x_{{\mathrm {arithm}}}}}$

oder nach dem geometrischen Mittel aufgelöst

IMG class="text" style="width: 24.56ex; height: 3ex; vertical-align: -1.17ex;" alt="x_{{\text{geom}}}={\sqrt {x_{{\text{arithm}}}\cdot x_{{\text{harm}}}}}." src="/svg/d3d457a7a895b1b91cae934c48ea87581a154680.svg">

Ungleichung der Mittelwerte

→ Hauptartikel: Ungleichung der Mittelwerte

Die Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel vergleicht die Werte des arithmetischen und geometrischen Mittels zweier gegebener Zahlen: Es gilt für positive Variable stets

$\min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar x}_{{{\text{geom}}}}\leq {\bar x}_{{{\text{arithm}}}}\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).$

Die Ungleichung lässt sich auch auf weitere Mittelwerte ausdehnen, z.B. (für positive Variable)

$\min(x_{1},\dotsc ,x_{n})\leq {\bar x}_{{{\text{harm}}}}\leq {\bar x}_{{{\text{geom}}}}\leq {\bar x}_{{{\text{arithm}}}}\leq \max(x_{1},\dotsc ,x_{n}).$

Für zwei (positive) Variablen gibt es auch eine grafische Veranschaulichung:

geometrischer Beweis der Ungleichung für Mittelwerte zweier Variablen

Das geometrische Mittel folgt direkt aus dem euklidischen Höhensatz und das harmonische Mittel aus dem euklidischen Kathetensatz mit der Beziehung

${\bar {x}}_{{\text{geom}}}^{2}={\bar {x}}_{{\text{harm}}}\cdot {\bar {x}}_{{\text{arithm}}}.$

Weitere Mittelwerte und ähnliche Funktionen

Gewichtete Mittel

Die gewichteten oder auch gewogenen Mittelwerte entstehen, wenn man den einzelnen Werten unterschiedliche Gewichte zuordnet, mit denen sie in das Gesamtmittel einfließen; zum Beispiel wenn bei einer Prüfung mündliche und schriftliche Leistung unterschiedlich stark in die Gesamtnote einfließen.

Die genauen Definitionen finden sich hier:

Logarithmischer Mittelwert

Der logarithmische Mittelwert ${\bar {x}}_{{a,b,\ln }}$ zwischen $x_{a}$ und $x_{b}$ ist definiert als:

${\bar {x}}_{{a,b,\ln }}={\frac {x_{b}-x_{a}}{\ln({\frac {x_{b}}{x_{a}}})}}={\frac {x_{b}-x_{a}}{\ln(x_{b})-\ln(x_{a})}}.$

Für $x_{a}\neq x_{b}$ liegt der logarithmische Mittelwert zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert.

Winsorisiertes oder gestutztes Mittel

Kann man davon ausgehen, dass die Daten durch „Ausreißer“, das heißt einige wenige zu hohe oder zu niedrige Werte, kontaminiert sind, so kann man die Daten entweder durch Stutzen oder durch „Winsorisieren“ (benannt nach Charles P. Winsor) bereinigen und den gestutzten ${\bar {x}}_{{g\alpha }}$ (engl. truncated mean) oder winsorisierten Mittelwert ${\bar {x}}_{{w\alpha }}$ (engl. Winsorized mean) berechnen. In beiden Fällen sortiert man die Beobachtungswerte zuerst nach aufsteigender Größe. Beim Stutzen schneidet man sodann eine gleiche Anzahl von Werten am Anfang und am Ende der Folge ab und berechnet von den übrig bleibenden Werten den Mittelwert. Hingegen werden beim „Winsorisieren“ die Ausreißer am Anfang und Ende der Folge durch den nächstgrößeren (bzw. -kleineren) Wert der restlichen Daten ersetzt.

Beispiel: Hat man 10 aufsteigend sortierte, reelle Zahlen $x_{1},\ldots ,x_{{10}}$ , so ist das 10 %-gestutzte Mittel gleich

${\bar {x}}_{{g0,1}}={\frac {x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}}{8}}.$

Indes ist der 10-%-winsorisierte Mittelwert gleich

${\bar {x}}_{{w0,1}}={\frac {x_{2}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}+x_{7}+x_{8}+x_{9}+x_{9}}{10}}.$

D.h. das gestutzte Mittel liegt zwischen dem arithmetischen Mittel (keine Stutzung) und dem Median (maximale Stutzung). Üblicherweise wird ein 20 % gestutztes Mittel verwendet, d.h. 40 % der Daten bleiben unberücksichtigt für die Mittelwertberechnung. Die Prozentzahl richtet sich im wesentlich nach der Zahl der vermuteten Ausreißer in den Daten; für Bedingungen für eine Stutzung von weniger als 20 % sei auf die Literatur verwiesen.

Quartilsmittel

Das Quartilsmittel ist definiert als der Mittelwert des 1. und 3. Quartils:

${\bar {x}}_{q}={\frac {{\tilde x}_{{0{,}25}}+{\tilde x}_{{0{,}75}}}{2}}.$

Hierbei bezeichnet ${\tilde x}_{{0{,}25}}$ das 25 %-Quantil (1. Quartil) und entsprechend ${\tilde x}_{{0{,}75}}$ das 75 %-Quantil (3. Quartil) der Messwerte.

Das Quartilsmittel ist robuster als das arithmetische Mittel, aber weniger robust als der Median.

Mitte der kürzesten Hälfte

Sei [a,b[ das kürzeste Intervall unter allen Intervallen mit $F(b)-F(a)\geq {\frac {1}{2}}$ , so ist ${\frac {b-a}{2}}$ dessen Mitte (middle of the shortest half). Bei unimodalen symmetrischen Verteilungen konvergiert dieser Wert gegen das arithmetische Mittel.

Gastwirth-Cohen-Mittel

Das Gastwirth-Cohen-Mittel nutzt drei Quantile der Daten: das $\alpha$ Quantil und das $1-\alpha$ Quantil jeweils mit Gewicht $\lambda$ sowie den Median mit Gewicht $1-2\lambda$ :

${\bar {x}}_{{gc}}=\lambda {\tilde x}_{{\alpha }}+(1-2\lambda ){\tilde x}_{{0{,}5}}+\lambda {\tilde x}_{{1-\alpha }}$

mit $0\leq \alpha \leq 0{,}5$ und $0\leq \lambda \leq 0{,}5$ .

Spezialfälle sind

das Quartilsmittel mit $\alpha =0{,}25$ , $\lambda =0{,}5$ und
das Trimean mit $\alpha =0{,}25$ , $\lambda =0{,}25$ .

Bereichsmittel

Das Bereichsmittel ist definiert als der Mittelwert des größten und kleinsten Beobachtungswerts:

${\bar {x}}_{b}={\frac {\min _{i}x_{i}+\max _{i}x_{i}}{2}}.$

oder

$|{\min _{i}x_{i}-{\bar {x}}_{b}}|=|{\max _{i}x_{i}-{\bar {x}}_{b}}|$

Das „a-Mittel“

Für einen gegebenen reellen Vektor $a=(a_{1},\dots ,a_{n})$ mit $\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}=1$ wird der Ausdruck

$[a]={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma }x_{{\sigma (1)}}^{{a_{1}}}\cdots x_{{\sigma (n)}}^{{a_{n}}},$

wobei über alle Permutationen $\sigma$ von $\{1,\ldots ,n\}$ summiert wird, als „-Mittel“ [] der nichtnegativen reellen Zahlen $x_1, \ldots, x_n$ bezeichnet.

Für den Fall $a=(1,0,\dots ,0)$ , ergibt das genau das arithmetische Mittel der Zahlen $x_1, \ldots, x_n$ ; für den Fall IMG class="text" style="width: 16.01ex; height: 4.84ex; vertical-align: -1.83ex;" alt="a=\left({\tfrac 1n},\dots ,{\tfrac 1n}\right)" src="/svg/016403f618c606a76911dc3435241a9bc7928179.svg"> ergibt sich genau das geometrische Mittel.

Für die -Mittel gilt die Muirhead-Ungleichung.

Beispiel: Sei $a=\left({\tfrac 12},{\tfrac 13},{\tfrac 16}\right)$ und

$x_{1}=4,\,x_{2}=5,\,x_{3}=6,$ dann gilt ${\tfrac 12}+{\tfrac 13}+{\tfrac 16}=1$ und die Menge der Permutationen (in Kurzschreibweise) von $\{1,2,3\}$ ist

$S_{3}=\{1\,2\,3,1\,3\,2,2\,1\,3,2\,3\,1,3\,1\,2,3\,2\,1\}.$

Damit ergibt sich

${\begin{aligned}{[a]}&={\frac {1}{3!}}\left(x_{1}^{{{\frac 12}}}x_{2}^{{{\frac 13}}}x_{3}^{{{\frac 16}}}+x_{1}^{{{\frac 12}}}x_{3}^{{{\frac 13}}}x_{2}^{{{\frac 16}}}+x_{2}^{{{\frac 12}}}x_{1}^{{{\frac 13}}}x_{3}^{{{\frac 16}}}+x_{2}^{{{\frac 12}}}x_{3}^{{{\frac 13}}}x_{1}^{{{\frac 16}}}+x_{3}^{{{\frac 12}}}x_{1}^{{{\frac 13}}}x_{2}^{{{\frac 16}}}+x_{3}^{{{\frac 12}}}x_{2}^{{{\frac 13}}}x_{1}^{{{\frac 16}}}\right)\\&={\frac 16}\left(4^{{{\frac 12}}}{\cdot }5^{{{\frac 13}}}{\cdot }6^{{{\frac 16}}}+4^{{{\frac 12}}}{\cdot }6^{{{\frac 13}}}{\cdot }5^{{{\frac 16}}}+5^{{{\frac 12}}}{\cdot }4^{{{\frac 13}}}{\cdot }6^{{{\frac 16}}}+5^{{{\frac 12}}}{\cdot }6^{{{\frac 13}}}{\cdot }4^{{{\frac 16}}}+6^{{{\frac 12}}}{\cdot }4^{{{\frac 13}}}{\cdot }5^{{{\frac 16}}}+6^{{{\frac 12}}}{\cdot }5^{{{\frac 13}}}{\cdot }4^{{{\frac 16}}}\right)\\&\approx 4{,}94.\end{aligned}}$

Gleitende Durchschnitte

Gleitende Durchschnitte werden in der dynamischen Analyse von Messwerten angewandt. Sie sind außerdem ein gängiges Mittel der technischen Analyse in der Finanzmathematik. Mit gleitenden Durchschnitten kann das stochastische Rauschen aus zeitlich voranschreitenden Signalen herausgefiltert werden. Häufig handelt es sich dabei um FIR-Filter. Jedoch muss beachtet werden, dass die meisten gleitenden Durchschnitte dem echten Signal hinterherlaufen. Für vorausschauende Filter siehe z.B. Kalman-Filter.

Gleitende Durchschnitte benötigen normalerweise eine unabhängige Variable, die die Größe der nachlaufenden Stichprobe bezeichnet, bzw. das Gewicht des vorangehenden Wertes für die exponentiellen gleitenden Durchschnitte.

Gängige gleitende Durchschnitte sind:

arithmetische gleitende Durchschnitte (Simple Moving Average – SMA),
exponentiell gleitende Durchschnitte (Exponential Moving Average – EMA),
doppelt exponentiell gleitende Durchschnitte (Double EMA, DEMA),
dreifach, -fach exponentiell gleitende Durchschnitte (Triple EMA – TEMA),
linear gewichtete gleitende Durchschnitte (linear abfallende Gewichtung),
quadratisch gewichtete gleitende Durchschnitte und
weitere Gewichtungen: Sinus, Triangular, …

In der Finanzliteratur können außerdem sogenannte adaptive gleitende Durchschnitte gefunden werden, die sich automatisch einer sich ändernden Umgebung (andere Volatilität/Streuung etc.) anpassen:

Kaufmann’s Adaptive Moving Average (KAMA) sowie
Variable Index Dynamic Average (VIDYA).

Sonstige Mittelwerte

Sonstige Mittelwerte, die in einem eigenen Artikel beschrieben werden, sind der Modus (eigentlich kein Mittelwert, sondern der häufigste Wert) und der Median, der robust gegenüber extremen Abweichungen, sogenannten Ausreißern, ist.

Außerdem lassen sich Mittelwerte kombinieren; so entsteht etwa das arithmetisch-geometrische Mittel, das zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel liegt.

Verallgemeinerte Mittelwerte

Es gibt eine Reihe weiterer Funktionen, mit denen sich die bekannten und weitere Mittelwerte erzeugen lassen.

Hölder-Mittel

→ Hauptartikel: Hölder-Mittel

Für positive Zahlen $x_{i}$ definiert man den -->-Potenzmittelwert, auch Hölder-Mittel (englisch -th power mean) als

${\bar {x}}(k)={\sqrt[ {k}]{{\frac {1}{n}}\sum _{{i=1}}^{n}{x_{i}^{k}}}}.$

Für = 0 ist der Wert durch stetige Ergänzung definiert:

${\bar {x}}(0)=\lim _{{k\to 0}}{\bar {x}}(k).$

Man beachte, dass sowohl Notation als auch Bezeichnung uneinheitlich sind.

Für = −1, 0, 1, 2 und 3 ergeben sich daraus etwa das harmonische, das geometrische, das arithmetische, das quadratische und das kubische Mittel. Für → -∞ ergibt sich das Minimum, für → +∞ das Maximum der Zahlen.

Außerdem gilt bei festen Zahlen $x_{i}$ : Je größer ist, desto größer ist ${\bar {x}}(k)$ ; daraus folgt dann die verallgemeinerte Ungleichung der Mittelwerte

$\min(x_{1},\ldots ,x_{n})\leq {\bar x}_{{{\mathrm {harm}}}}\leq {\bar x}_{{{\mathrm {geom}}}}\leq {\bar x}_{{{\mathrm {arithm}}}}\leq {\bar x}_{{{\mathrm {quadr}}}}\leq {\bar x}_{{{\mathrm {kubisch}}}}\leq \max(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Lehmer-Mittel

Das Lehmer-Mittel ist ein anderer verallgemeinerter Mittelwert; zur Stufe ist es definiert durch

$L_{p}(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})={\frac {\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}^{p}}{\sum _{{k=1}}^{n}a_{k}^{{p-1}}}}.$

Es hat die Spezialfälle

$\lim _{{p\to -\infty }}L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min(a_{1},\ldots ,a_{n});$
$L_{0}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist das harmonische Mittel;
$L_{{1/2}}(a_{1},a_{2})$ ist das geometrische Mittel von $a_{1}$ und ;
$L_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})$ ist das arithmetische Mittel;
$\lim _{{p\to \infty }}L_{p}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max(a_{1},\ldots ,a_{n}).$

Stolarsky-Mittel

Das Stolarsky-Mittel zweier Zahlen a,c ist definiert durch

$S_{p}(a,c)=\left({\frac {a^{p}-c^{p}}{p(a-c)}}\right)^{{1/p-1}}.$

Integraldarstellung nach Chen

Die Funktion

$f(t)={\frac {\int _{a}^{b}x^{{t+1}}\,{\mathrm {d}}x}{\int _{a}^{b}x^{t}\,{\mathrm {d}}x}}$

ergibt für verschiedene Argumente $t \in \mathbb{R}$ die bekannten Mittelwerte von :

$f(-3)={\frac {2ab}{a+b}}$ ist das harmonische Mittel
$f\left(-{\frac {3}{2}}\right)={\sqrt {ab}}$ ist das geometrische Mittel
$f(0)={\frac {a+b}{2}}$ ist das arithmetische Mittel

Aus der Stetigkeit und Monotonie der so definierten Funktion folgt die Mittelwertungleichung

$\underbrace {{\frac {2ab}{a+b}}}_{{{\text{harm. }}=f(-3)}}\leq \underbrace {{\sqrt {ab}}}_{{{\text{geom. }}=f\left(-{\frac {3}{2}}\right)}}\leq \underbrace {{\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}_{{{\text{log. }}=f(-1)}}\leq \underbrace {{\frac {a+{\sqrt {ab}}+b}{3}}}_{{{\text{heron. }}=f\left(-{\frac {1}{2}}\right)}}\leq \underbrace {{\frac {a+b}{2}}}_{{{\text{arithm. }}=f(0)}}$

Mittelwert einer Funktion

Das arithmetische Mittel einer stetigen Funktion f(x) in einem geschlossenen Intervall [a,b] ist

$\lim _{{N\to \infty }}{\frac {\sum _{{i=0}}^{N}f(x_{i})}{N}}={\frac 1{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x){\mathrm d}x$ , wobei $N={\frac {b-a}{\Delta x}}$ die Zahl der Stützstellen ist.

Das quadratische Mittel einer stetigen Funktion ist

${\sqrt {{\frac 1{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)^{2}{\mathrm d}x}}.$

Diese finden in der Technik erhebliche Beachtung, siehe Gleichwert und Effektivwert.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de