Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt.

Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, d.h. der Fluss durch den Phasenraum ist volumen- und sogar orientierungserhaltend.

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Unabhängig vom gewählten Ensemble gilt für die zeitliche Entwicklung, dass die totale Ableitung nach der Zeit verschwindet:

${\frac {{\mathrm {d}}\rho }{{\mathrm {d}}t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{{i=1}}^{{N}}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial q_{{i}}}}{\dot {q}}_{{i}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{{i}}}}{\dot {p}}_{{i}}\right]=0$

wobei

$q_{i}$ und $p_{i}$ die kanonischen Orts- und Impuls koordinaten des -ten Teilchens im Phasenraum bezeichnen.

Das bedeutet, dass sich die Phasenraumdichte entlang einer Phasenraumtrajektorie nicht verändert.

Ersetzt man ${\dot q}_{i}$ und ${\dot p}_{i}$ gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

${\frac {\partial }{\partial t}}\rho (\tau ,t)=-\{\,\rho (\tau ,t),H\,\}=\{\,H,\rho (\tau ,t)\,\}$

wobei

H die Hamilton-Funktion
$\tau$ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Die Liouvillegleichung kann bei Einführung des Liouvilleoperators

$L=\sum _{{i=1}}^{{n}}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{{i}}}}{\frac {\partial }{\partial q^{{i}}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{{i}}}}{\frac {\partial }{\partial p_{{i}}}}\right]=\{\cdot ,H\}$

auch wie folgt geschrieben werden:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{L}\rho$

Quantenmechanische Gleichung

Die quantenmechanische Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {i}{\hbar }}[\rho ,H]$

Hier bezeichnet

$\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum
$\rho$ die Dichtematrix
den Hamilton-Operator
die eckigen Klammern den Kommutator.

Wie im Fall der klassischen Mechanik kann man formal einen Liouville-Operator einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator :

$LA={\frac {i}{\hbar }}[A,H]$

Damit schreibt sich die Von-Neumann-Gleichung:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=L\rho$

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen dem Hamilton-Operator und der klassischen Poisson-Klammer hergeleitet werden:

$\lim \limits _{{\hbar \rightarrow 0}}~{\frac {i}{\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]=\{{A}_{w},{B}_{w}\}$

Basierend auf einem Artikel in:

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