Großer Fermatscher Satz

Pierre de Fermat

Der Große Fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen. Als schlüssiger Höhepunkt für den Beweis gilt die Zusammenarbeit von Wiles mit Richard Taylor, die sich neben dem endgültigen Beweis durch Wiles in einer gleichzeitigen Veröffentlichung eines Teilbeweises von beiden, Wiles und Taylor, als gemeinsame Autoren niederschlug.

Der Satz besagt: Ist eine natürliche Zahl größer als 2, so kann die -te Potenz jeder natürlichen Zahl ungleich null nicht in die Summe zweier -ter Potenzen natürlicher Zahlen ungleich null zerlegt werden. Formal bedeutet dies:

Die Gleichung

$a^{n}+b^{n}=c^{n}$

ist für positive ganze Zahlen $a,b,c,n$ unlösbar, wenn größer als zwei ist.

Der Große Fermatsche Satz gilt in vielerlei Hinsicht als ungewöhnlich. Seine Aussage ist, trotz der Schwierigkeiten, die sich bei seinem Beweis ergaben, auch für Laien leicht verständlich. Es dauerte mehr als 350 Jahre und war eine Geschichte der gescheiterten Versuche, an denen sich seit Leonhard Euler zahlreiche führende Mathematiker wie etwa Ernst Eduard Kummer beteiligt haben. Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben ihn weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.

Der schließlich erbrachte Beweis, an dessen Vorarbeiten neben Wiles und Taylor auch Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, Barry Mazur und Ken Ribet beteiligt waren, gilt als Höhepunkt der Mathematik des 20. Jahrhunderts.

Bezeichnungen

Für diesen Satz existieren verschiedene Bezeichnungen. Die im Deutschen häufigste ist großer Fermatscher Satz und daraus abgeleitet großer Fermat im Gegensatz zum kleinen Fermatschen Satz bzw. kleinen Fermat. Da von Fermat selbst kein Beweis überliefert ist, handelte es sich streng genommen zunächst nur um eine Vermutung. Daher wird auch der Begriff Fermatsche Vermutung verwendet, doch auch schon vor dem Beweis wurde vom Fermatschen Satz gesprochen. Um Wiles, den Finder des Beweises, mit einzubeziehen, ist auch vom Satz von Fermat-Wiles die Rede. Im Englischen wird der Satz als Fermat’s Last Theorem bezeichnet, was im Deutschen manchmal (ungenau) als Fermats letzter Satz bzw. Fermats letztes Theorem übersetzt wird. ^[1]

Ursprung

Buchdeckel der von Pierre de Fermats Sohn Clément-Samuel veröffentlichten Version der Arithmetica des Diophantos von 1670 mit den Bemerkungen seines Vaters

Diese Seite der Arithmetica von 1670 enthält Pierre de Fermats Randbemerkung

Vermutlich zwischen 1637 und 1643, ein genaues Jahr lässt sich aufgrund nachfolgend erläuterter Gegebenheiten nicht angeben, schrieb Fermat bei der Lektüre der Arithmetika des Diophantos von Alexandria neben die 8. Aufgabe des zweiten (griechischen) „Buches“ folgende Zeilen als Randbemerkung in sein Handexemplar dieses Werkes:

„Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.“

„Es ist jedoch nicht möglich, einen Kubus in 2 Kuben, oder ein Biquadrat in 2 Biquadrate und allgemein eine Potenz, höher als die zweite, in 2 Potenzen mit ebendemselben Exponenten zu zerlegen: Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis entdeckt, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen.“ ^[2]

Da Fermats Handexemplar der Arithmetika erst nach seinem Tod von seinem Sohn im Nachlass seines Vaters gefunden wurde und dieser seine Randnotizen nicht datiert hat, lässt sich ein genaues Datum nicht feststellen. Es ist aber plausibel anzunehmen, dass Fermat zumindest den Fall n=4 und vielleicht auch den Fall n=3 gelöst hatte, bevor er sich zu seiner ebenso berühmten wie „leichtsinnigen“ Bemerkung verlocken ließ. Daher ist als Entstehungsjahr eher 1641 als 1637 wahrscheinlich.

Dass Fermat einen Beweis für den Spezialfall n=4 gefunden hatte, von dem er vielleicht glaubte, ihn verallgemeinern zu können, ist offenkundig, denn dieser Spezialfall ist eine leichte Folgerung aus einem von ihm explizit bewiesenen Satz: Area trianguli rectanguli in numeris non potest quadratus. (Der Flächeninhalt eines pythagoräischen Dreiecks kann keine Quadratzahl sein.), den er inklusive Beweis an den Rand neben der 26. Aufgabe des 6. (griechischen) „Buches“ der Arithmetika geschrieben hat. ^[3]^[4] André Weil hat zudem überzeugend nachgewiesen, dass Fermat alle Mittel besaß, auch den Fall n=3 mit seiner Methode zu beweisen.

Die im Jahr 1995 im Beweis von Wiles benutzten Theorien waren über 350 Jahre früher noch nicht einmal ansatzweise entwickelt. Das schließt jedoch nicht mit Sicherheit aus, dass eines Tages noch ein einfacherer Beweis gefunden wird, der mit elementareren Mitteln auskommt. Aber dass Fermat einen solchen gefunden haben könnte, wird heute von den meisten Zahlentheoretikern bezweifelt. Das sicherste Zeichen, dass Fermat keinen Beweis gefunden hatte, ist, dass er gegenüber keinem seiner Korrespondenten den Satz und einen Beweis desselben erwähnt hat. Fermats Randbemerkung war zudem nur für ihn selbst bestimmt. Mit einer Veröffentlichung durch seinen Sohn Samuel konnte er nicht rechnen.

Verbreitung

Nach dem Tode Fermats gerieten seine zahlentheoretischen Entdeckungen lange Zeit in Vergessenheit, da er seine Erkenntnisse nicht hatte drucken lassen und seine Zeitgenossen unter den Mathematikern sich für Zahlentheorie nicht sonderlich interessierten, Bernard Frenicle de Bessy ausgenommen. Fermats ältester Sohn Samuel veröffentlichte fünf Jahre nach dem Tod seines Vaters eine Neuauflage der Arithmetika, in der auch die achtundvierzig Bemerkungen seines Vaters eingefügt waren. Die zweite dieser Randnotizen wurde dann in weiterer Folge als Fermatsche Vermutung bekannt. Die Notizen enthielten zwar eine Reihe fundamentaler mathematischer Sätze, aber Beweise dazu oder auch nur einfache Erklärungen, wie Fermat zu diesen Resultaten gekommen war, fehlten meistens, wenn auch nicht in allen Fällen. So ist eine der wichtigsten Erkenntnisse Fermats, das berühmte Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus neben der 26. Aufgabe des 6. „Buches“ der Arithmetika mit einem vollständigen Beweis versehen. Hier verwendet Fermat seine Methode des unendlichen Abstiegs. Es war den nachfolgenden Mathematikern überlassen, vor allem und zuerst Leonhard Euler, die fehlenden Beweise nach und nach zu finden.

Unsicherheit

In diesem Kontext entwickelte sich in den folgenden Jahrhunderten speziell der (inzwischen sogenannte) Große Fermatsche Satz zu einer Herausforderung für viele Mathematiker – es gab de facto niemanden, der ihn beweisen oder widerlegen konnte. Weil aber Fermat selbst die Existenz eines „wunderbaren Beweises“ behauptet hatte, versuchten Generationen von Mathematikern, darunter auch die bedeutendsten ihrer Zeit, diesen zu finden. Auch die anderen Bemerkungen Fermats sollten sich als Quelle schwieriger, jahrelanger Arbeit für seine Mathematikerkollegen erweisen. Insgesamt führten diese Bemühungen aber – quasi nebenbei – zu einer Vielzahl bedeutender Entdeckungen.

Ausnahme n = 1, n = 2

Für n=1 und n=2 hat $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ unendlich viele Lösungen mit $a,b,c\in \mathbb {N}$ . Für n=1 ist die Gleichung einfach a+b=c und es lassen sich beliebige a,b für Lösungen wählen. Für n=2 sind die Lösungen die pythagoreischen Zahlentripel.

Beweise für Spezialfälle des Satzes

Es reicht, die Vermutung für Primzahlexponenten und Exponent 4 zu beweisen. Es ist üblich, beim Fermatproblem für einen Primzahlexponenten zwei Fälle zu unterscheiden. Im ersten Fall wird nach Lösungen gesucht, bei denen a,b,c nicht durch teilbar sind. Im zweiten Fall teilt das Produkt $a\cdot b\cdot c$ .

Spezielle Fälle des Großen Fermatschen Satzes konnten schon früh bewiesen werden:

n = 3, n = 4 und Vielfache dieser Zahlen

Bernard Frénicle de Bessy publizierte schon 1676 einen ersten Beweis für den Fall n=4 . Seine Lösung stammte von Fermat selbst, von dem in diesem Fall eine Beweisskizze in einer Randbemerkung in seiner Diophant-Ausgabe zu einem eng verwandten Problem bekannt ist (siehe Unendlicher Abstieg).

Leonhard Euler veröffentlichte 1738 einen Beweis für den Fall n=4 . Später konnte er mit Hilfe der komplexen Zahlen die Behauptung auch für den Fall n=3 bestätigen, den er 1770 publizierte (dass er den Beweis hatte, teilte er schon 1753 brieflich mit). Euler gelang es aber nicht, seine Beweismethode auf weitere Fälle auszudehnen.

Für den Fall n=4 sind mittlerweile mindestens 20 verschiedene Beweise gefunden worden. Für n=3 existieren mindestens 14 verschiedene Beweise.

4 und ungerade Primzahlen reichen aus

Bald darauf wurde klar, dass es ausreicht, den Fermatschen Satz für alle Primzahlen größer als 2 und für die Zahl 4 zu beweisen. Denn jede natürliche Zahl n>2 , die keine Primzahl ist, ist durch 4 oder eine ungerade Primzahl teilbar. Ist nun entweder 4 oder eine ungerade Primzahl, eine natürliche Zahl und n=de sowie $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ eine Lösung für den Exponenten , so gibt es auch eine Lösung für den Exponenten , nämlich $\left(a^{d}\right)^{e}+\left(b^{d}\right)^{e}=\left(c^{d}\right)^{e}$ . Eine solche Lösung darf es aber nicht geben, wenn der Fermatsche Satz für den Exponenten gilt. Somit gilt der Fermatsche Satz auch für den Exponenten .

Mit den Beweisen für die Fälle n=3 und n=4 war die Fermatsche Vermutung auch für alle , die ein Vielfaches von 3 oder 4 sind, bewiesen.

Das Problem ist, dass auch die Primzahlen eine unendlich große Zahlenmenge und demzufolge − per se − eine unendliche Menge zu beweisender Fälle darstellen: Mit diesen Methoden konnte und kann zwar eine (weitere) Plausibilisierung erreicht werden, jedoch niemals ein abschließender und mathematisch exakter Beweis.

n = 5, erster Fall und Sophie-Germain-Primzahlen

Im Jahre 1825 konnten Peter Gustav Lejeune-Dirichlet und Adrien-Marie Legendre den Satz für n=5 beweisen. Sie stützten sich dabei auf die Vorarbeit von Sophie Germain. Germain konnte beweisen, dass der erste Fall der Fermatschen Vermutung zutrifft für alle Sophie-Germain-Primzahlen (bei denen also mit auch $2p+1$ eine Primzahl ist). Legendre konnte das auf die Fälle ausdehnen, in denen mit dem Exponenten n=p auch $k\cdot p+1$ prim ist, mit $k=4,8,10,14,16$ . Das lieferte dann die Gültigkeit des ersten Falls der Fermatvermutung für Primzahlen $p<100$ . Bis zu den Arbeiten von Wiles und Taylor war jedoch weder für den ersten Fall ( $n\nmid abc$ ) noch für den zweiten Fall ( $n\mid abc$ ) ein allgemeiner Beweis bekannt. Allerdings konnten Roger Heath-Brown, Leonard Adleman und Étienne Fouvry 1985 zeigen, dass der erste Fall von Fermats Vermutung für unendliche viele Primzahlen zutrifft und es wurden im ersten Fall Kriterien abgeleitet, die es zum Beispiel Andrew Granville 1988 ermöglichten, nachzuweisen, dass der erste Teil der Vermutung für $p<6{,}93\cdot 10^{17}$ zutrifft.

n = 14 und n = 7

Dirichlet konnte 1832 für den Fall n=14 den Beweis erbringen. Im Jahre 1839 zeigte Gabriel Lamé, dass auch der Fall n=7 Gültigkeit besitzt. Ebenso wie Augustin-Louis Cauchy war Lamé noch im März 1847 überzeugt, den vollständigen Beweis für die Fermatsche Vermutung innerhalb von Wochen der französischen Akademie der Wissenschaften vorlegen zu können (die Hoffnung wurde wenig später durch einen Brief von Kummer zerstört).

Später wurden auch einfachere Varianten des Beweises für n=7 gefunden.

Weitere Einzelfälle

Im Jahr 1885 legte G. B. Matthews einen Beweis für die Fälle n=11 und n=17 vor. J. Fell publizierte 1943 einen Artikel, in dem er eine Methode für n=11 darlegte, die auch für n=17 und n=23 anwendbar sein sollte.

Alle regulären Primzahlen

Die von Cauchy und Lamé 1847 geäußerte Hoffnung auf einen schnellen (und allgemeinen) Beweis wurde aber von Ernst Eduard Kummer zunichtegemacht, der einen Denkfehler in den Überlegungen Lamés und Cauchys entdeckte: Sie waren stillschweigend davon ausgegangen, dass im ganzen Abschluss der ganzen Zahlen in den von ihnen betrachteten Erweiterungen des Körpers der rationalen Zahlen (Kreisteilungskörpern der Ordnung ) für die jeweilige Fermatgleichung zum Exponent (er entsteht durch Adjunktion der -ten Einheitswurzeln) noch die eindeutige Primfaktorzerlegung gilt.

Kummer entwickelte eine Theorie, in der sich die eindeutige Primfaktorzerlegung retten ließ, indem man bestimmte Mengen von Zahlen des Zahlkörpers (Ideale) zusammenfasst und die Arithmetik dieser neuen „idealen Zahlen“ untersucht. Er konnte damit den großen Fermatschen Satz 1846 für reguläre Primzahlen beweisen; dabei heißt eine Primzahl regulär, wenn für keine der Bernoulli-Zahlen $B_{0},B_{2},\dotsc ,B_{p-3}$ deren Zähler durch teilbar ist. In diesem Fall ist die Klassenzahl – also die Anzahl der nicht äquivalenten Idealklassen – des Kreisteilungskörpers der Ordnung nicht durch teilbar. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele reguläre Primzahlen gibt.

Mit Hilfe des Computers und mit Weiterentwicklung der Methoden von Kummer gelang es Harry Vandiver schon Anfang der 1950er Jahre, den Satz für alle Primzahlen kleiner als 2000 zu beweisen. Die Grenze konnte mit Hilfe des Computers noch erheblich nach oben verschoben werden, einem Beweis der Fermatschen Vermutung kam man aber auf diesem Weg nicht näher, sie wurde nur plausibler.

Höchstens endlich viele teilerfremde Lösungen für n ≥ 4 bei festem n

Aus der Vermutung von Mordell – bewiesen 1983 durch Gerd Faltings – folgt als Spezialfall, dass, falls eine der Fermatschen Gleichungen für $n\geq 4$ eine Lösung besitzt, diese nur höchstens endlich viele teilerfremde Lösungen besitzen kann.

Wolfskehl-Preis

Die Suche nach einem allgemeinen Beweis wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts durch das Testament des Darmstädter Arztes und Mathematikers Paul Friedrich Wolfskehl auch materiell motiviert. Einer später erzählten Legende zufolge war sein Schicksal auf seltsame Weise mit dem Fermatschen Satz verbunden. Als seine Liebe zu einer Frau von dieser nicht erwidert wurde, fasste er den Entschluss, sich selbst zu töten. Er setzte den Zeitpunkt seines Freitodes genau auf Mitternacht fest. Um die Zeit bis zu seinem Freitod zu überbrücken, las er noch einmal eine der einschlägigen Arbeiten Ernst Eduard Kummers zur Fermatschen Vermutung und glaubte, darin einen Fehler gefunden zu haben. Er begann das genau nachzuprüfen und vergaß darüber die Zeit. Als Wolfskehl schließlich herausgefunden hatte, dass Kummer keinen Fehler gemacht hatte, war die geplante Zeit seines Suizids bereits vorbei, und er beschloss, seinen Plan aufzugeben. Aus Dankbarkeit dafür, dass Fermat ihm quasi das Leben gerettet hatte, änderte er sein Testament. – Das ist aber eine unbelegte Legende.

Als er dann 1906 eines natürlichen Todes (multiple Sklerose) starb, wurde bekannt, dass er in seinem letzten Willen für denjenigen einen Preis von 100.000 Goldmark ausgesetzt hatte, der zuerst einen vollständigen Beweis in einer Fachzeitschrift veröffentlichen würde. Daraufhin wurde 1908 von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen der Wolfskehl-Preis ausgeschrieben. Einsendeschluss für dieses Unterfangen sollte der 13. September 2007 sein. Im Jahr 1997 wurde der Preis, der noch 75.000 DM wert war, an Andrew Wiles ausbezahlt.

Der Beweis

Im Jahr 1993 zeigte Andrew Wiles in Vorträgen am Isaac Newton Institute in Cambridge einen Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung an, wodurch auch der große Fermatsche Satz bewiesen wäre. Sein vorgestellter Beweis war jedoch in einem wesentlichen Punkt lückenhaft, wie sich erst im nachfolgenden Review herausstellte. Zusammen mit seinem Schüler Richard Taylor konnte Wiles im Jahr 1994 die Lücke schließen und somit auch den großen Fermatschen Satz beweisen.

Der Kern der ohne Anhang und Literaturverzeichnis 98-seitigen Arbeit besteht aus einem zweiteiligen Beweis durch Widerspruch:

Sind mit $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ ein Gegenbeispiel zum fermatschen Satz, so ist die elliptische Kurve

$y^{2}=x\cdot (x-a^{n})\cdot (x+b^{n})$

nicht modular. Dies war 1986 von Gerhard Frey vermutet und über einen Beitrag von Jean-Pierre Serre 1990 durch Ken Ribet bewiesen worden.

Gemäß der Taniyama-Shimura-Vermutung (nach Yutaka Taniyama und Gorō Shimura, manchmal auch nach André Weil benannt) sind jedoch alle elliptischen Kurven modular. Diese Vermutung bewiesen Wiles und Taylor im Jahr 1994 für eine große Klasse von elliptischen Kurven, unter anderem für die Frey-Kurve.

Dies ist ein Widerspruch zum ersten Teil des Beweises, die angenommene Existenz eines Gegenbeispiels zum großen Fermatschen Satz muss falsch sein.

Gerhard Frey, Boston 1995
Jean-Pierre Serre, Erlangen 1997
Barry Mazur, Boston 1995
Ken Ribet, Boston 1995
Richard Taylor, Edinburgh 1996
Andrew Wiles, Boston 1995

Vermutungen, die die Fermatvermutung umfassen

Es gibt einige offene Vermutungen, die die Fermatvermutung als Spezialfall umfassen, am wichtigsten ist die abc-Vermutung. Weitere sind die Fermat-Catalan-Vermutung und die Vermutung von Andrew Beal. Eine Verallgemeinerung ist auch die eulersche Vermutung, die mittlerweile widerlegt ist.

Siehe auch

Kleiner fermatscher Satz

Anmerkungen

↑ „Last“ bezieht sich hierbei darauf, dass es unter den von Fermat formulierten Sätzen der letzte unbewiesene war.
↑ Das Original ist verloren, die Bemerkung findet sich aber in einer Ausgabe der Arithmetica von Diophant mit Übersetzung und Kommentaren von Bachet und Notizen von Fermat, die dessen Sohn herausgab, Paul Tannery, Charles Henry (Hrsg.): Œuvres de Fermat. Tome premier. Gauthier-Villars, Paris 1891; nach Samuel de Fermat (Hrsg.): Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex. Bernard Bosc, Toulouse 1670
↑ Pierre de Fermat: Bemerkungen zu Diophant. Aus dem Lateinischen übersetzt und mit Anmerkungen herausgegeben von Max Miller. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1932, S. 34–36.
↑ Catherine Goldstein: Un théorème de Fermat et ses lecteures. Presses Universitaires de Vincennes, Saint-Denis 1995 (französisch).

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de