Quadratsummen-Funktion

Die Quadratsummen-Funktion (engl. sum of squares function) ist eine zahlentheoretische Funktion, die angibt, auf wie viele Arten eine gegebene natürliche Zahl als Summe von Quadraten ganzer Zahlen dargestellt werden kann, wobei alle Vertauschungen und Vorzeichenkombinationen mitgezählt werden. Sie wird bezeichnet als $r_{k}(n)$ .

Definition

Die ersten Werte von r_k
n	n	r₁(n)	r₂(n)	r₃(n)	r₄(n)	r₅(n)	r₆(n)	r₇(n)	r₈(n)
0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	4	6	8	10	12	14	16
2	2	0	4	12	24	40	60	84	112
3	3	0	0	8	32	80	160	280	448
4	2²	2	4	6	24	90	252	574	1136
5	5	0	8	24	48	112	312	840	2016
6	2‧3	0	0	24	96	240	544	1288	3136
7	7	0	0	0	64	320	960	2368	5504
8	2³	0	4	12	24	200	1020	3444	9328
9	3²	2	4	30	104	250	876	3542	12112
10	2‧5	0	8	24	144	560	1560	4424	14112
11	11	0	0	24	96	560	2400	7560	21312
12	2²‧3	0	0	8	96	400	2080	9240	31808
13	13	0	8	24	112	560	2040	8456	35168
14	2‧7	0	0	48	192	800	3264	11088	38528
15	3‧5	0	0	0	192	960	4160	16576	56448
16	2⁴	2	4	6	24	730	4092	18494	74864
17	17	0	8	48	144	480	3480	17808	78624
18	2‧3²	0	4	36	312	1240	4380	19740	84784
19	19	0	0	24	160	1520	7200	27720	109760
20	2²‧5	0	8	24	144	752	6552	34440	143136

Die Funktion ist definiert als

$r_{k}(n):=\sum _{\begin{array}{c}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\\(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\end{array}}1\quad =\quad {\big |}\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\mid a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}=n\right\}{\big |}$ ,

d.h. als Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten von als Summe von Quadraten ganzer Zahlen mit $k\geq 1$ . Es sei $r_{k}(0):=1$ .

Beispielsweise ist $r_{2}(1)=4$ , da $1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}$ mit jeweils 2 Vorzeichenkombinationen gilt, und auch $r_{2}(2)=4$ wegen $2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}$ mit 4 Vorzeichenkombinationen. Andererseits ist $r_{2}(3)=0$ , weil es keine Darstellung der Zahl 3 als Summe von 2 Quadraten gibt.

Aus der Definition folgt sofort die Beziehung

$r_{k+m}(n)=\sum _{t=0}^{n}r_{k}(t)\ r_{m}(n-t),$

aus der sich eine Rekursionsformel zur effizienten Berechnung ableiten lässt:

$r_{k+1}(n)=r_{k}(n)+2\sum _{t=1}^{\sqrt {n}}r_{k}(n-t^{2}).$

Durchschnittliche Größenordnung

Es sei

$R_{k}(x):=\sum _{n=0}^{x}r_{k}(n)=\sum _{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dotsb +a_{k}^{2}\leq x}1$ .

Das ist anschaulich die Anzahl der (ganzzahligen) Gitterpunkte in einer -dimensionalen Kugel mit dem Radius ${\sqrt x}$ und darum näherungsweise gleich dem Kugelvolumen. Genauer lässt sich rekursiv ableiten

$R_{k}(x)=V_{k}x^{\frac {k}{2}}+O(x^{\frac {k-1}{2}})$ ,

wobei die Konstanten $V_{k}$ die Volumina der -dimensionalen Einheitskugeln sind: $V_{2}=\pi ,\;V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi ,\;V_{4}={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2},\;\dots$ und $O(.)$ das Landau-Symbol ist.

Die durchschnittliche Größenordnung von $r_{k}(n)$ ist damit ${\tfrac {k}{2}}V_{k}x^{{\tfrac {k}{2}}-1}$ , also z.B. $\pi$ die von $r_{2}(x)$ .

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion erhält man als Potenz der Jacobischen Thetafunktion $\vartheta (z,q)$ für den Spezialfall z=0 . Dafür gilt

$\vartheta _{3}(q):=\vartheta (0,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\dotsb$

Man erhält daraus

$(\vartheta _{3}(q))^{k}=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}}q^{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\sum _{n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\dotsb +n_{k}^{2}=n}1=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}\ r_{k}(n)$

Spezielle Fälle

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₂(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₄(n)

Werte und durchschnittliche Größenordnung von r₈(n)

Einfache Formeln ergeben sich für gerades , z.B. ( n>0 ):

Für k=2 gilt:

$r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}}(-1)^{(d-1)/2}$

Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung $n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots$ , wobei $p_{i}$ die Primfaktoren der Form $p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}$ und $q_{i}$ die Primfaktoren der Form $q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}$ sind, ergibt sich als weitere Formel

$r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots$ ,

wenn alle Exponenten $h_{1},h_{2},\dotsc$ gerade sind. Ist mindestens ein h_i ungerade, dann ist $r_{2}(n)=0$ . Nach Definition ist $r_{2}(n)$ auch die Anzahl aller Gaußschen Zahlen mit der Norm .

Die Formel für k=4 stammt von Carl Gustav Jacob Jacobi und ist gegeben als achtfache Summe aller Teiler von die nicht durch 4 teilbar sind (Satz von Jacobi):

$r_{4}(n)=8\sum _{d\mid n;4\nmid d}d$

$r_{4}(n)$ ist auch die Anzahl aller Lipschitz-Quaternionen mit der Norm .

Jacobi fand auch eine explizite Formel für k=8 :

$r_{8}(n)=16\sum _{d\mid n}(-1)^{n+d}d^{3}$

Beziehung zur Sierpiński-Konstanten

Der Limes

$K:=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {r_{2}(k)}{k}}-\pi \log n\right)$

existiert und wird (nach Wacław Sierpiński) als Sierpiński-Konstante bezeichnet. Diese lässt sich durch die Kreiszahl, die Euler-Mascheroni-Konstante und die Gammafunktion ausdrücken:

$K=\pi (2\gamma +4\log \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\log \pi )$

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de