Abgeschlossene Abbildung

Abgeschlossene Abbildungen werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Es handelt sich um Abbildungen zwischen zwei topologischen Räumen, die abgeschlossene Mengen wieder auf abgeschlossene Mengen abbilden.

Definition

Sei $f:X\rightarrow Y$ eine Abbildung zwischen den topologischen Räumen und . heißt abgeschlossen, wenn für jede abgeschlossene Menge $A\subset X$ auch die Bildmenge $f(A)\subset Y$ abgeschlossen ist.

Beispiele

Jede stetige Abbildung $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ von einem beschränkten, abgeschlossenen Intervall in die reellen Zahlen ist abgeschlossen. Auf unbeschränkten Intervallen gilt das nicht, so ist zum Beispiel die stetige Arkustangens-Funktion $\mathrm {arctan} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ nicht abgeschlossen, denn $A=[0,\infty )\subset \mathbb {R}$ ist abgeschlossen, aber die Bildmenge $\textstyle \mathrm {arctan} (A)=[0,{\frac {\pi }{2}})\subset \mathbb {R}$ ist nicht abgeschlossen.
Allgemeiner ist jede stetige Abbildung $f:X\rightarrow Y$ von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum abgeschlossen. Ist nämlich $A\subset X$ abgeschlossen, so ist als abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums kompakt und daher ist auch das Bild kompakt. Als kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist abgeschlossen.
Homöomorphismen sind abgeschlossen. Genauer gilt, dass eine bijektive Abbildung $f:X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen genau dann ein Homöomorphismus ist, wenn stetig und abgeschlossen ist.
Eigentliche Abbildungen sind abgeschlossen. Genauer ist eine stetige Abbildung $f:X\rightarrow Y$ genau dann eigentlich, wenn sie abgeschlossen ist und $f^{-1}(\{y\})\subset X$ kompakt ist für jedes $y\in f(X)$ .
Offene Abbildungen müssen nicht abgeschlossen sein. Die Abbildung $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\,(s,t)\mapsto s$ ist offen, die Bildmenge der abgeschlossenen Menge $\{(s,t)\colon s\geq 0,st\geq 1\}$ ist die nicht-abgeschlossene Menge $(0,\infty )$ . Umgekehrt müssen abgeschlossene Abbildungen nicht offen sein, wie das Beispiel einer konstanten Abbildung zeigt.

Eigenschaften

Kompositionen abgeschlossener Abbildungen sind wieder abgeschlossen.
Sei $f:X\rightarrow Y$ eine abgeschlossene Abbildung, $B\subset Y$ und es sei $f^{-1}(B)\subset X$ offen. Dann ist offen.
Eine Abbildung $f:X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Räumen ist genau dann abgeschlossen, falls $f({\overline {A}})\supset {\overline {f(A)}}$ für alle Teilmengen $A\subset X$ .

Abgrenzung

In der Funktionalanalysis betrachtet man sogenannte abgeschlossene Operatoren $T:X\rightarrow Y$ zwischen topologischen Vektorräumen und , das sind solche linearen Operatoren, deren Graph eine abgeschlossene Menge im Produktraum $X\times Y$ ist. Das darf nicht mit dem oben betrachteten Begriff der abgeschlossenen Abbildung zwischen topologischen Räumen verwechselt werden. So ist zum Beispiel die Inklusionsabbildung $\iota :\ell ^{1}\rightarrow \ell ^{\infty }$ der Folgenräume mit ihren üblichen Normtopologien als stetiger, linearer Operator sicher abgeschlossen, aber es handelt sich nicht um eine abgeschlossene Abbildung zwischen den zugehörigen topologischen Räumen, denn $A=\ell ^{1}\subset \ell ^{1}$ ist abgeschlossen, aber das Bild $\iota (A)\subset \ell ^{\infty }$ ist nicht abgeschlossen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de