Stichprobenmittel

Das Stichprobenmittel, auch als Stichprobenmittelwert, arithmetischer Mittelwert oder arithmetisches Mittel bezeichnet, ist eine spezielle Schätzfunktion in der mathematische Statistik. Es spielt eine wichtige Rolle bei der Schätzung des Erwartungswertes von unbekannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen und tritt auch bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen und statistischen Tests auf.

Sein empirisches Pendant ist der empirische Mittelwert. Er entspricht einer Realisierung des Stichprobenmittels.

Definition

Seien $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$ unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen. Dann ist das Stichprobenmittel definiert als

${\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ .

Teils wird noch die Anzahl der Zufallsvariablen als Index mitnotiert, insbesondere bei Grenzwertbetrachtungen. Das Stichprobenmittel wird dann als ${\overline {X}}_{n}$ notiert.

Eigenschaften

Das Stichprobenmittel ist das erste Stichprobenmoment und damit Erwartungswert der empirischen Verteilung. Daraus folgt direkt, dass es sich bei dem Stichprobenmittel um den Momentenschätzer für den Erwartungswert handelt. Für eine Herleitung siehe Momentenmethode.

Der so gewonnene Schätzer ist erwartungstreu und damit unverzerrt. Dies folgt direkt aus der Linearität des Erwartungswertes, denn es ist

$\operatorname {E} _{\vartheta }({\overline {X}})=\operatorname {E} _{\vartheta }\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n}}\operatorname {E} _{\vartheta }\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} _{\vartheta }(X_{i})={\frac {1}{n}}\cdot n\operatorname {E} _{\vartheta }(X_{1})=\operatorname {E} _{\vartheta }(X_{1})$ ,

was genau dem Erwartungswert des zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitssmaßes entspricht. Des Weiteren ist das Stichprobenmittel aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes stets asymptotisch normalverteilt und nach dem starken Gesetz der großen Zahlen auch stark konsistent.

Weiter gilt $\operatorname {Var} ({\overline {X}})=\operatorname {Var} (X_{1})/n$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de