Parameter (Statistik)

In der Statistik fassen aggregierende Parameter oder Maßzahlen die wesentlichen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung, z.B. einer längeren Reihe von Messdaten, oder einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zusammen.

Einige Parameter der deskriptiven Statistik entsprechen den Momenten von Zufallsvariablen.

Der Begriff Parameter wird auch bei Verteilungsmodellen verwendet, man spricht dann von Verteilungsparametern. Er ist dann meist eine von mehreren Größen, die zusammen mit der Verteilungsklasse die genaue Form einer Verteilung festlegen.

Lageparameter

→ Hauptartikel: Lageparameter (Deskriptive Statistik)

Der Median (hier ${\tfrac {\ln 2}\lambda }$ ) teilt die Masse der Verteilung
Der Erwartungswert (hier ${\tfrac {1}\lambda }$ ) ist der Schwerpunkt der Verteilung

Die Definitionen von Lageparametern zielen darauf ab, die Lage der Stichprobenelemente beziehungsweise der Elemente der Grundgesamtheit in Bezug auf die Messskala zu beschreiben. Sie fassen eine Anzahl von Werten oder auch eine vom Zufall abhängende Größe (z.B. Zeit bis zum nächsten Zerfall eines Atoms) zu einer einzelnen Zahl – der zentralen Tendenz – zusammen, die die Werte möglichst gut repräsentiert.

Definition

Sei $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ eine Stichprobe. Ein Funktion $l:x_{1},\dots ,x_{n}\mapsto \mathbb {R}$ heißt Lagemaß, wenn sie translationsäquivariant ist:

$l(x_{1}+a,\dots ,x_{n}+a)=l(x_{1},\dots ,x_{n})+a$ mit $a\in {\mathbb {R}}$

Beispiele

In der deskriptiven Statistik nutzt man als Lageparameter einer Verteilung:

Arithmetisches Mittel: $l_{\text{arithm.}}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$
empirische Quantile: Median, Quartile, Dezile, Perzentile
Modus

Für die drei zuerst genannten Lageparameter sowie Modus und Median siehe auch Mittelwert.

Bei Zufallsvariablen spricht man vom Erwartungswert.

Nach der obigen Definition sind folgende Kenngrößen keine Lagemaße:

Geometrisches Mittel: $l_{\text{geom.}}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}}}$
Harmonisches Mittel: $l_{\text{harm.}}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$

Streuungsparameter

→ Hauptartikel: Streuungsmaß (Statistik)

Unter einem Streuungsmaß oder Dispersionsmaß (auch Streuungsparameter) versteht man statistische Kennziffern, durch deren Ermittlung sich Aussagen über die Verteilung von zum Beispiel aus Wägungen und Zählungen stammenden Messwerten um den Mittelpunkt treffen lassen. In der Deskriptiven Statistik beschreibt man die Streuung (oder Dispersion; auch Variation) mit folgenden Maßen:

empirische Varianz, auch (mehrdeutig) Stichprobenvarianz genannt, die mittlere quadrierte Abweichung vom arithmetischen Mittel
Empirische Standardabweichung, die Wurzel aus der empirischen Varianz
Spannweite, die Differenz zwischen größter und kleinster Beobachtung (engl. range)
Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel
(Inter-)Quartilsabstand, der die mittleren 50 % der Beobachtungen enthält (engl. interquartile range; Abk. IQR)

Konzentrationsparameter

Absolute Konzentration
Relative Konzentration
Atkinson-Maß
Gini-Koeffizient aus der Lorenz-Kurve
Herfindahl-Index
Hoover-Ungleichverteilung
Rosenbluth-Index
Theil-Index

Gestaltmaße bzw. -parameter

Basierend auf einem Artikel in:

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