Empirische Standardabweichung

Die empirische Standardabweichung, auch Stichprobenstreuung oder Stichprobenstandardabweichung genannt, ist in der deskriptiven Statistik ein Streuungsmaß für Stichproben. Die empirische Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit die Stichprobe im Schnitt um das arithmetische Mittel streut. Die empirische Standardabweichung ist eng verwandt mit der empirischen Varianz. Im Gegensatz zu dieser besitzt die empirische Standardabweichung aber dieselbe Dimension und dieselben Einheiten wie die Stichprobe selbst.

Die empirische Standardabweichung sollte von der Standardabweichung im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie unterschieden werden. Diese ist eine Kennzahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung oder der Verteilung einer Zufallsvariable, wohingegen die empirische Standardabweichung Kennzahl einer Stichprobe ist.

Definition

Gegeben sei eine Stichprobe $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ mit Elementen und sei

${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}$

der empirische Mittelwert der Stichprobe.

Die empirische Standardabweichung der Stichprobe wird auf zweierlei verschiedene Arten definiert. Entweder wird sie (1. Definition) als

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}$ .

definiert oder aber sie wird (2. Definition) als

$s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}}}$ .

definiert. Wird nur von „der“ empirischen Standardabweichung gesprochen, so muss darauf geachtet werden, welche Konvention beziehungsweise Definition im entsprechenden Kontext gilt. Für große Stichproben wird der Unterschied der beiden Definitionen sehr klein und kann somit vernachlässigt werden.

Beispiel

Gegeben sei die Stichprobe

$x_{1}=10;x_{2}=9;x_{3}=13;x_{4}=15;x_{5}=16$ ,

es ist also $n=5$ . Für den empirischen Mittelwert ergibt sich

${\overline {x}}={\frac {1}{5}}(10+9+13+15+16)={\frac {63}{5}}=12{,}6$ .

Bei stückweiser Berechnung ergibt sich dann

$\sum \limits _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}=(10-12{,}6)^{2}+(9-12{,}6)^{2}+(13-12{,}6)^{2}+(15-12{,}6)^{2}+(16-12{,}6)^{2}=37{,}2$ .

Bestimmt man nun die empirische Standardabweichung über die korrigierte Stichprobenvarianz, so ist (nach der 1. Definition)

$s={\sqrt {\frac {37{,}2}{4}}}\approx 3{,}05$ .

Bestimmt man jedoch über die unkorrigierte Stichprobenvarianz, so ist (nach der 2. Definition)

$s={\sqrt {\frac {37{,}2}{5}}}\approx 2{,}73$ .

Abgeleitete Begriffe

Aus der empirischen Standardabweichung lässt sich der empirische Variationskoeffizient bestimmen. Er ist definiert als Quotient von empirischer Standardabweichung und empirischem Mittelwert, also

$V={\frac {s}{\overline {x}}}$ .

Im Gegensatz zur Standardabweichung ist er ein dimensionsloses Streumaß und damit nicht einheitenbehaftet.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de