Faktorraum

Der Faktorraum (auch Quotientenraum) ist ein Begriff aus der linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik. Er ist derjenige Vektorraum, der als Bild einer Parallelprojektion entlang eines Untervektorraums entsteht. Die Elemente des Faktorraumes sind Äquivalenzklassen.

Definition

Es sei ein Vektorraum über einem Körper und ein Untervektorraum von . Durch die Festsetzung

$v_{1}\sim v_{2}\ :\Longleftrightarrow \ v_{1}-v_{2}\in U$ für $v_{1},v_{2}\in V$

wird auf eine Äquivalenzrelation definiert.

Die Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus unterscheiden. Anders gesagt: Wenn die Gerade durch die Punkte $v_{1}$ und $v_{2}$ parallel zu ist, sind $v_{1}$ und $v_{2}$ äquivalent.

Die Äquivalenzklasse eines Punktes ist

$[v]:=v+U:=\{v+u\mid u\in U\},$

anschaulich der zu „parallele“ affine Unterraum durch . Die Äquivalenzklassen werden auch als Nebenklassen bezeichnet; dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie.

Der Faktorraum von nach ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit V/U bezeichnet:

$V/U:=\{[v]\mid v\in V\}.$

Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:

$[v_{1}]+[v_{2}]=[v_{1}+v_{2}]$
$\lambda \cdot [v]=[\lambda v]$

für $v,v_1,v_2\in V$ und $\lambda \in K$ .

Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig.

Eigenschaften

Es gibt eine kanonische surjektive lineare Abbildung

$\pi \colon V\to V/U,\quad v\mapsto [v].$

Ist ein Komplement von in , d.h. ist die direkte Summe von und , so ist die Einschränkung von $\pi$ auf ein Isomorphismus. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, als Unterraum von aufzufassen.

Ist endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:

$\dim U+\dim V/U=\dim V$

Der Dualraum von kann mit denjenigen Linearformen auf identifiziert werden, die auf identisch 0 sind.

Der Homomorphiesatz besagt, dass eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$ einen Isomorphismus

$V/{\ker f}\to {\mathrm {im}}\,f$

zwischen dem Faktorraum von nach dem Kern von und dem Bild von induziert, d.h. die Verkettung

$V\longrightarrow V/{\ker f}\longrightarrow {\mathrm {im}}\,f\longrightarrow W$

ist gleich .

>Anwendung in der Funktionalanalysis

Viele normierte Räume entstehen auf die folgende Weise: Sei ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei eine Halbnorm auf . Dann ist $U=\left\{v\in V\mid p(v)=0\right\}$ ein Untervektorraum von . Der Faktorraum V/U wird dann mit der Norm $[v]\mapsto p(v)$ ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei ein topologischer Vektorraum, der nicht hausdorffsch ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: $U=\left\{v\in V\mid {\text{Jede 0-Umgebung enthält }}v\right\}=\overline {\{0\}}$ . Der Faktorraum V/U wird mit der Quotiententopologie ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

Beispiele

Abstrakt

Die $L^{p}$ -Räume und damit auch die Sobolew-Räume sind Faktorräume.

Konkret

Gegeben sei der Vektorraum $V={\mathbb {R}}^{2}$ und der eindimensionale Untervektorraum $U=\left\{\left.{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\right|x\in {\mathbb {R}}\right\}$ . Dann ist zum Beispiel

${\begin{pmatrix}42\\12\end{pmatrix}}+U:=\left\{\left.{\begin{pmatrix}42\\12\end{pmatrix}}+u\right|u\in U\right\}$

eine Äquivalenzklasse des Faktorraumes V / U .

Anschaulich ist jede Gerade, die parallel zur winkelhalbierenden Gerade des 1. Quadranten ist, eine Äquivalenzklasse:

Siehe auch

Quotientenabbildung

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de