Tor (Mathematik)

Der Tor-Funktor ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der homologischen Algebra. Es handelt sich um einen Bi-Funktor, der bei der Untersuchung des Tensorprodukts auftritt. Er ist neben dem Ext-Funktor eine der wichtigsten Konstruktionen der homologischen Algebra.

Motivation mittels Tensorprodukten

Wir betrachten Kategorien von Moduln über einem Ring . Ist

$0\rightarrow X\xrightarrow{\alpha} Y\xrightarrow{\beta} Z\rightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz von links--Moduln und Modul-Morphismen und ist ein rechts--Modul, so führt das Tensorieren obiger Sequenz von links mit zu einer exakten Sequenz

$A\otimes_R X\xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \alpha} A\otimes_R Y\xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \beta} A\otimes_R Z\rightarrow 0$

von abelschen Gruppen, die sich im Allgemeinen nicht mit dem Nullobjekt nach links zu einer exakten Sequenz fortsetzen lässt, das heißt $\mathrm{id}_A\otimes \alpha$ ist im Allgemeinen nicht injektiv, oder kurz: Der Tensorfunktor ist rechtsexakt aber im Allgemeinen nicht linksexakt.

Als Beispiel betrachte man die kurze exakte Sequenz

$0\rightarrow \Z\xrightarrow{\alpha} \Z\xrightarrow{\beta} \Z_2\rightarrow 0$

von $\mathbb {Z}$ -Moduln, wobei $\alpha(n) := 2n$ und $\beta$ die natürliche Abbildung von $\mathbb {Z}$ auf die Restklassengruppe $\Z_2=\{\overline{0},\overline{1}\}$ sei. Tensoriert man diese Sequenz mit $\Z_2$ , so ist $\mathrm{id}_{\Z_2}\otimes \alpha$ nicht injektiv, denn es ist

$(\mathrm{id}_{\Z_2}\otimes \alpha)(\overline{1}\otimes 1) = \mathrm{id}_{\Z_2}(\overline{1})\otimes \alpha(1) = \overline{1}\otimes 2\cdot 1 = 2\cdot \overline{1}\otimes 1 = \overline{0}\otimes 1 = 0$ .

Dabei wurde der Faktor 2 von der torsionsfreien Gruppe $\mathbb {Z}$ mittels Tensoroperation in die Torsionsgruppe $\Z_2$ verschoben und hat dort zu einer 0 geführt. Das ist der typische Grund, warum die Injektivität des Morphismus $\alpha$ beim Übergang zur tensorierten Sequenz verloren geht. Die fehlende Injektivität führt zum Auftreten eines Kerns und gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien ein rechts--Modul und ein links--Modul. Weiter sei

$0\rightarrow S\xrightarrow{\mu} P\xrightarrow{\nu} B\rightarrow 0$

eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Modul . Dann definiert man die abelsche Gruppe

$\mathrm{Tor}(A,B):=\mathrm{ker}(A\otimes_R S \xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \mu}A\otimes_R P)$

und man kann zeigen, dass diese Definition nicht von der gewählten exakten Sequenz $0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow B\rightarrow 0$ mit projektivem abhängt. Das rechtfertigt die Schreibweise $\mathrm{Tor}(A,B)$ ohne Hinweis auf diese Sequenz. Manchmal fügt man noch den Ring an und schreibt $\mathrm{Tor}^R(A,B)$ .

Ist $\alpha \colon A\rightarrow A'$ ein Morphismus, so entnimmt man dem kommutativen Diagramm

$\begin{array}{cccccc} A\otimes_R S & \xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \mu} & A\otimes_R P & \xrightarrow{\mathrm{id}_A\otimes \nu} & A\otimes_R B & \rightarrow 0\\ \downarrow_{\alpha\otimes \mathrm{id}_S} & & \downarrow_{\alpha\otimes \mathrm{id}_P} & & \downarrow_{\alpha\otimes \mathrm{id}_B} & \\ A'\otimes_R S & \xrightarrow{\mathrm{id}_{A'}\otimes \mu} & A'\otimes_R P & \xrightarrow{\mathrm{id}_{A'}\otimes \nu} & A'\otimes_R B & \rightarrow 0 \end{array}$ ,

dass die Einschränkung von $\alpha\otimes \mathrm{id}_S$ den Kern von $\mathrm{id}_A\otimes \mu$ nach $\mathrm{ker}(\mathrm{id}_{A'}\otimes \mu)$ abbildet und so einen Gruppenhomomorphismus $\alpha _{*}\colon \mathrm {Tor} (A,B)\rightarrow \mathrm {Tor} (A',B)$ definiert. Auf diese Weise erhält man einen Funktor $\mathrm {Tor} ^{R}(-,B)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$ von der Kategorie der rechts--Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Weiter kann man die Rollen von und vertauschen, das heißt man geht von der exakten Sequenz $0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow A$ von rechts--Moduln aus und zeigt, dass man mit $\mathrm{ker}( S\otimes_R B \rightarrow P\otimes_R B)$ eine zu obiger Definition natürlich isomorphe Gruppe erhält, die daher ebenfalls mit $\mathrm{Tor}(A,B)$ bzw. $\mathrm{Tor}^R(A,B)$ bezeichnet werden kann. Insgesamt erhält man so einen Bi-Funktor

$\mathrm {Tor} ^{R}(-,-)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\times {\mathfrak {lMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$

von dem Produkt der Kategorie der rechts-Moduln über mit der Kategorie der links-Moduln über in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Der Tor-Funktor ist additiv, das heißt man hat natürliche Isomorphismen

$\mathrm{Tor}^R(A\oplus A',B)\cong \mathrm{Tor}^R(A,B) \oplus \mathrm{Tor}^R(A',B)$

$\mathrm{Tor}^R(A,B\oplus B')\cong \mathrm{Tor}^R(A,B) \oplus \mathrm{Tor}^R(A,B')$

für rechts--Moduln A,A^' und links--Moduln B,B^' .

Abelsche Gruppen

Wählt man $\mathbb {Z}$ als Grundring, so bewegt man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen, denn diese sind genau die $\mathbb {Z}$ -Moduln, und man muss wegen der Kommutativität des Grundrings nicht zwischen links- und rechts-Moduln unterscheiden. In dieser Kategorie ergeben sich gewisse Vereinfachungen und man findet einen Zusammenhang zwischen dem Tor-Funktor und der für ihn namensgebenden Torsion von Gruppen.

Alternative Beschreibung von Tor(A,B)

Im Falle abelscher Gruppen und kann $\mathrm{Tor}(A,B)$ wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentiert werden.

Die Menge ${\mathcal {E}}$ der Erzeuger sei die Menge aller Symbole $\langle a,m,b\rangle$ mit $a\in A, m\in \Z, b\in B$ , am = 0 und mb=0 , wobei hier die $\mathbb {Z}$ -Modul-Operation nur aus praktischen Gründen einmal links und einmal rechts geschrieben wurde, eine Unterscheidung ist, wie oben erwähnt, nicht nötig. Die Menge ${\mathcal {R}}$ der Relationen enthalte alle Ausdrücke der Form

$\langle a_1+a_2,m,b \rangle = \langle a_1,m,b \rangle + \langle a_2,m,b \rangle,\quad \langle a_1,m,b \rangle, \langle a_2,m,b \rangle \in \mathcal{E}$

$\langle a,m,b_1+b_2 \rangle = \langle a,m,b_1 \rangle + \langle a,m,b_2 \rangle,\quad \langle a,m,b_1 \rangle, \langle a,m,b_2 \rangle \in \mathcal{E}$

$\langle a,mn,b \rangle = \langle am,n,b \rangle, \quad \langle am,n,b \rangle \in \mathcal{E}$

$\langle a,mn,b \rangle = \langle a,m,nb \rangle, \quad \langle a,m,nb \rangle \in \mathcal{E}$

Dann kann man zeigen, dass die durch $\langle \mathcal{E}|\mathcal{R}\rangle$ präsentierte Gruppe zu $\mathrm{Tor}(A,B)$ isomorph ist. Zur Konstruktion einer Abbildung $\langle \mathcal{E}|\mathcal{R}\rangle \rightarrow \mathrm{Tor}(A,B)$ sei $0\rightarrow S\xrightarrow{\mu} P\xrightarrow{\nu} B\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem $\mathbb {Z}$ -Modul und $\langle a,m,b\rangle$ ein Erzeuger. Wähle $p\in P$ mit $\nu(p)=b$ . Dann ist $\nu(mp)= mb = 0$ und wegen der Exaktheit gibt es genau ein $s\in S$ mit $\mu(s)=mp$ . Man kann zeigen, dass $a\otimes s$ nicht von der Wahl abhängt. Da

$(\mathrm{id}_A\otimes \mu)(a\otimes s) = a\otimes \mu(s) = a\otimes mp = am\otimes p = 0\otimes p = 0$ ,

liegt $a\otimes s$ im Kern von $\mathrm{id}_A\otimes \mu$ und damit definitionsgemäß in $\mathrm{Tor}(A,B)$ . Die vorgestellte Konstruktion definiert daher eine Abbildung $\langle \mathcal{E}|\mathcal{R}\rangle \rightarrow \mathrm{Tor}(A,B)$ , von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Charakterisierung torsionsfreier Gruppen

Für eine abelsche Gruppe sind folgende Aussagen äquivalent:

ist torsionsfrei, das heißt enthält außer 0 keine Elemente endlicher Ordnung.
$\mathrm{Tor}(A,B)=0$ für alle abelschen Gruppen .
Für alle injektiven Gruppenhomomorphismen $\beta \colon B\rightarrow C$ ist auch $\mathrm {id} _{A}\otimes \beta \colon A\otimes _{\mathbb {Z} }B\rightarrow A\otimes _{\mathbb {Z} }C$ injektiv.
Jede exakte Sequenz abelscher Gruppen geht durch Tensorieren mit wieder in eine exakte Sequenz über.

Insbesondere ist $\mathrm{Tor}(A,B)=0$ , falls eine der Gruppen gleich $\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {Q}$ ist.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

$\mathrm{Tor}(A,B)$ lässt sich für endlich erzeugte abelsche Gruppen vollständig berechnen. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sind solche Gruppen direkte Summen von zyklischen Gruppen, so dass $\mathrm{Tor}(A,B)$ wegen der Additivität des Tor-Funktors nur noch für zyklische Gruppen zu bestimmen ist. Ist eine der Gruppen gleich $\mathbb {Z}$ , so ist $\mathrm{Tor}(A,B)=0$ und es bleibt nur noch der Fall endlicher zyklischer Gruppen. Sei $\Z_n$ die zyklische Gruppe der Ordnung . Dann folgt

$\mathrm{Tor}(\Z_n,B) \cong \{b\in B; nb=0\}$

und daraus, wenn man den größten gemeinsamen Teiler von und mit (m,n) bezeichnet:

$\mathrm{Tor}(\Z_m,\Z_n) \cong \Z_{(m,n)}$ ,

was man aber auch direkt aus der Definition mit der Auflösung $0\rightarrow \Z\xrightarrow{a\mapsto ma} \Z \rightarrow \Z_m$ herleiten kann. Damit ist $\mathrm{Tor}(A,B)$ für endlich erzeugte abelsche Gruppen bestimmt.

Tor als Ableitung des Tensor-Funktors

Eine allgemeinere Definition erhält man durch

$\mathrm{Tor}_n^R(A,B) := L_n(-\otimes_R B)(A) \cong L_n(A\otimes_R -)(B)$

als -te Linksableitung des Tensorfunktors. Ist der Grundring durch den Kontext gegeben, so lässt man ihn in der Bezeichnung fort und schreibt einfach $\mathrm{Tor}_n(A,B)$ . Man erhält so eine Folge von Bi-Funktoren

$\mathrm {Tor} _{n}^{R}(-,-)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\times {\mathfrak {lMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$ .

Verwendet man projektive Auflösungen zur Berechnung von $\mathrm{Tor}_n^R(A,B)$ , so sieht man, dass $\mathrm{Tor}_1^R(A,B)$ mit dem oben definierten $\mathrm{Tor}$ -Funktor zusammenfällt.

Man erhält aus der allgemeinen Theorie folgende lange exakte Sequenzen, die zeigen, wie der Tor-Funktor die fehlende Linksexaktheit des Tensorfunktors kompensiert.

Ist $0\rightarrow A\rightarrow A^{'}\rightarrow A^{''}\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von rechts--Moduln und ein links--Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

$\ldots \rightarrow \mathrm{Tor}_2(A^{''},B) \rightarrow \mathrm{Tor}_1(A,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_1(A^{'},B) \rightarrow \mathrm{Tor}_1(A^{''},B)$

$\rightarrow A\otimes_R B\rightarrow A^{'}\otimes_R B\rightarrow A^{''}\otimes_R B\rightarrow 0$ .

Ist $0\rightarrow B\rightarrow B^{'}\rightarrow B^{''}\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von links--Moduln und ein rechts--Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

$\ldots \rightarrow \mathrm{Tor}_2(A,B^{''}) \rightarrow \mathrm{Tor}_1(A,B) \rightarrow \mathrm{Tor}_1(A,B^{'}) \rightarrow \mathrm{Tor}_1(A,B^{''})$

$\rightarrow A\otimes_R B\rightarrow A\otimes_R B^{'} \rightarrow A\otimes_R B^{''} \rightarrow 0$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de