Tensorprodukt

Das Tensorprodukt ist ein sehr vielseitiger Begriff der Mathematik: In der linearen Algebra und in der Differentialgeometrie dient es zur Beschreibung von multilinearen Abbildungen, in der kommutativen Algebra und in der algebraischen Geometrie entspricht es einerseits der Einschränkung geometrischer Strukturen auf Teilmengen, andererseits dem kartesischen Produkt geometrischer Objekte.

In der Physik bezeichnet man Elemente des Tensorprodukts

$\underbrace {V\otimes \dotsb \otimes V} _{r{\text{ Faktoren}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dotsb \otimes V^{*}} _{s{\text{ Faktoren}}}$

(für einen Vektorraum mit Dualraum $V^{*}$ , oft $V=\mathbb {R} ^{3}$ ) als Tensoren, kontravariant der Stufe und kovariant der Stufe . Kurz spricht man von Tensoren vom Typ (r,s) .

Dieser Artikel beschreibt die mathematischen und koordinatenfreien Aspekte des Tensorproduktes. Für einzelne Tensoren und Koordinatendarstellungen siehe Tensor.

Tensorprodukt von Vektorräumen

Zur Motivation

In der Quantenmechanik ist der Zustandsraum eines Objekts ein Hilbertraum. Hat man Teilchen mit Zuständen $z_{1},\,\dotsc ,\,z_{n}$ in Hilberträumen $H_{1},\,\dotsc ,\,H_{n}$ und betrachtet nun die Zustände des aus den Teilchen gebildeten Systems , so sind da zunächst die Zustände, die die Information zusammenfassen, die in den Zuständen $z_{i}\in H_{i}$ dieser Teilchen, jedes für sich allein, enthalten ist, und die man Produktzustände $z_{1}\cdot \dotsb \cdot z_{n}$ nennt. Da die Quantenmechanik verlangt, dass auch jede Überlagerung von Zuständen eines Objekts (hier ) wieder ein möglicher Zustand des Objekts ist, muss das mathematische Modell außer den genannten Produkten auch beliebige Linearkombinationen enthalten, die dann insgesamt den Hilbertraum des Systems bilden. Der neue Vektorraum wird mit $H_{1}\otimes \,\dotsb \,\otimes H_{n}$ bezeichnet und Tensorprodukt genannt. Die Bedürfnisse der Physik und auf Seiten der Mathematik das Bestreben, die Konstruktion so einfach wie möglich zu halten, führen zu der unten gegebenen Definition. Das Skalarprodukt des Hilbertraumes bleibt dabei als zusätzliche Struktur zunächst unberücksichtigt.

Definition

Sind und zwei Vektorräume über einem gemeinsamen Skalarkörper , so ist das Tensorprodukt

$V\otimes W$

ein Vektorraum, der wie folgt konstruiert werden kann: Ist $E=\{e_{i}\mid i\in I\}$ eine Basis von und $F=\{f_{j}\mid j\in J\}$ eine Basis von , dann ist $V\otimes W$ ein Vektorraum, genannt Tensorproduktraum, in dem es eine Basis gibt, die auf eindeutige Weise mit den geordneten Paaren des kartesischen Produkts

$E\times F=\{(e_{i},f_{j})\mid i\in I,j\in J\}$

der Basen der Ausgangsräume identifiziert werden kann. Die Dimension von $V\otimes W$ ist demzufolge gleich dem Produkt der Dimensionen von und . Das Element dieser Basis, das dem geordneten Paar $(e_{i},f_{j})$ entspricht, wird als $e_{i}\otimes f_{j}$ notiert. Das Symbol $\otimes$ hat dabei bis hierher keine tiefere Bedeutung. Ein beliebiges Element des Tensorprodukts $V\otimes W$ hat dann die Gestalt

$\sum _{(i,j)\in I_{0}\times J_{0}}c_{ij}\;(e_{i}\otimes f_{j}),$

wobei $I_{0}\subset I$ und $J_{0}\subset J$ endliche Teilmengen der Indexmengen und sind und $c_{{ij}}\in K$ für jedes $i\in I_{0}$ und $j\in J_{0}$ gilt.

Man kann nun mit Hilfe dieser Basis ein Produkt von Vektoren aus und definieren, das mit demselben Verknüpfungssymbol notiert wird. Natürlicherweise ist das Produkt zweier Basisvektoren $e_{i}\in E\subset V$ und $f_{j}\in F\subset W$ gerade der Basisvektor, der mit $e_{i}\otimes f_{j}\in V\otimes W$ bezeichnet wurde. Das Produkt beliebiger Vektoren kann nun durch bilineare Fortsetzung erhalten werden,

$v=\sum_{i\in I_0}a_ie_i\in V$

und

$w=\sum_{j\in J_0}b_jf_j\in W$

mit endlichen Teilmengen $I_{0}\subset I,\;J_{0}\subset J$ wird das Produkt

$v\otimes w=\sum_{(i,j)\in I_0\times J_0} a_ib_j\;(e_i\otimes f_j)$

zugeordnet.

Endlichdimensionaler Fall

Für endlichdimensionale Vektorräume mit Basis $B=(e_{1},\dotsc ,e_{m})$ und mit Basis $C=(f_{1},\dotsc ,f_{n})$ kann das Tensorprodukt direkt als Raum von Matrizen konstruiert werden. Die Zeilen werden mit dem Basisindex $I=\{1,\dotsc ,m\}$ von nummeriert, die Spalten mit dem Basisindex $J=\{1,\dotsc ,n\}$ von . Das Tensorprodukt zweier Vektoren $v\in V$ , $w\in W$ ist diejenige Matrix, deren Eintrag an der Stelle (i,j) die -te Koordinate von bezüglich multipliziert mit der -ten Koordinate von bezüglich ist. In der Sprache der Matrizen heißt diese Konstruktion auch dyadisches Produkt der Koordinatenvektoren.

Eigenschaften

Für das Tensorprodukt von Vektoren gelten folgende Rechenregeln für alle $v,v',v'' \in V$ und $w,w',w'' \in W$ sowie $\lambda \in K$ :

	$(v'+v'')\otimes w=v'\otimes w+v''\otimes w$	(1)
	$v\otimes (w'+w'')=v\otimes w'+v\otimes w''$	(2)
	$(\lambda v)\otimes w=\lambda \cdot (v\otimes w)=v\otimes (\lambda w)$	(3)

Mit anderen Worten: Die Abbildung $\otimes \colon V\times W\to V\otimes W$ ; $(v,w)\mapsto v\otimes w$ ist -bilinear. Diese Regeln sehen aus wie Distributivgesetze bzw. Assoziativgesetze, was den Namen Tensorprodukt motiviert.

Ein Kommutativgesetz gilt im Allgemeinen nicht, denn für $v\in V,w\in W$ gehören die Tensoren

$v\otimes w\in V\otimes W$ und $w\otimes v\in W\otimes V$

nur dann demselben Vektorraum an, wenn die Räume und identisch sind. Jedoch sind auch in diesem Fall die Tensoren $v\otimes w$ und $w\otimes v$ im Allgemeinen verschieden.

Tensorprodukt von Vektorräumen mit linearen Abbildungen

Gegeben seien zwei Vektorräume $V,\,W,$ je mit einer linearen Abbildung auf einen weiteren Vektorraum, $\lambda \colon V\to V',\,\,\mu \colon W\to W'.$ Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung $\kappa \colon V\otimes W\to V'\otimes W',$ die $v\otimes w\mapsto \,\lambda (v)\otimes \mu (w)\,\,(v\in V,\,w\in W)$ zu einer Abbildung $\kappa \colon V\otimes W\to V'\otimes W'$ fortsetzt. Diese Abbildung wird mit demselben Verknüpfungssymbol als $\kappa =\lambda \otimes \mu$ geschrieben und heißt das Tensorprodukt von $\lambda$ und $\mu .$ Im Sinne der Kategorientheorie bildet das Paar von Abbildungen

$\otimes \colon (V,W)\mapsto V\otimes W,\,\,(\lambda ,\mu )\mapsto \lambda \otimes \mu$

einen Funktor. Die in einem Funktor zusammengefassten Abbildungen mit dem gleichen Symbol (hier $\otimes$ ) zu bezeichnen, ist üblich.

Die Konstruktion geht aus von Basen $e_{i},\,f_{j}$ von und Die $e_{i}\otimes f_{j}$ bilden (s.o.) eine Basis von $V\otimes W.$ Die Forderung $\kappa (e_{i}\otimes f_{j})=\lambda (e_{i})\otimes \mu (f_{j})$ auf den Elementen dieser Basis definiert eindeutig eine lineare Abbildung $\kappa \colon V\otimes W\,\to \,V'\otimes W'.$ Hierdurch wird $\kappa (v\otimes w)=\lambda (v)\otimes \mu (w)$ auch für die anderen Elemente von $V\times W,$ nicht nur für die Paare $(e_{i},\,f_{j}).$ Aus den Darstellungen von und als $\textstyle v=\sum _{i}a_{i}e_{i}$ und $\textstyle w=\sum _{j}b_{j}f_{j}$ ergibt sich nämlich

$\kappa (v\otimes w)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}\kappa (e_{i}\otimes f_{j})=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}\lambda (e_{i})\otimes \mu (f_{j})=\sum _{i}a_{i}\lambda (e_{i})\,\otimes \sum _{j}b_{j}\mu (f_{j})=\lambda (v)\otimes \mu (w).$

Beginnt man die Konstruktion mit anderen Basen $e_{i}^{\ast },\,\,f_{j}^{\ast }$ von und $W,$ definiert man also eine lineare Abbildung $\kappa ^{\ast }$ durch $\kappa ^{\ast }(e_{i}^{\ast }\otimes f_{j}^{\ast })=\lambda (e_{i}^{\ast })\otimes \mu (f_{j}^{\ast }),$ so ergibt sich nun $\lambda (e_{i}^{\ast })\otimes \mu (f_{j}^{\ast })=\kappa (e_{i}^{\ast }\otimes f_{j}^{\ast }).$ Die Abbildungen $\kappa$ und $\kappa ^{\ast }$ stimmen auf den Elementen einer Basis von $V\otimes W$ überein, sind also identisch. Die Konstruktion von $\lambda \otimes \mu$ ist von der Wahl der Basen unabhängig.

Universaldefinition

Bisher wurde die Frage umgangen, welcher Natur denn der mit $V\otimes W$ bezeichnete Vektorraum im allgemeinen Fall ist. Die bisher angegebenen Forderungen an diesen Vektorraum können verkürzt, aber eindeutig in Form einer Universaldefinition angegeben werden.

Als Tensorprodukt der -Vektorräume und wird jeder -Vektorraum bezeichnet, zu dem es eine bilineare Abbildung $\phi \colon V\times W\to Z$ gibt, welche die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:

Jede weitere bilineare Abbildung $B\colon V\times W\to X$ in einen -Vektorraum faktorisiert linear eindeutig über $\phi$ . Dies heißt exakter, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\tilde B}\colon Z\to X$ gibt, sodass für beliebige Paare von Vektoren gilt:

$B={\tilde {B}}\circ \phi ,$

also

$B(v,w)={\tilde {B}}(\phi (v,w)).$

Gibt es einen solchen Vektorraum, so ist er bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, d.h. für jede andere bilineare Abbildung $\phi '\colon V\times W\to Z'$ mit der universellen Eigenschaft gibt es einen Isomorphismus $k\colon Z\to Z'$ , sodass $\phi '=k\circ \phi$ gilt. Es wird $Z=V\otimes W$ und $\phi (v,w)=v\otimes w$ notiert. Die universelle Eigenschaft kann also als $B(v,w)={\tilde B}(v\otimes w)$ geschrieben werden, oft verzichtet man auf die Vergabe unterschiedlicher Bezeichnungen, da der Definitionsbereich aus dem Argument ablesbar ist.

Um nun tatsächlich Vektorräume anzugeben, die diese Definition erfüllen, gibt es zwei übliche Wege: einmal im endlichdimensionalen Fall über den Raum der Bilinearformen auf den Dualräumen, wie im Folgenden angegeben, und zum anderen durch die Konstruktion eines einfach anzugebenden, aber zu großen Raumes, von dem ein Quotientenraum nach einem geeigneten Unterraum die Eigenschaften des Tensorproduktes erhält. Die letztgenannte Konstruktion wird im Artikel Tensorprodukt von Moduln ausgeführt.

Natürliche Homomorphismen

Aus der Universaldefinition folgt, dass der Vektorraum B(V,W;X) der bilinearen Abbildungen $V\times W\to X$ kanonisch isomorph zum Vektorraum $L(V\otimes W,X)$ der linearen Abbildungen $V\otimes W\to X$ ist:

Es sei $B\colon V\times W\to X$ eine bilineare Abbildung. Dann kann man zeigen, dass durch

$V\otimes W\to X,\qquad v\otimes w\mapsto B(v,w)$

eine lineare Abbildung definiert wird.

Ist umgekehrt

$\lambda \colon V\otimes W\to X$

eine lineare Abbildung, so ist die Abbildung

$V\times W\to X,\qquad (v,w)\mapsto \lambda (v\otimes w)$

bilinear.

Weiterhin gibt es einen natürlichen Monomorphismus $L(V,X)\otimes L(W,Y)\to L(V\otimes W,X\otimes Y)$ , definiert durch $(f\otimes g)(v\otimes w):=f(v)\otimes g(w)$ . Dieser ist genau dann ein Isomorphismus, wenn oder endlichdimensional ist.

Durch Currying erhält man außerdem einen Isomorphismus $B(V,W;X)\cong L(V,L(W,X))$ .

Für endlichdimensionale Vektorräume und X=Y=K gilt also

$V^{*}\otimes W^{*}\cong (V\otimes W)^{*}\cong B(V,W;K)\cong L(V,W^{*}),$

wobei z.B. $V^{*}$ der Dualraum von ist und der Isomorphismus $K\otimes K\cong K$ verwendet wird. Allgemein ist $K\otimes V\to V$ , definiert durch $c\otimes v\mapsto cv$ , ein Isomorphismus von Vektorräumen.

Ersetzt man durch seinen Dualraum und benutzt die natürliche Identifikation $W\cong W^{{**}}$ mit dem Bidualraum, so erhält man einen Isomorphismus $V^{*}\otimes W\to L(V,W)$ , definiert durch $(f\otimes w)(v):=f(v)w$ . Für den Fall, dass beide Vektorräume unendlichdimensional sind, hat man nur einen natürlichen Monomorphismus.

Tensorprodukt und Bilinearformen

Aus der Universaldefinition folgt $(V\otimes W)^{*}\cong B(V,W;K)$ . Im Fall endlichdimensionaler Vektorräume kann man das Tensorprodukt von und also auch als den Dualraum des Vektorraums aller bilinearen Abbildungen $V\times W\to K$ definieren.

Ein Grund, weshalb man nicht statt des Tensorproduktes mit dem Raum der Bilinearformen arbeitet, ist: Multilinearformen, also beispielsweise Abbildungen

$U\times V\times W\to K$

für drei -Vektorräume , , , die linear in jeder Komponente sind, entsprechen linearen Abbildungen

$U\otimes V\otimes W\to K,$

aber es gibt keine ähnlich einfache Möglichkeit, Räume von Multilinearformen durch Räume von Bilinearformen auszudrücken; dabei bezeichnet

$U\otimes V\otimes W$

die Räume

$U\otimes (V\otimes W)$ bzw. $(U\otimes V)\otimes W,$

die mit Hilfe von

$u\otimes (v\otimes w)=(u\otimes v)\otimes w$

kanonisch identifiziert werden können. Diese Identifizierung entspricht dem Umstand, dass man aus einer Multilinearform

$U\times V\times W\to K$

einerseits durch Festhalten des Argumentes aus eine Bilinearform

$V\times W\to K,$

andererseits durch Festhalten des Argumentes aus eine Bilinearform

$U\times V\to K$

erhalten kann.

Erweiterung der Skalare

Ist ein Vektorraum über und ein Erweiterungskörper von , so kann man das Tensorprodukt

$V_{L}:=V\otimes _{K}L$

bilden, indem man auch als -Vektorraum auffasst; dies wird durch $\otimes _{K}$ symbolisiert. $V_{L}$ wird zu einem Vektorraum über , wenn man

$\lambda \cdot (v\otimes \mu ):=v\otimes (\lambda \mu )\qquad {\mathrm {f{\ddot u}r}}\ v\in V,\,\lambda ,\mu \in L$

setzt. Die Dimension von $V_{L}$ als -Vektorraum ist gleich der Dimension von als >-Vektorraum: Ist eine -Basis von , so bildet die Menge

$\{b\otimes 1 \,|\, b \in B\}$

eine -Basis von $V_{L}$ .

Tensorprodukt von Darstellungen

Seien

$\rho _{1}\colon G_{1}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}),\,\rho _{2}\colon G_{2}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{2}})$

lineare Darstellungen. Wir definieren die lineare Darstellung

$\rho _{1}\otimes \rho _{2}\colon G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\otimes V_{\rho _{2}})$

in das Tensorprodukt von $V_{\rho _{1}}$ und $V_{\rho _{2}}$ durch

$\rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{2}),$

für $s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}$ , wobei das Tensorprodukt von Matrizen das Kronecker-Produkt ist. Diese Darstellung wird äußeres Tensorprodukt der Darstellungen $\rho _{2}$ genannt. Existenz und Eindeutigkeit folgen aus den Eigenschaften des Tensorprodukts.

Seien $\rho _{1}\colon G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{1}})$ und $\rho _{2}\colon G\to {\text{GL}}(V_{\rho _{2}})$ zwei lineare Darstellungen derselben Gruppe und sei $s\in G,$ dann kann

$\rho (s)\in {\text{GL}}(V_{\rho _{1}}\otimes V_{\rho _{2}})$

definiert werden durch

$\rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},$

für $v_{1}\in V_{\rho _{1}},v_{2}\in V_{\rho _{2}}.$ Man schreibt dafür $\rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).$ Die Abbildung $s\mapsto \rho (s)$ definiert dann eine lineare Darstellung von die ebenfalls Tensorprodukt der gegebenen Darstellungen genannt wird.

Man muss diese beiden Fälle jedoch strikt unterscheiden. Der erste Fall ist eine Darstellung des Produkts zweier Gruppen in das Tensorprodukt der jeweils zugehörigen Darstellungsräume. Der zweite Fall ist eine Darstellung einer Gruppe ins Tensorprodukt von Darstellungsräumen dieser Gruppe. Der zweite Fall kann jedoch als Spezialfall des ersten Falls angesehen werden, indem man die diagonale Untergruppe $G\times G$ betrachtet. Die Definitionen können endlich oft iteriert werden.

Seien und Darstellungen der Gruppe dann ist ${\text{Hom}}(V,W)$ eine Darstellung, wie durch die Identifikation

${\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W$

ersichtlich ist. Sei $B\in {\text{Hom}}(V,W)$ und sei $\rho$ die Darstellung auf ${\text{Hom}}(V,W),$ $\rho _{V}$ die Darstellung auf $\rho _{W}$ die Darstellung auf Dann liefert die obige Identifikation die Gleichung

$\rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s)(v)$

für alle $s\in G,v\in V.$

Die irreduziblen Darstellungen von $G_{1}\times G_{2}$ sind bis auf Isomorphie genau die Darstellungen $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ , für die $\rho _{1}$ und $\rho _{2}$ die irreduziblen Darstellungen von $G_{1}$ bzw. $G_{2}$ sind.

Dieses Ergebnis schränkt das Studium der Darstellungen von $G_{1}\times G_{2}$ auf das Studium der Darstellungen von $G_{1}$ und $G_{2}$ ein.

Das folgende Beispiel illustriert den Unterschied zwischen direkter Summe und Tensorprodukt. Sei

$\textstyle \rho _{1}\colon \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$

die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

$\rho _{1}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right).$

Und sei

$\textstyle \rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$

die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

$\rho _{2}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{ccc}1&0&e^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&e^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&e^{\frac {4\pi i}{3}}\end{array}}\right).$

Dann ist das äußere Tensorprodukt

$\rho _{1}\otimes \rho _{2}\colon \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})={\text{GL}}_{6}(\mathbb {C} )$

gegeben durch $\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l),$ wobei $k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} .$
Die lineare Abbildung $\rho _{1}({\overline {1}})\otimes \rho _{2}({\overline {1}}),$ die zum Erzeuger $({\overline {1}},{\overline {1}})$ gehört, ist dann in der Basis von $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}$ gegeben durch:

$\rho _{1}({\overline {1}})\otimes \rho _{2}({\overline {1}})=\left({\begin{array}{cccccc}0&0&0&-i&0&-ie^{\frac {2\pi i}{3}}\\0&0&0&0&-ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0\\0&0&0&0&0&-ie^{\frac {4\pi i}{3}}\\i&0&ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0&0&0\\0&ie^{\frac {2\pi i}{3}}&0&0&0&0\\0&0&ie^{\frac {4\pi i}{3}}&0&0&0\end{array}}\right)$

Ein Vergleich mit der direkten Summe zeigt den Unterschied. Die erhaltenen Darstellungen besitzen auch nicht denselben Grad.

Symmetrisches und alternierendes Quadrat

Sei $\rho \colon G\to V\otimes V$ eine lineare Darstellung von und $(e_{k})$ eine Basis von Definiere

$\vartheta \colon V\otimes V\to V\otimes V,$

indem wir

$\vartheta (e_{k}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{k}$

linear fortsetzen. Dann gilt

$\forall u,v\in V\colon \,\theta (v\otimes u)=u\otimes v$

und $\vartheta ^{2}=1.$ Damit zerfällt $V\otimes V$ in

$V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),$

wobei

${\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V\mid \vartheta (z)=z\}$

und

$\textstyle {\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}(V)=\{z\in V\otimes V\mid \vartheta (z)=-z\}.$

Diese Unterräume sind -invariant und definieren so Teildarstellungen, die symmetrisches bzw. alternierendes Quadrat genannt werden. Diese Teildarstellungen existieren auch für $V^{\otimes m},$ werden dann allerdings mit Hutprodukt $\textstyle \bigwedge ^{m}(V)$ und symmetrisches Produkt ${\text{Sym}}^{m}(V)$ bezeichnet. Im Falle m>2 ergibt sich $V^{\otimes m}$ dann im Allgemeinen nicht mehr als die direkte Summe der beiden Produkte.

Tensorprodukt von Moduln

→ Hauptartikel: Tensorprodukt von Moduln

Der Begriff des Tensorprodukts lässt sich von dem des Tensorprodukts von Vektorräumen über einem Körper auf den des Tensorprodukts von Moduln über einem (beliebigen, auch nichtkommutativen) Ring mit 1 verallgemeinern.

Um interessante Objekte auch im nichtkommutativen Fall zu erhalten, muss die Bedingung (3) geringfügig abgeschwächt werden.

Struktur der Elemente

Elementare Tensoren

Ein elementarer Tensor (auch reiner oder einfacher Tensor) im Tensorprodukt $M\otimes _{R}N$ ist ein Element von der Form $m\otimes n$ mit $m\in M,\,n\in N$ .

Allgemeine Gestalt

Jedes Element des Tensorprodukts ist eine endliche Summe von elementaren Tensoren. Im Allgemeinen lässt sich nicht jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben.

Zum Beispiel ist der Tensor $e_{1}\otimes e_{2}-e_{2}\otimes e_{1}$ kein elementarer Tensor im Tensorprodukt $\mathbb{R} ^{2}\otimes _{{\mathbb{R} }}\mathbb{R} ^{2}$ , wobei $e_{i}$ die Standardbasisvektoren sind (dagegen $e_{1}\otimes e_{1}-e_{1}\otimes e_{2}-e_{2}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}=(e_{1}-e_{2})\otimes (e_{1}-e_{2})$ durchaus).

Ist ein kommutativer Ring und ein von einem Element erzeugter -Modul, dann ist jeder Tensor des Tensorprodukts $M\otimes _{R}N$ ein elementarer Tensor für jeden beliebigen -Modul

Weiterführende Begriffe

In der Algebra:

Flachheit

In der Differentialgeometrie:

In der Funktionalanalysis

Projektives Tensorprodukt (Banachräume, lokalkonvexe Räume)
Injektives Tensorprodukt (Banachräume, lokalkonvexe Räume)
Räumliches Tensorprodukt (C*-Algebren)
Maximales Tensorprodukt (C*-Algebren)

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de