Maximales Tensorprodukt

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren und eine neue mit $A\otimes_{\mathrm{max}} B$ bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus und . Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf Alain Guichardet zurück.

Konstruktion

Es seien und zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ ist eine Halbnorm $\alpha$ , so dass

$\alpha(st)\le \alpha(s)\alpha(t)$ für alle $s,t\in A\odot B$
$\alpha(s^*s) \,=\, \alpha(s)^2$ für alle $s\in A\odot B$

Man kann zeigen, dass $\alpha(a\otimes b) \le \|a\|\|b\|$ für alle $a\in A$ und $b\in B$ . Für ein Element $s= \sum_{i=1}^n a_i\otimes b_i \in A\odot B$ folgt daher $\alpha(s) \le \sum_{i=1}^n\|a_i\|\|b_i\|$ für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist $\mu(s):= \sup_\alpha \alpha(s)$ , wobei $\alpha$ alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass $\mu$ eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf $A\odot B$ . Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von $A\odot B$ bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus und und wird mit $A\otimes_\mu B$ bezeichnet, andere Autoren schreiben dafür $A\otimes_{\mathrm{max}} B$ .

Eigenschaften

Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft:

Es seien , und C*-Algebren und $\varphi:A\rightarrow C$ sowie $\psi :B\rightarrow C$ zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt $\varphi(a)\psi(b) = \psi(b)\varphi(a)$ für alle $a\in A$ und $b\in B$ . Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus $\pi: A\otimes_{\mathrm{max}} B \rightarrow C$ mit $\pi(a\otimes b) = \varphi(a)\psi(b)$ für alle $a\in A$ und $b\in B$ .

Sind und C*-Algebren, so heißt ein Paar $(\varphi,\psi)$ ein vertauschendes Paar von Darstellungen von (A,B) , falls $\varphi:A\rightarrow L(H)$ und $\psi:B\rightarrow L(H)$ Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum sind und $\varphi(a)\psi(b) = \psi(b)\varphi(a)$ für alle $a\in A$ und $b\in B$ gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen:

Für zwei C*-Algebren und und $s=\sum_{j=1}^na_j\otimes b_j$ aus dem algebraischen Tensorprodukt $A\odot B$ gilt

$\mu(s) = \sup\{\|\sum_{j=1}^n\varphi(a_j)\psi(b_j)\|;\, (\varphi,\psi) \mbox{ vertauschendes Paar von Darstellungen von } (A,B)\}.$

Siehe auch

Räumliches Tensorprodukt

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de