Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms x+y , also einen Ausdruck der Form

$(x+y)^{n},\quad n\in \mathbb {N}$

als Polynom -ten Grades in den Variablen und auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form $(x+y)^{n}$ auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente und eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N} _{0}$ gilt die Gleichung:

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad (1)$

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen und (mit der Konvention $0^{0}=1$ ).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

${\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{1\cdot 2\dotsm k}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot {k!}}}$ ,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n!=1\cdot 2\dotsm n$ ist hierbei die Fakultät von bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme ${\tbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${\tbinom {n}{k}}$ an das Ringelement $x^{n-k}y^{k}$ aufzufassen, d.h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $\mathbb {Z}$ -Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall n=2 heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente und in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d.h. $x\cdot y=y\cdot x$ gilt.
Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

$(x+y)^{n}=x^{n}+\left[\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right]+y^{n}$ .

Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl kann durch vollständige Induktion erbracht werden. Für jedes konkrete kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele

$(x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}$

$(x-y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}(-y)+{\binom {3}{2}}\,x(-y)^{2}+{\binom {3}{3}}\,(-y)^{3}=x^{3}-3\,x^{2}y+3\,xy^{2}-y^{3}$

${\big (}a+ib{\big )}^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}i^{k}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}$ , wobei

die imaginäre Einheit ist.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten $\alpha$ mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn $\alpha$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

$(x+y)^{\alpha }=x^{\alpha }\left(1+{\tfrac {y}{x}}\right)^{\alpha }=x^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}\quad (2)$ .

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle $x,y\in \mathbb {R}$ mit x>0 und $\left|{\tfrac {y}{x}}\right|<1$ .

Im Spezialfall $\alpha \in \mathbb {N}$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x,y\in \mathbb {C}$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

${\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dotsm (\alpha -k+1)}{k!}}$

Im Fall k=0 entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für $\alpha =-1$ und x=1 ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur

M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6.

Basierend auf einem Artikel in:

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