Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe $\sum_{k=0}^\infty r^k$ für $r=\tfrac 12$ , $r=\tfrac 13$ oder $r=\tfrac 14$ konvergiert.

Eine geometrische Reihe ist eine spezielle mathematische Reihe. Eine geometrische Reihe ist die Reihe einer geometrischen Folge. Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder konstant. Für |q|<1 gilt

$\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \frac{a_0}{1-q}$

Ein Startwert der geometrischen Folge von 1 und ein Quotient größer als 1 (hier 2) ergibt eine divergierende geometrische Reihe: 1, 1 + 2, 1 + 2 + 4, 1 + 2 + 4 + 8, …, zusammengefasst also 1, 3, 7, 15, …

Bei identischem Startwert und einem Quotienten von 1/2 ergibt sich hingegen die geometrische Reihe: 1, 1 + 1/2, 1 + 1/2 + 1/4, 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8, …, also 1, 3/2, 7/4, 15/8, … mit dem Grenzwert $\tfrac{1}{1-1/2} = 2$ .

Berechnung der (endlichen) Partialsummen einer geometrischen Reihe

Eine Reihe ist per Definition eine Folge von Partialsummen. Der Wert der Reihe ist der Grenzwert dieser Folge von Partialsummen. Eine endliche Summe ist somit ein Folgenglied aus der Folge der Partialsummen. Die (endliche) Summe der ersten Glieder einer Reihe bezeichnet man also als -te Partialsumme und nicht etwa als „Partialreihe“ o. ä.

Gegeben sei eine geometrische Folge $(a_k)_{k\in\mathbb{N}_0}$ .

$s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\quad$ ist die zugehörige geometrische Reihe.

Wir können daraus eine neue Folge

$(s_n) =\left(\sum_{k=0}^{n}a_k\right) =\left(\sum_{k=0}^0 a_k, \sum_{k=0}^1 a_k, \sum_{k=0}^2 a_k, \sum_{k=0}^{3}a_k, \ldots\right) =\left(a_0,a_0+a_1,a_0+a_1+a_2,a_0+a_1+a_2+a_3,\ldots\right)$

konstruieren, deren -tes Glied jeweils die Summe der ersten Glieder der Reihe ist, die sogenannte -te Partialsumme von . Diese Folge heißt die Folge der Partialsummen zu . (Genau genommen wird in umgekehrter Reihenfolge die Reihe auf Grundlage von Partialsummen einer Folge definiert. Die obige und übliche Schreibweise für die Reihe gibt das aber nicht her, deshalb müssen wir aus ihr erst die Folge der Partialsummen rekonstruieren.) Falls sie konvergiert, wird über sie der Wert der Reihe definiert. Es gilt für den Wert der Reihe s (hier wird nicht mehr von „Grenzwert“ gesprochen):

$s := \lim_{n \to \infty}s_n;$

in Worten: Der Wert der Reihe ist definiert als der Grenzwert der zu ihr gehörigen Partialsummen-Folge, falls diese konvergiert, andernfalls wird die Reihe als divergent bezeichnet. Falls in diesem Falle die Folge der Partialsummen gegen (plus / minus) Unendlich strebt, schreibt man gewöhnlich $s = \lim_{n \to \infty}s_n = \infty$ oder ${-}\infty$ und sagt, die Folge konvergiere gegen den uneigentlichen Grenzwert (plus / minus) Unendlich oder die Reihe habe den uneigentlichen Wert (plus / minus) Unendlich. (Eine Berechnungsformel für den Grenzwert folgt weiter unten.)

Mit bezeichnen wir nun das Verhältnis $a_{k+1}/a_{k}$ zweier benachbarter Glieder, das für alle gleich ist.

Dann gilt a_k = a_0 q^k für alle .

Für die -te Partialsumme $s_{n}$ ergibt sich damit:

$s_n=a_0\sum_{k=0}^{n} q^k$

Wenn $q \neq 1$ , dann gilt (Herleitung siehe unten)

$s_n = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Falls q=1 , so gilt

Das Obige gilt, wenn die Folgenglieder Elemente eines unitären Ringes sind, also insbesondere, wenn es reelle Zahlen sind.

Beispiele

Zahlenbeispiel

Gegeben sei die geometrische Folge

$a_{0}=5,\ a_{1}=15,\ a_{2}=45,\ a_{3}=135,\ \dotsc$

mit a_0=5 und q=3. Die zugehörige geometrische Reihe ist

$s=\sum _{k=0}^{\infty }5\cdot 3^{k}=5+15+45+135+\dotsb =\infty$

Die zugehörige Folge von Partialsummen ergibt sich zu

$s_0=5=5\frac{1-3^1}{1-3}$

$s_1=5+15=20=5\frac{1-3^2}{1-3}$

$s_2=5+15+45 =65=5\frac{1-3^3}{1-3}$

$s_3=5+15+45+135 =200=5\frac{1-3^4}{1-3}$

usw.

Rentenrechnung

Angenommen, man zahlt am Anfang eines jeden Jahres 2000 € bei einer Bank ein und die Zinsen liegen bei 5 % [d. h. der Zinsfaktor ist: $1+(5/100)=1{,}05$ ]. Wie viel Geld hat man am Ende des fünften Jahres?

Das im ersten Jahr eingezahlte Geld wird fünf Jahre lang verzinst, man erhält dafür am Ende inklusive Zinseszins 2000 · 1,05⁵ €. Das im zweiten Jahr eingezahlte Geld wird nur noch vier Jahre verzinst und so weiter. Insgesamt ergibt sich dann durch die Rentenrechnung ein angesparter Betrag von

$\begin{align} &2\,000 \cdot 1{,}05^5 + 2\,000 \cdot 1{,}05^4 + 2\,000 \cdot 1{,}05^3 + 2\,000 \cdot 1{,}05^2 + 2\,000 \cdot 1{,}05^1\\ &\quad= 2\,000 \cdot 1{,}05 \cdot ( 1{,}05^4 + 1{,}05^3 + 1{,}05^2 + 1{,}05^1 + 1{,}05^0)\\ &\quad= 2\,000 \cdot 1{,}05 \cdot \sum_{k=0}^{4} 1{,}05^k\\ &\quad= 2\,000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^{4+1}-1}{1{,}05-1}\\ &\quad= 2\,000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^5-1}{0{,}05}\\ &\quad= 11\,603{,}826 \end{align}$

Durch Zinsen hat sich das Kapital somit um 1603,83 € erhöht. Beim Nachrechnen von Kontoauszügen ist zu bedenken, dass im Bankenwesen nicht mathematisch gerundet wird.

Zum Vergleich: Würden nicht Jahr für Jahr je 2000 € eingezahlt, sondern gleich von Beginn an die ganzen 10000 € über 5 Jahre bei 5 % Zinsen angelegt, so wäre der Endbetrag

$10\,000 \cdot 1{,}05^5 = 12\,762{,}8156$

also ein Kapitalertrag von 2762,82 €.

Allgemein gilt: Beträgt die Einlage am Anfang jedes Jahres $a_{0}$ , der Zinsfaktor und die Laufzeit Jahre, dann ist der Endwert

$\sum _{k=1}^{n}a_{0}q^{k}=a_{0}q{\frac {q^{n}-1}{q-1}}$ .

Rentenrechnung mit linearer Dynamik

Zahlt man im Gegensatz zum vorigen Beispiel nicht jährlich einen festen Beitrag $a_{0}$ , sondern ab dem 2. Jahr jedes Jahr mehr als im Vorjahr (lineare Dynamik) ein, so ist der Endwert

$\begin{align} &\sum_{k=1}^n q^k (a_0+d (n-k)) = \sum_{k=1}^n(q^k(a_0+dn)-q^kdk )\\ &\qquad= \left( \sum_{k=1}^nq^k(a_0+dn) \right) - \left( \sum_{k=1}^nq^kdk \right)\\ &\qquad= (a_0+dn)\left( \sum_{k=1}^nq^k \right) - d \left( \sum_{k=1}^nq^kk \right)\\ &\qquad= (a_0+dn)\frac{q^{n+1}-q}{q-1} - d\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(q-1)^2} \end{align}$

zum Beispiel mit a_0=2.000 € im ersten Jahr, jedes Jahr d=100 € mehr als im Vorjahr, 5 % Zinsen (also Zinsfaktor $q=1{,}05$ ) und n=5 Jahren Laufzeit, dann ist der am Ende des 5. Jahres angesparte Betrag

$\begin{align} &(2\,000+100 \cdot 5) \cdot \frac{1{,}05^{5+1}-1{,}05}{1{,}05-1} - 100 \cdot \frac{5 \cdot 1{,}05^{5+2}-(5+1) \cdot 1{,}05^{5+1}+1{,}05}{(1{,}05-1)^2} \\ &\qquad= 2\,500 \cdot \frac{0{,}29}{0{,}05} - 100 \cdot \frac{7{,}03-8{,}04+1{,}05}{0{,}0025} \\ &\qquad= 2\,500 \cdot 5{,}8 - 100 \cdot \frac{0{,}0449}{0{,}0025} \\ &\qquad= 14\,504{,}78 - 100 \cdot 17{,}97 \\ &\qquad= 12\,707{,}65 \end{align}$

wobei in diesem Beispiel nicht 10.000 €, sondern insgesamt 11.000 € eingezahlt wurden, also beträgt der Gewinn 1.707,65 €. Zahlt man statt a_0=2.000 € im ersten Jahr nur a_0=1.800 € ein und lässt die anderen Faktoren gleich (sodass man wie im vorletzten Beispiel insgesamt 10.000 € einzahlt), dann ist der Endwert nur noch 11.547,27 €, das heißt zahlt man den gleichen Betrag ein, nur zu Beginn weniger, dafür später mehr, dann entgehen einem Gewinne (Opportunitätskosten).

Periodische Dezimalbrüche

Periodische Dezimalbruchentwicklungen enthalten eine geometrische Reihe, welche mit den obigen Formeln wieder in einen Bruch umgewandelt werden kann.

Beispiel 1:

${\begin{aligned}0{,}2{\overline {67}}&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }({\frac {1}{100}})^{k}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{100}}}}\\&={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{1000}}\cdot {\frac {100}{99}}={\frac {2}{10}}+{\frac {67}{990}}={\frac {265}{990}}={\frac {53}{198}}\end{aligned}}$

Beispiel 2:

$0{,}{\overline {9}}={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+\,\ldots ={\frac {9}{10}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }({\frac {1}{10}})^{k}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {10}{9}}=1$

Konvergenz und Wert der geometrischen Reihe

Konvergenz der geometrischen Reihe für q=1/2

Konvergenz der geometrischen Reihe auf der Zahlengeraden

Eine geometrische Reihe bzw. die Folge ihrer Partialsummen konvergiert genau dann, wenn der Betrag der reellen (oder komplexen) Zahl kleiner als Eins oder ihr Anfangsglied $a_{0}$ gleich Null ist. Für $\|q\|<1$ oder $a_{0}=0$ konvergiert die zugrundeliegende geometrische Folge nämlich gegen Null:

$\lim_{k \to \infty}a_0 q^{k}=0$ .

Nach dem Nullfolgenkriterium ist dies eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der geometrischen Reihe. Da für |q| > 1 und $a_0 \ne 0$ die Grundfolge divergiert, liegt in diesem Falle somit auch Divergenz der Reihe vor.

Für q = 1 ergibt sich die Divergenz der geometrischen Reihe aus

$\sum _{{k=0}}^{N}a_{0}q^{k}=\sum _{{k=0}}^{N}a_{0}\cdot 1=(N+1)\cdot a_{0}$ ,

ein Ausdruck, der für $N \to \infty$ und $a_0 \ne 0$ divergiert.

Für den Fall q>1 ergibt sich die Divergenz immer als bestimmte Divergenz (s.o.), für den Fall $q\le -1$ immer als unbestimmte Divergenz. Die geometrische Reihe konvergiert auch absolut, sofern sie auf normale Weise konvergiert.

Der Wert der Reihe im Konvergenzfall ergibt sich aus jener obenstehenden Formel für die -ten Partialsummen durch Grenzwertbildung ( $n \to \infty$ ) für |q|<1 zu

$\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k = \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = \frac{a_0}{1-q},$

denn es ist $\lim_{n \to \infty}(1-q^{n+1}) = 1.$

Die letzte Formel ist sogar in jeder Banach-Algebra gültig, solange die Norm von kleiner als Eins ist; im Kontext linearer Operatoren spricht man auch von der Neumann-Reihe.

Herleitungen

Herleitung der Formel für die Partialsummen

Die -te Partialsumme der geometrischen Reihe lässt sich wie folgt berechnen:

$s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{0}q^{k}=a_{0}+a_{0}q+a_{0}q^{2}+\dotsb +a_{0}q^{n}$

Vereinfacht:

$s_{n}=a_{0}(1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n})$ (Gleichung 1)

Durch Multiplikation mit ergibt sich:

$qs_{n}=a_{0}(q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1})$ (Gleichung 2)

Wenn man Gleichung 2 von Gleichung 1 subtrahiert, erhält man:

$s_n - q s_n = a_0 (1 - q^{n+1})$

Ausklammern von $s_{n}$ :

$s_n (1-q) = a_0 (1 - q^{n+1}) \$

Teilen durch (1-q) liefert für $q \neq 1$ die gesuchte Formel für die Partialsummen:

$s_n = a_0 {{1 - q^{n+1}} \over {1 - q}}$

Herleitung der Varianten

Mithilfe der oben angegebenen Formel lassen sich durch gliedweise Differentiation auch folgende endliche Reihen geschlossen darstellen, für $q\neq 1$

$\begin{align}\sum_{k=0}^{n}kq^{k}&=\sum_{k=0}^{n}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q^{k}=q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum_{k=0}^{n}q^{k}=q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ &=\frac{nq^{n+2}-(n+1)q^{n+1}+q}{(1-q)^{2}} \end{align}$

$\begin{align} \sum_{k=0}^{n}k^{2}q^{k}&=\sum_{k=0}^{n}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q^{k}=q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum_{k=0}^{n}q^{k}=q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}q\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ &=\frac{n^{2}q^{n+3}-(2n^{2}+2n-1)q^{n+2}+(n+1)^{2}q^{n+1}-q^{2}-q}{(q-1)^{3}} \end{align}$

Für |q|<1 konvergieren nach Grenzwertbildung der zugehörigen endlichen Reihe auch die unendlichen Reihen (folglich sind diese sogar gliedweise integrierbar):

$\sum_{k=0}^\infty k q^k = q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum_{k=0}^\infty q^k = q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} \frac{1}{1-q}=\frac{q}{(1-q)^2}$

$\sum_{k=0}^\infty k^2 q^k = q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q}\sum_{k=0}^\infty q^k = q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} \frac{1}{1-q}=q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}q} \frac{q}{(1-q)^2} = \frac{q(1+q)}{(1-q)^3}$