C*-dynamisches System

C*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der C*-Algebra operiert, eine neue C*-Algebra gewinnt. Diese Konstruktion verallgemeinert die klassischen dynamischen Systeme, bei denen die Gruppe der ganzen Zahlen auf einem kompakten Hausdorffraum operiert. Der Prototyp eines C*-dynamischen Systems ist die irrationale Rotationsalgebra.

Definition

Unter einem C*-dynamischen System versteht man ein Tripel (A,G,\alpha ) bestehend aus einer C*-Algebra A, einer lokalkompakten Gruppe G und einem Homomorphismus {\displaystyle \alpha \colon G\rightarrow \mathrm {Aut} (A),s\mapsto \alpha _{s}} von G in die Gruppe der *-Automorphismen von A, so dass alle Abbildungen G\rightarrow A,s\mapsto \alpha _{s}(a),\,a\in A stetig sind. (Unter Morphismen auf C*-Algebren versteht man stets solche, die auch die Involution erhalten; man schreibt nur {\mathrm  {Aut}}(A), es sind aber *-Automorphismen gemeint.)

Der einfachste und für viele Anwendungen wichtige Fall ist G=\mathbb{Z } . Da die Gruppe \mathbb {Z} diskret ist, entfällt die Stetigkeitsbedingung. Ferner ist \alpha bereits durch \alpha _{1}\in {\mathrm  {Aut}}(A) festgelegt. Ein C*-dynamisches System mit Gruppe \mathbb {Z} ist also nichts weiter als eine C*-Algebra mit einem ausgezeichneten Automorphismus.

Kovariante Darstellungen

Bekanntlich kann man sowohl C*-Algebren als auch lokalkompakte Gruppen auf Hilberträumen darstellen. Ist (A,G,\alpha ) ein C*-dynamisches System und sind \pi \colon A\rightarrow B(H) eine Hilbertraum-Darstellung von A und {\displaystyle u\colon G\rightarrow B(H),s\mapsto u_{s}} eine unitäre Darstellung von G auf demselben Hilbertraum, so nennt man das Paar (\pi ,u) eine kovariante Darstellung, falls

\pi (\alpha _{s}(a))=u_{s}\pi (a)u_{s}^{*} für alle a\in A und s\in G.

Mittels einer kovarianten Darstellung wird also die durch \alpha vermittelte Gruppenoperation von G auf A durch unitäre Operatoren dargestellt.

Das Kreuzprodukt

Ist (A,G,\alpha ) ein C*-dynamisches System, so definiert man auf dem Raum K(A,G,\alpha ) der stetigen Funktionen G\rightarrow A mit kompaktem Träger für x,y\in K(A,G,\alpha ) und {\displaystyle \beta \in \mathbb {C} }:

Dabei ist t\in G, \mu ein links-Haarsches Maß auf G und \Delta die modulare Funktion von G. Man rechnet nach, dass K(A,G,\alpha ) durch diese Definitionen zu einer normierten Algebra mit isometrischer Involution wird. Das von \alpha abhängige Produkt \star nennt man Kreuzprodukt. Die Vervollständigung ist dann eine Banach-*-Algebra, die mit L^{1}(A,G,\alpha ) bezeichnet wird.

Ist (\pi ,u) eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems (A,G,\alpha ) auf einem Hilbertraum H, so wird durch

(\pi \times u)(x):=\int _{G}\pi (x(t))u_{t}\,{\mathrm  {d}}\mu (t),\quad x\in L^{1}(A,G,\alpha )

eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von L^{1}(A,G,\alpha ) definiert. Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von L^{1}(A,G,\alpha ) gegeben, so gibt es genau eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems, so dass sich die gegebene *-Darstellung gemäß obiger Formel ergibt. Die Kenntnis aller kovarianten Darstellungen des C*-dynamischen Systems entspricht daher der Kenntnis aller nicht-degenerierten *-Darstellungen der zugehörigen L^{1}-Algebra.

Die einhüllende C*-Algebra von L^{1}(A,G,\alpha ) wird mit C^{*}(A,G,\alpha ) oder A\ltimes _{\alpha }G bezeichnet und heißt das Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems. Die kovarianten Darstellungen eines C*-dynamischen Systems führen somit zu nicht-degenerierten Hilbertraum-Darstellungen von A\ltimes _{\alpha }G und umgekehrt.

Ist speziell {\displaystyle A=\mathbb {C} }, so operiert jede lokalkompakte Gruppe G trivial auf {\displaystyle \mathbb {C} }, das heißt {\displaystyle \alpha _{s}=\mathrm {id} _{\mathbb {C} }} für alle s\in G, und obige Konstruktion liefert die Gruppen-C*-Algebra C^{*}(G). Die Konstruktion des Kreuzproduktes verallgemeinert daher die Konstruktion der Gruppen-C*-Algebra.

Das reduzierte Kreuzprodukt

Wie im Falle der Gruppen-C*-Algebren betrachtet man auch für C*-dynamische Systeme (A,G,\alpha ) linksreguläre Darstellungen, allerdings erhält man hier für jede gegebene Hilbertraum-Darstellung von A eine solche.

Ist \pi \colon A\rightarrow B(H) eine Hilbertraum-Darstellung von A, so konstruiert man eine kovariante Darstellung ({\tilde  {\pi }},\lambda ) auf dem Hilbertraum L^{2}(G,H) aller messbaren Funktionen \xi \colon G\rightarrow H mit \textstyle \int _{G}\|\xi (t)\|^{2}\,{\mathrm  {d}}\mu (s)<\infty durch folgende Formeln:

wobei a\in A, s,t\in G und \xi \in L^{2}(G,H). Man rechnet nach, dass hierdurch tatsächlich eine kovariante Darstellung definiert ist. Ist nun speziell \pi _{u}\colon A\rightarrow H_{u} die universelle Darstellung von A, so heißt der Normabschluss von ({\tilde  {\pi _{u}}}\times \lambda )(L^{1}(A,G,\alpha )) in B(L^{2}(G,H_{u})) das reduzierte Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems; dieses wird mit C_{r}^{*}(A,G,\alpha ) oder A\ltimes _{{\alpha r}}G bezeichnet.

Betrachtet man wieder den Spezialfall {\displaystyle A=\mathbb {C} } mit der trivialen Operation der Gruppe G, so liefert die Konstruktion des reduzierten Kreuzproduktes genau die reduzierte Gruppen-C*-Algebra.

Da die kovariante Darstellung ({\tilde  {\pi }},\lambda ) zu einer *-Darstellung des Kreuzproduktes A\ltimes _{\alpha }G führt, erhält man einen surjektiven Homomorphismus A\ltimes _{\alpha }G\rightarrow A\ltimes _{{\alpha r}}G, den man ebenfalls die linksreguläre Darstellung nennt. Wie im Falle von Gruppen-C*-Algebren gilt folgender Satz:

Ist (A,G,\alpha ) ein C*-dynamisches System mit mittelbarer Gruppe G, so ist die linksreguläre Darstellung A\ltimes _{\alpha }G\rightarrow A\ltimes _{{\alpha r}}G ein Isomorphismus.

Speziell für kompakte und für abelsche Gruppen (wichtiger Spezialfall \mathbb {Z} ) muss man also nicht zwischen A\ltimes _{{\alpha }}G und A\ltimes _{{\alpha r}}G unterscheiden, denn diese Gruppen sind mittelbar.

Klassische dynamische Systeme

Klassische dynamische Systeme sind Operationen der Gruppe \mathbb {Z} auf einem kompakten Hausdorffraum X. Genauer ist ein Homöomorphismus {\displaystyle \sigma \colon X\rightarrow X} gegeben, und dieser definiert die Gruppenoperation \mathbb{Z } \times X\rightarrow X,(n,x)\mapsto \sigma ^{n}(x). \sigma definiert auch einen Automorphismus auf der C*-Algebra C(X) der stetigen Funktionen {\displaystyle X\rightarrow \mathbb {C} }, der f\in C(X) auf f\circ \sigma ^{{-1}} abbildet. Damit liegt ein C*-dynamisches System (C(X),\mathbb{Z } ,\alpha ) vor, wobei \alpha _{n}(f)=f\circ \sigma ^{{-n}}>. Es können dann Beziehungen zwischen dem klassischen dynamischen System (X,\sigma ) und der C*-Algebra C(X)\ltimes _{\alpha }\mathbb{Z } aufgestellt werden. Der Prototyp dieser Konstruktion ist die irrationale Rotationsalgebra.

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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 09.11. 2020