Träger (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der Nichtnullstellenmenge einer Funktion oder anderer Objekte.

Analysis

Träger einer Funktion

Der Träger von wird meist mit $\operatorname{Tr}(f)$ ^[1] oder $\operatorname {supp}(f)$ bezeichnet.

Sei ein topologischer Raum und $f\colon A\to {\mathbb {R}}$ eine Funktion. Der Träger von besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von , formal:

$\operatorname{Tr}(f) = \operatorname{supp}(f) := \overline{\{x\in A \mid f(x)\ne 0\}}$

Träger einer Distribution

Sei $\Omega$ eine offene Teilmenge des ${\mathbb {R}}^{d}$ und $T\in {\mathcal {D}}'(\Omega )$ eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt $x_{0}\in \Omega$ zum Träger von gehört, und schreibt $x_{0}\in {\mathrm {supp}}(T)$ , wenn für jede offene Umgebung $U\subset \Omega$ von $x_{0}$ eine Funktion $\phi \in {\mathcal {D}}(U)$ existiert mit $\;T(\phi )\neq 0$ .

Falls eine reguläre Distribution $T=T_{f}$ mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Beispiele

Ist $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ mit f(x)=x , dann ist $\operatorname {supp}(f)={\mathbb {R}}$ , denn die Nichtnullstellenmenge von ist ${\mathbb {R}}\setminus \left\{0\right\}$ , deren Abschluss ganz $\mathbb {R}$ ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist $f\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ mit f(x)=1 , falls $\left|x\right|<1$ , sonst $0$ , dann ist $\operatorname {supp}(f)$ die Menge $\left\{x:\left|x\right|\leq 1\right\}$ .

Ist $\chi _{{\mathbb {Q}}}$ die charakteristische Funktion von ${\mathbb {Q}}:\chi _{{\mathbb {Q}}}(x)=1$ , falls $x\in {\mathbb {Q}}$ , und $\chi _{{\mathbb {Q}}}(x)=0$ , falls $x\in {\mathbb {R}}\setminus {\mathbb {Q}}$ , dann ist der Träger $\mathbb {R}$ , also der Abschluss von $\mathbb {Q}$ .

Sei eine offene Teilmenge des ${\mathbb {R}}^{d}$ . Die Menge aller stetigen Funktionen von nach $\mathbb {R}$ mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit $C_{c}(U)$ bezeichnet wird.

Die Menge $C_{c}^{\infty }(U)$ aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution $\delta (f):=f(0)$ hat den Träger $\left\{0\right\}$ , denn mit $\omega :={\mathbb {R}}^{d}\setminus \left\{0\right\}$ gilt: Ist aus $C_{c}^{\infty }(\omega )$ , dann ist $\delta (f)=0$ .

Garbentheorie

Es sei eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum .

Träger eines Schnittes

Für eine offene Teilmenge $U\subseteq X$ und einen Schnitt $s\in \Gamma (U,F)$ heißt der Abschluss der Menge derjenigen Punkte $x\in X$ , für die das Bild von im Halm $F_{x}$ ungleich null ist, der Träger von , meist mit ${\mathrm {supp}}\,s$ oder |s| bezeichnet.

Insbesondere bezeichnet man als Träger eines auf einer Mannigfaltigkeit definierten Vektorfeldes $F\colon M\to TM$ den Abschluss der Menge der Punkte, in denen das Vektorfeld nicht Null ist.

Der Träger eines Schnittes ist nach Definition stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe

Der Träger von selbst ist die Menge der Punkte $x\in X$ , für die der Halm $F_{x}$ ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Anmerkungen

↑ Bei der Schreibweise $Tr(f)$ gibt es möglicherweise Verwechslungsgefahr mit der Spur einer quadratischen Matrix, die auf Englisch trace heißt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de