Möbiusband

Ein Möbiusband, Möbiusschleife oder Möbius’sches Band ist eine Fläche, die nur eine Kante und eine Seite hat. Sie ist nicht orientierbar, das heißt, man kann nicht zwischen unten und oben oder zwischen innen und außen unterscheiden.

Es wurde im Jahr 1858 unabhängig voneinander von dem Göttinger Mathematiker und Physiker Johann Benedict Listing und dem Leipziger Mathematiker und Astronomen August Ferdinand Möbius beschrieben.

Möbiusband aus Papier

Möbiusband aus Granit: Skulptur "unendliche Schleife" von Max Bill aus Tranas-Granit; Stadtgarten Essen (an der Hohenzollernstraße)

Beschreibung

Ein Möbiusband ist leicht herzustellen, indem man einen längeren Streifen Papier mit beiden Enden ringförmig zusammenklebt, ein Ende aber vor dem Zusammenkleben um 180° verdreht.

Solche Möbiusbänder besitzen eine Mittellinie, die keinen Kreis einnehmen kann – es sei denn, das Band wird örtlich gedehnt. Die Form, die ein solches Band ungedehnt einnehmen kann, wird vollständig durch den Verlauf der Mittellinie beschrieben.

Möbiusbänder, deren Mittellinie auch im entspannten Zustand ein Kreis ist, können nicht aus einem geraden zweidimensionalen Papierstreifen gefertigt werden – sie besitzen entlang ihres Umfanges ungleich geformte Teilelemente, aus denen sie zusammengesetzt gedacht werden können.

Möbiusbänder sind chiral.

Das Möbiusband geht derart in sich selbst über, dass man, wenn man auf einer der scheinbar zwei Seiten beginnt, die Fläche einzufärben, zum Schluss das ganze Objekt gefärbt hat.

Andere interessante Effekte entstehen, wenn man auf dem Band eine Mittellinie oder zwei zur Mittellinie parallele Linien einzeichnet und das Band längs dieser Linie(n) aufschneidet, also es scheinbar halbiert oder drittelt. Im ersten Fall, also beim Durchschneiden entlang der Mittellinie, entsteht ein zweifach verdrillter (um 720° in sich verdrehter) Ring mit zwei Seiten und zwei Rändern. Im zweiten Fall entstehen zwei Objekte: Ein Möbiusband und ein zweifach verdrillter Ring, die ineinander hängen. Dieses Spiel kann man mit beliebig kleiner Einteilung fortsetzen: „viertelt“ man das Band, entstehen zwei doppelt verdrillte Bänder, die nicht nur ineinander hängen, sondern auch noch einmal häufiger umeinander geschlungen sind; „fünftelt“ man es, entsteht dieselbe Figur mit einem zusätzlichen Möbiusband, das in den beiden Ringen hängt; „sechstelt“ man das Band, erhält man zwei Ringe, die sich doppelt umschlingen und von einem weiteren Ring doppelt umschlungen werden, wobei der äußere und die beiden inneren Ringe beliebig untereinander austauschbar sind; „siebtelt“ man es wiederum, kommt wieder ein Möbiusband hinzu, das in den drei Ringen hängt usw. Ist n der Nenner des Bruchteils, in den man das Band scheinbar einteilt, und n gerade, also n = 2r, so erhält man r Ringe; ist n ungerade, n = 2r+1, so ist zusätzlich ein Möbiusband durch die Ringe geschlungen.

Mathematisch gesehen ist das Möbiusband eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit. Eine weitere Fläche, die in diese Kategorie gehört, ist die Kleinsche Flasche; man kann eine Kleinsche Flasche so in zwei Teile zerlegen, dass aus ihr zwei Möbiusbänder entstehen.

Das mathematische Symbol für die Unendlichkeit wird manchmal fälschlicherweise als Möbiusband interpretiert.

In der Natur

Geladene Teilchen, die im Magnetfeld der Erde eingefangen wurden, können sich auf einem Möbiusband bewegen.
Das zyklische Protein Kalata B1, Wirkstoff der Pflanze Oldenlandia. O. affinis, als Naturheilmittel z.B. für die Geburtseinleitung, hat eine Möbius-Topologie.

In Kunst und Literatur

Möbius-Farbschema

Möbius-Schal

Möbius-Skulptur

Berühmte Darstellungen des Möbiusbandes in der Kunst gibt es z.B. von M. C. Escher (Möbiusband I und II, 1963) sowie in neuerer Zeit von Gideon Möbius-Sherman. Auch der argentinische Spielfilm Moebius setzt sich mit dem Thema auseinander. In der Literatur wird das Möbiusband ebenfalls thematisiert: Die Struktur von John Barths Kurzgeschichtenserie „Lost in the Funhouse“ (dt. „Ambrose im Juxhaus“) basiert auf dem Unendlichkeits- oder Wiederholungsprinzip (z.B. fehlende Mitte) des Möbiusbandes. Auch wird dem Buch ein Möbiusband mitgeliefert, das postmoderne Literaturansätze („Frame-Tale“) spiegelt. Es ist beschriftet mit: „Once upon a time there was a story that began once upon a time …“. Diese Form der Selbstreferenz ist typisch für sogenannte Seltsame Schleifen. Der Lyriker Erich Fried bezieht sich in seinem Gedicht „Topologik“ auf das Möbiusband: „Ich habe mir ein Möbiusherz gefasst, das sich in ausweglose Streifen schneidet.“ Max Bill schuf ab den 1930er Jahren zahlreiche Plastiken, die den visuellen Repräsentationen des Möbiusbandes entsprechen: z.B. 'Unendliche Schleife' (1935/37), 'Kontinuität' (Zürichsee; 1947, zerstört 1948) oder 'Unendliche Schleife' (Stadtgarten Essen, an der Hohenzollernstraße; 1974). Seine Skulptur Kontinuität (1986) stellt jedoch kein Möbiusband dar, entgegen gängiger Auffassung.

Auch in der seit 1986 existierenden Romanreihe Necroscope des englischen Autors Brian Lumley spielt das Möbiusband eine wichtige Rolle. Es ist das Symbol einiger Figuren, vor allem aber bedeutend für die Hauptperson Harry Keogh. Er erlernt die Fähigkeit des Zeitreisens mit Hilfe des sogenannten Möbiuskontinuums, das sich ähnlich dem Möbiusband verhält.

Ebenso wird das Möbiusband in der Perry-Rhodan-Serie thematisiert und bildet hier die dreidimensionale Modellbeschreibung für die beiden Seiten des n-dimensionalen Universums (Arresum und Paresum).

In der Manga-Reihe "Angel Sanctuary" wird das Schicksal des hohen Engels Alexiel und der steten Wiedergeburt ihrer Seele in menschliche Körper, denen ein grausames und blutiges Schicksal vorherbestimmt ist, mit einer Möbius-Scheife verglichen.

Im 2011 in deutscher Sprache erschienenen Roman Karte und Gebiet von Michel Houellebecq ist ein Möbiusband auf der Grabplatte der Romanfigur Michel Houellebecq eingemeißelt.

Im Jahr 2011 hat der Student der Robotik Aaron Hoover an der Berkeley Universität ein Möbius-Getriebe als technische Spielerei mittels 3D-Druck hergestellt.^[7]

Das Möbiusschach ist eine Variante des Zylinderschach, bei der man sich beim „Anschluss“ der Längsseiten noch eine Verdrillung des Spielfeldes hinzudenkt.

In der Technik

Mechanik

Bei Riemengetrieben, wo es für gleichmäßige Abnutzung sorgt.

Unterhaltungselektronik

Beim Tefifon, bei dem das von einer Tonabnehmernadel abgetastete Schallband als Möbiusband ausgeführt ist.

Elektrotechnik

Das schaltungstechnische Analogon eines Möbius-Bands ist ein Ringzähler mit einer Invertierung (Johnson-Zähler): Eine Bitsequenz erreicht nach zwei Umläufen den Ausgangszustand, mithin kann mit n Speicherzellen bis 2n gezählt werden; Zählen sehr schnell aufeinanderfolgender Impulse.
Als kompakter Resonator mit der Resonanzfrequenz bei der Hälfte baugleicher linearer Spulen
Als induktionsloser Widerstand, welcher auch als Möbius-Widerstand bezeichnet wird

Physik

Als Supraleiter mit hoher Sprungtemperatur
Der Stellarator ist ein Typus eines Kernfusionsreaktors, bei dem das Plasma durch entsprechend geformte Feldspulen auf eine Möbius-förmige Bahn gebracht wird.

Chemie

Als „Knotenmoleküle“ mit besonderen Eigenschaften (Knotane, Chiralität)

Nanotechnologie

Als molekulare Motoren
Als Graphen-Band (Nano-Graphit) mit neuartigen elektronischen Eigenschaften, wie helikalem Magnetismus

In der Mathematik

Parameterdarstellung

Plot eines Möbiusbandes

3D-Ansichten einer
Möbius-Schnecke

Das Möbiusband kann als Fläche mittels der folgenden Parameterdarstellung gezeichnet werden:

$x(r, \alpha) = \cos(\alpha) \cdot \left(1+\frac{r}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$

$y(r, \alpha) = \sin(\alpha) \cdot \left(1+\frac{r}{2}\cos\frac{\alpha}{2}\right)$

$z(r, \alpha) = \frac{r}{2} \sin\frac{\alpha}{2}$

mit $0\leq \alpha <2\pi$ und $-1\leq r\leq 1$ . Damit wird ein Möbiusband mit einer Breite von 1 erstellt, dessen Mittellinie mit dem Einheitskreis der xy-Ebene zusammenfällt. Der Winkel $\alpha$ hat seinen Scheitel im Zentrum; während er sich ändert, führt die Variation von zur Fläche, die sich zwischen der einzigen Kante spannt. Wie im Bild rechts leicht zu erkennen ist, handelt es sich nicht um ein aus einem Papierstreifen zu fertigendes Möbiusband – im waagerechten Teil ähneln die Teilelemente symmetrischen Trapezen.

Mit Hilfe von Zylinderkoordinaten $(r, \theta, z)$ kann das Möbiusband durch

$\log(r) \cdot \sin(\theta/2) = z \cdot \cos(\theta/2)$

beschrieben werden.

Topologie

Möbiusband als Quotientenraum

Die Topologie bietet einen mathematischen Weg, ein Möbiusband durch das gegensinnige Zusammenkleben der Enden eines Papierstreifens herzustellen. Dort wird ein Möbiusband als Quotientenraum des Quadrats $(x,y) \in [0,1] \times [0,1]$ definiert, wobei zwei gegenüberliegende Seiten durch die Äquivalenzrelation $(0,y) \sim (1,1-y)$ für $0 \leq y \leq 1$ miteinander identifiziert werden. Das nebenstehende Diagramm verdeutlicht dies.

Das Möbiusband ist eine kompakte topologische Mannigfaltigkeit der Dimension 2.

Geometrie

Im Bereich der Differentialgeometrie wird ein Möbiusband als eine nicht-orientierbare Fläche mit einem Loch aufgefasst. Sie kann in den $\mathbb {R} ^{3}$ eingebettet werden. Das Band ist quasi das Standardbeispiel einer nicht-orientierbaren Fläche. Das Möbiusband lässt eine differenzierbare Struktur zu. Es ist allerdings keine riemannsche Fläche, da nicht-orientierbare Flächen keine komplexen Strukturen zulassen.

Das im ersten Abschnitt diskutierte Papiermodell des Möbiusbandes ist auf die Ebene abwickelbar. Daher verschwindet die Gaußsche Krümmung solcher Möbiusbänder. Wie im Abschnitt zur Parametrisierung eines Möbiusbandes dargestellt, gibt es aber auch Möbiusbänder, die nicht auf die Ebene abwickelbar sind. Somit sind nach dem Theorema egregium nicht alle Möbiusbänder zueinander isometrisch isomorph.

Variationsrechnung

Neue Erkenntnisse zur mathematischen Beschreibung eines Möbiusbands wurden im Jahr 2007 durch die Wissenschaftler E. L. Starostin und G. H. M. van der Heijden publiziert. Sie haben insbesondere die Form mathematisch berechnet, die ein aus einem Band gefertigtes Möbiusband von selbst einzunehmen bestrebt ist, um so den energieärmsten Zustand anzunehmen.

Literatur

Rainer Herges: Möbius, Escher, Bach – Das unendliche Band in Kunst und Wissenschaft. In: Naturwissenschaftliche Rundschau. 58, 6, 2005, S. 301–310.
Clifford A. Pickover: The Möbius Strip: Dr. August Möbius’s Marvelous Band in Mathematics, Games, Literature, Art, Technology, and Cosmology. New York 2006.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de