Rationale Abbildung

Sind und zwei irreduzible algebraischen Varietäten oder Schemata, so ist eine rationale Abbildung eine Funktion von einer offenen Teilmenge von nach . Ähnlich wie Abbildungen von Varietäten Homomorphismen der Koordinatenringe entsprechen, entsprechen rationale Abbildungen Körperhomomorphismen der Funktionenkörper der Varietäten.

Rationale Abbildungen werden benötigt zur Definition der birationalen Äquivalenz, ein wichtiger Begriff zur Klassifikation von Varietäten.

Definitionen

Reguläre Funktionen algebraischer Varietäten

Im Folgenden sei eine irreduzible affine Varietät mit Koordinatenring K[V] . Der Koordinatenring ist ein Integritätsbereich, K(V) bezeichne seinen Quotientenkörper. Die Elemente aus K(V) werden als rationale Funktionen auf bezeichnet.

Ist $f\in K(V)$ und $x\in V$ , so wird regulär in genannt, wenn $g,h\in K[V]$ existieren mit:

$h(x)\neq 0$

$f={\frac gh}$

Ist $f\in K(V)$ , so wird die Menge der Elemente, in denen regulär ist, als Definitionsbereich von , als ${\mathrm {dom}}(f)$ , bezeichnet.

Rationale Abbildungen von Varietäten

${\mathbb A}_{k}^{n}$ bezeichne den n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper k.

Seien $V\subset {\mathbb A}_{k}^{l}$ und $W\subset {\mathbb A}_{k}^{n}$ Varietäten über einem Körper . Eine rationale Abbildung von nach ist ein Tupel

$f=(f_{1},\dots ,f_{n})$

mit $f_{i}\in K(V)$ und $(f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in W$ für alle $x\in \bigcap _{{i=1}}^{n}{\mathrm {dom}}(f_{i})\subset V$

Die Abbildung heißt in $x\in V$ regulär, falls alle $f_{i}$ in regulär sind. Der Definitionsbereich von ist

${\mathrm {dom}}(f)=\bigcap _{{i=1}}^{n}{\mathrm {dom}}(f_{i})$

Eine rationale Abbildung von nach ist also nicht auf ganz definiert, sondern nur auf einer offenen Teilmenge $U\subset V$ .

Daher werden sie auch mit einem gestrichelten Pfeil notiert:

$f:V{\text{⇢}}W$

Dominante rationale Abbildungen

Rationale Abbildungen können nicht immer miteinander verkettet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

$f\colon \mathbb {A} _{k}^{1}{\text{⇢}}\mathbb {A} _{k}^{2}$

$f\colon x\mapsto (x,0)$

$g\colon \mathbb {A} _{k}^{2}{\text{⇢}}\mathbb {A} _{k}^{1}$

$g\colon (x,y)\mapsto ({\frac xy})$ also ${\mathrm {dom}}(g)=\{(x,y)\in {\mathbb A}_{k}^{2}|y\neq 0\}$

denn

$f({\mathbb A}_{k}^{1})\cap {\mathrm {dom}}(g)=\emptyset$

Eine Verkettung ist hingegen immer bei dominanten rationalen Abbildungen möglich:

Eine rationale Abbildung

$f\colon V{\text{⇢}}W$

heißt dominant, wenn $f({\mathrm {dom}}(f))$ eine in dichte Menge ist.

Birationale Abbildungen

Eine birationale Abbildung

$\phi \colon X{\text{⇢}}Y$

ist eine rationale Abbildung, zu der es eine rationale Abbildung

$\psi \colon Y{\text{⇢}}X$

gibt mit

$\psi \circ \phi =id_{X}$

und

$\phi \circ \psi =id_{Y}$

Die Varietäten werden dann als birational äquivalent genannt.

Zusammenhang mit Körperhomomorphismen

Sei

$f\colon V{\text{⇢}}W$

$f=(f_{1},\ldots ,f_{n})$

eine rationale Abbildung. $W\subset {\mathbb A}_{k}^{l}$ sei durch das Ideal definiert. Wegen

$f(x)\in W$

gilt für alle $h\in I$

$h(f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x))=0$

Ist also

$h\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ also ${\bar h}\in K[W]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I$

so ist $f^{*}({\bar {h}}):=h(f_{1},\ldots ,f_{n})$ wohldefiniert. Eine rationale Abbildung induziert daher eine Abbildung

$f^{*}\colon k[W]\to K(V)$

Ist

$f^{*}(g)=0$

so ist das äquivalent zu

$f({\mathrm {dom}}(f))\subset V(g)$

Ist dominant, so muss in diesem Fall g=0 sein, da keine Funktion auf einer dichten Menge verschwinden kann. Es gilt daher:

$f^{*}\colon K[W]\to K[V]$ ist injektiv $\Leftrightarrow f$ ist dominant.

In diesem Fall induziert einen -linearen Körperhomomorphismus

$f^{*}\colon k(W)\to k(V)$

Umgekehrt lässt sich zu jedem -linearen Körperhomomorphismus

$\phi \colon k(W)\to k(V)$

eine (dadurch eindeutig bestimmte) dominante rationale Abbildung

$f\colon V{\text{⇢}}W$

finden mit

$\phi =f^{*}$

Es lässt sich sogar zeigen, dass die Sternabbildung $^{*}$ ein kontravarianter Funktor ist, der eine Äquivalenz zwischen bestimmten Kategorien herstellt.

Verallgemeinerungen

Obige Definition lässt sich auf quasiaffine, quasiprojektive und projektive Varietäten durch Äquivalenzklassen verallgemeinern. Seien nun und affine, quasiaffine, quasiprojektive oder projektive Varietäten.

Sind $U,V\subset X$ offene Mengen und $\phi _{U}$ und $\phi _{V}$ Morphismen von beziehungsweise nach .

Die Äquivalenzrelation wird folgendermaßen definiert: $(U,\phi _{U})$ ist äquivalent zu $(V,\phi _{V})$ , wenn $\phi _{U}$ und $\phi _{V}$ auf $U\cap V$ übereinstimmen.