Surjektive Funktion

Eine surjektive Funktion:
X ist die Definitionsmenge,
Y ist die Zielmenge

Eine surjektive Funktion ist eine mathematische Funktion, die jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert annimmt. Das heißt, jedes Element der Zielmenge hat ein nichtleeres Urbild.

Eine surjektive Funktion wird auch als Surjektion bezeichnet. Ist sie zudem auch injektiv, heißt sie bijektiv. In der Sprache der Relationen spricht man auch von rechtstotalen Funktionen.

Definition

Es seien X und Y Mengen, sowie f\colon X\to Y eine Abbildung.

Die Abbildung f heißt surjektiv, wenn es zu jedem y aus Y (mindestens) ein x aus X mit f(x)=y gibt. Eine solche Abbildung notiert man auch so: {\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y}.

Formal: {\displaystyle \forall y\in Y\ \exists x\in X\colon f(x)=y} (siehe Existenz- und Allquantor).

Grafische Veranschaulichungen

Beispiele und Gegenbeispiele

{\displaystyle f_{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{2}} ist nicht surjektiv, da z.B. das Urbild von -1 die leere Menge ist (keine Quadratzahl ist negativ!).
{\displaystyle f_{2}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\,x\mapsto x^{2}} ist surjektiv.

Eigenschaften

Ersetzt man bei einer Funktion {\displaystyle f\colon A\to B;\ x\mapsto f(x)} ihre Zielmenge B durch ihre Bildmenge {\displaystyle \operatorname {im} f:=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\},} so entsteht mit {\displaystyle g\colon A\to \operatorname {im} f;\ x\mapsto f(x)} stets eine surjektive Funktion g, während f natürlich nicht surjektiv zu sein braucht.

Mächtigkeiten von Mengen

Für eine endliche Menge A ist die Mächtigkeit |A| einfach die Anzahl der Elemente von A. Ist nun f\colon A\to B eine surjektive Funktion zwischen endlichen Mengen, dann kann B höchstens so viele Elemente wie A haben, es gilt also |B|\leq |A|.

Für unendliche Mengen wird der Größenvergleich von Mächtigkeiten zwar mit Hilfe des Begriffs Injektion definiert, aber auch hier gilt: Ist f\colon A\to B surjektiv, dann ist die Mächtigkeit von B nicht größer als die Mächtigkeit von A, auch hier schreibt man dafür |B|\leq |A|.

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 03.06. 2021