Injektive Funktion

Illustration einer Injektion.
Jedes Element von Y hat höchstens ein Urbild: A, B, D je eines, C keines.

Injektivität oder Linkseindeutigkeit ist eine Eigenschaft einer mathematischen Relation, also insbesondere auch einer Funktion (wofür man meist gleichwertig auch „Abbildung“ sagt): Eine injektive Funktion, auch als Injektion bezeichnet, ist ein Spezialfall einer linkseindeutigen Relation, namentlich der, bei dem die Relation auch rechtseindeutig und linkstotal ist.

Eine Funktion f\colon X\to Y ist injektiv, wenn es zu jedem Element y der Zielmenge Y höchstens ein (also eventuell gar kein) Element x der Ausgangs- oder Definitionsmenge X gibt, das darauf zielt, wenn also nie zwei oder mehr verschiedene Elemente der Definitionsmenge auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet werden:

f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2

Die Zielmenge kann daher nicht weniger mächtig als die Definitionsmenge sein, d.h., sie kann nicht weniger Elemente enthalten.

Die Bildmenge f(X):=\{f(x)\mid x\in X\} darf eine echte Teilmenge der Zielmenge Y sein, d.h., es kann Elemente y\in Y geben, die keine Bildelemente f(x) sind, wie es in der abgebildeten Grafik rechts der Fall ist. Dies macht den Unterschied zu einer bijektiven Abbildung aus, von der außer Injektivität noch verlangt wird, dass jedes Element der Zielmenge als Bildelement f(x) auftritt, dass also f surjektiv ist.

Dass eine Abbildung f\colon X\to Y injektiv ist, wird gelegentlich durch f\colon X\hookrightarrow Y ausgedrückt, mit einem aus \subset und \to zusammengesetzten Zeichen. Es erinnert an die Einbettung einer Menge X in eine Obermenge Y durch eine Funktion f\colon X\to Y,\, f(x)=x, die jedes Element von X auf sich selbst abbildet.

Beispiele und Gegenbeispiele

Nichtinjektive Funktion
f_1\colon \N \to \N,\, x \mapsto 2x ist injektiv.
f_2\colon \Z \to \Z,\, x \mapsto 2x ist injektiv.
f_3\colon \N \to \N,\, x \mapsto x^2 ist injektiv.
f_4\colon \Z \to \Z,\, x \mapsto x^2 ist nicht injektiv, da z.B. f(1)=f(-1) gilt.
f(a)=f(b)=c trotz a\neq b

Eigenschaften

Drei injektive streng monoton steigende reelle Funktionen.
Drei injektive streng monoton fallende reelle Funktionen.

Mächtigkeiten von Mengen

Eine wichtige Rolle spielt der Begriff der Injektion in der Mengenlehre bei Definition und Vergleich von Mächtigkeiten, einem Begriff, der die Elementeanzahl von endlichen Mengen auf beliebige Mengen verallgemeinert. Zwei Mengen X,\,Y heißen „von gleicher Mächtigkeit“, wenn es sowohl eine Injektion von X> nach Y als auch eine solche von Y nach X gibt. (In diesem Fall existieren auch Bijektionen von der einen auf die andere Menge.) Dagegen heißt X von kleinerer Mächtigkeit als Y, wenn es zwar eine Injektion von X nach Y, aber keine von Y nach X gibt.

Schubfachschluss

Ein in Beweisen insbesondere der Zahlentheorie häufiges Schlussschema benutzt die Feststellung, dass eine Abbildung f einer endlichen Menge X in eine Menge Y mit weniger Elementen nicht injektiv sein kann, dass es also Elemente a,b\in X mit a\neq b und gleichem Bild f(a)=f(b) gibt. Wegen der Vorstellung von vielen Objekten in weniger Schubfächern heißt das „Schubfachschluss“.

Anzahl injektiver Abbildungen

Die Anzahl der injektiven Abbildungen von einer Definitionsmenge A in eine gegebene endliche Zielmenge B mit der Eigenschaft |B| \geq |A| ist gegeben durch:

|B|\cdot (|B|-1) \cdot \ldots \cdot (|B|-|A|+1) = \frac{|B|!}{(|B|-|A|)!} = |A|! \cdot \binom{|B|}{|A|}

Dies entspricht in der Kombinatorik einer Variation ohne Wiederholung.

Geschichte

Nachdem man generationenlang mit Formulierungen wie „eineindeutig“ ausgekommen war, kam erst in der Mitte des 20. Jahrhunderts mit der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedürfnis nach einer prägnanteren Bezeichnung auf.

Im Englischen lässt sich das Substantiv injection 1945 belegen. Das englische Adjektiv injective wurde 1952 in den Foundations of algebraic topology von S. Eilenberg und N. Steenrod verwendet, allerdings eher im Sinne von injektiven Objekten. Injektiv im Kontext mit den Fachwörtern surjektiv und bijektiv wurde 1954 von der Autorengruppe Nicolas Bourbaki in dem Buch Théorie des ensembles, Éléments de mathématique Première Partie eingeführt.

Es herrscht stellenweise große Verwirrung bezüglich der Zuordnung zwischen den Begriffen „eineindeutig“ einerseits und „injektiv“ bzw. „bijektiv“ andererseits. Quellen (Lehrbücher) aus der reinen Mathematik favorisieren „injektiv“, fachfremde Quellen favorisieren teilweise eher „bijektiv“.

Trenner
Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
Seitenende
Seite zurück
© biancahoegel.de
Datum der letzten Änderung: Jena, den: 05.02. 2021