Zielmenge

Abbildung 1: Eine Funktion von A nach B.

In der Mathematik wird bei einer Funktion f\colon A\to B, die die Elemente einer Menge A auf Elemente einer Menge B abbildet, B als Zielmenge oder Wertevorrat der Funktion bezeichnet.

Häufig wird dafür auch das Wort Wertemenge oder Wertebereich benutzt; diese Wörter bezeichnen aber oft stattdessen die Bildmenge von f. Es besteht also Verwechslungsgefahr. In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit; es wird nur die Bezeichnung Wertemenge (oder Wertebereich) im Sinne der Bildmenge benutzt. Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von f; es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch tatsächlich alle durch f angenommen werden.

Die Menge der Werte, die als Funktionswert von f erscheinen, ist die Bildmenge. Ist die Bildmenge von f gleich der Zielmenge von f, so heißt f surjektiv (rechtstotal).

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, sind nicht gleich.

Beispiel

Die Funktion f\colon {\mathbb  {R}}^{2}\to {\mathbb  {R}} ordnet jedem Punkt der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zu. Es gilt also:

f(a,b)={\sqrt  {a^{2}+b^{2}}}

Die Zielmenge der Funktion ist \mathbb {R} , die Menge der reellen Zahlen. Da der Abstand nie negativ sein kann, werden nicht alle möglichen Werte angenommen. Die Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen (oft mit {\mathbb  {R}}_{0}^{+} bezeichnet).

Die Funktion g\colon {\mathbb  {R}}^{2}\to {\mathbb  {R}}_{0}^{+} mit g(a,b):={\sqrt  {a^{2}+b^{2}}} hat denselben Definitionsbereich, dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie f. Da aber die Zielmengen verschieden sind, gilt trotzdem f\neq g.

Zusammenhang zwischen den Mengen

Anhand der einfachen Beispielfunktion aus Abbildung 1 sollen noch einmal die verschiedenen auftretenden Mengen erklärt werden:

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Basierend auf einem Artikel in: Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung: Jena, den: 01.05. 2021