Signalgeschwindigkeit

Propagation eines Wellenpaketes: Der blaue Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit; der grüne mit Gruppengeschwindigkeit und der rote mit Frontgeschwindigkeit

Die Signalgeschwindigkeit ist diejenige Geschwindigkeit, mit der sich ein Signal ausbreitet. Ein Signal, also eine Änderung eines Zustandes, lässt sich als Wellenpaket beschreiben. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende eines solchen Wellenpaketes bewegt ist die Gruppengeschwindigkeit. Im Allgemeinen, insbesondere wenn die Phasengeschwindigkeit stark frequenzabhängig ist oder die Absorption nicht vernachlässigt werden kann, ist die Signalgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit zu unterscheiden. Die Geschwindigkeit mit der sich die erste Auslenkung einer Wellenfront bewegt, ist die Frontgeschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit, und damit auch die Signalgeschwindigkeit, ist immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit. In Kabeln wird sie durch den Verkürzungsfaktor angegeben.

Frontgeschwindigkeit

Im 19. Jhdt. nahm Lord Rayleigh an, dass eine Welle Information und Energie mit Gruppengeschwindigkeit überträgt. In Ausbreitungsmedien mit anomaler Dispersion ist die Gruppengeschwindigkeit proportional zum Betrag der Dispersion. Dabei gibt es keine prinzipielle physikalische Grenze. Es ist möglich, dass das Zentrum eines Wellenpakets sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegt. Gemäß der speziellen Relativitätstheorie ist jedoch die Lichtgeschwindigkeit die höchste Geschwindigkeit mit der Information übertragen werden kann.

Woldemar Voigt zeigte anhand der Telegraphengleichung, dass die Geschwindigkeit einer Wellenfront im Fall dieser Telegraphengleichung kleiner als die Gruppengeschwindigkeit ist, und damit die Signalgeschwindigkeit von der Gruppengeschwindigkeit unterschieden werden muss. Die Front einer Welle ist durch eine Oberfläche definiert, hinter der zu einem gewissen Zeitpunkt die Amplitude einer Welle identisch Null ist.

Überlichtgeschwindigkeit

Dass die Frontgeschwindigkeit immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, lässt sich anhand eines allgemeinen Signals der Form

$\Psi (x=0,t)=\Theta (t)e^{{{\mathrm i}\omega t}}$

zeigen. $\Theta(t)$ ist hierbei die Heaviside-Funktion. Wenn sich die Wellenfront t=0 dieser Welle nicht mit Überlichtgeschwindigkeit bewegen kann, so muss für eine Distanz x>ct die Wellenfunktion $\Psi (x,t)$ Null sein. Für die Wellenfunktion

$\Psi (x,t)=\int _{{-\infty }}^{\infty }{\mathrm d}t'\,G(x,t-t')\Psi (0,t')$

mit der Greensfunktion

$G(x,\tau )={\frac {1}{2\pi }}\int _{{-\infty }}^{\infty }{\mathrm d}\omega \,e^{{{\mathrm i}\omega \left(n(\omega ){\frac {x}{c}}-\tau \right)}}$

lässt sich dies mithilfe des Residuensatzes zeigen. Da für große Frequenzen $\omega \to \infty$ der Brechungsindex n=1 ist, bleibt dort $e^{{{\mathrm i}\left({\frac {x}{c}}-t\right)}}$ als Integrand über. Für x>ct lässt sich dies als Kurvenintegral über die obere Hälfte der komplexen Ebene schreiben. Da der Brechungsindex dort aber analytisch ist (also keine Singularitäten besitzt) ist das Integral Null.

Literatur

Léon Brillouin: „Wave propagation and group velocity“, Academic Press Inc., New York, 1960

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de