Beschleunigtes Bezugssystem

Beschleunigte Bezugssysteme sind alle Bezugssysteme, die kein Inertialsystem sind.

Obwohl in beschleunigten Bezugssystemen die physikalischen Gesetze im Allgemeinen komplizierter aussehen (in der Mechanik müssen z.B. bei der Aufstellung von Bewegungsgleichungen Trägheitskräfte berücksichtigt werden), können diese Bezugssysteme in manchen Fällen die Lösung eines Problems vereinfachen.

Das ist meist dann der Fall, wenn das Bezugssystem so gewählt wird, dass die Bewegungen relativ dazu einfach werden:

Rotierende Kreis- oder Spiralbewegungen um ein gemeinsames Zentrum lassen sich z.B. oft gut beschreiben, wenn das Bezugssystem um das Zentrum gleichförmig rotiert: Der kreiselnde bzw. spiralende Körper ruht dann darin oder bewegt sich entlang einer Geraden.

Das Foucaultsche Pendel wird meist in einem Bezugssystem berechnet, das die Erddrehung mitvollführt. Ebenso die Berechnungen für die Vorgänge in Atmosphäre und Ozeanen, auf denen die Vorhersage des Wetters und der Klimaentwicklung aufbauen.

Relativbewegungen in einem Fahrzeug, z.B. die der Räder, werden in einem fahrzeugfesten System beschrieben.

In einem Bezugssystem, das in einem homogenen Schwerkraftfeld im freien Fall ist, wird die Schwerkraft durch die Trägheitskraft exakt ausgeglichen.

In der Klassischen Mechanik sind Zeitintervalle und räumliche Abstände in allen Bezugssystemen gleich. Die Umrechnung der wahrgenommenen physikalischen Größen beim Übergang zu einem anderen Bezugssystem wird daher durch die Euklidische Transformation bewerkstelligt.

Kinematik

→ Hauptartikel: Kinematik

Inertialsystem K und beschleunigtes Koordinatensystem K'.

Zeitliche Ableitungen in einem ruhenden und einem bewegten Bezugssystem

Sei P ein Punkt im physikalischen Raum. In einem Bezugssystem ${\boldsymbol {K}}$ ist er durch einen Ortsvektor ${\vec {r}}$ definiert, der mit drei Basisvektoren $\vec{e}_{i}$ ( i=1,2,3 für die x-, y- und z-Richtung) und drei Koordinaten $x_{{i}}$ so darzustellen ist:

${\vec {r}}\,=\,\sum _{i}x_{i}\,{\vec {e}}_{i}$

Ist der Punkt beweglich, hängen die Koordinaten $x_{i}(t)$ von der Zeit ab.

Die zeitliche Ableitung des Vektors ist

${\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}$

Sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der sich der Punkt P relativ zum Bezugssystem ${\boldsymbol {K}}$ bewegt.

Sei ${\boldsymbol {K}}'$ ein anderes Bezugssystem, das sich relativ zu ${\boldsymbol {K}}$ bewegt. Sein Koordinatenursprung liegt bei ${\vec {R}}(t)$ , seine Basisvektoren sind ${\vec {e}}'_{i}(t)$ . Der Ortsvektor desselben Punktes P in K' sei ${\vec {r}}\,'$ . Damit die Vektoren ${\vec {r}}$ und ${\vec {r}}\,'$ denselben physikalischen Ort im Raum definieren, muss gelten:

${\vec {r}}\,=\,{\vec {R}}+{\vec {r}}\,'$ .

Im Fall ${\vec {R}}=0$ sind also die Vektoren gleich ( ${\vec {r}}={\vec {r}}\,'$ ), aber ihre Komponenten bezüglich ${\boldsymbol {K}}$ bzw. ${\boldsymbol {K}}'$ im Allgemeinen nicht.

Die Komponentendarstellung von ${\vec {r}}\,'$ in Bezug auf ${\boldsymbol {K}}'$ ist:

${\vec {r}}'\,=\,\sum _{i}x_{i}'\,{\vec {e}}_{i}'$ .

Die zeitliche Ableitung des Vektors ${\vec {r}}\,'$ relativ zum bewegten System ${\boldsymbol {K}}'$ ist

${\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}'}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}'$

Dabei bedeutet der Strich im Symbol $\mathrm {d} '$ für die Differentiation eines Vektors ${\vec {r}}'(t)$ , dass die Koordinaten $x_{i}'(t)$ abgeleitet werden sollen, die er im Bezugssystem ${\boldsymbol {K}}'$ hat, damit die Ableitung eine Größe bezeichnet, wie sie dort beobachtet werden kann.

Um die Geschwindigkeiten des Punktes P, wie sie in ${\boldsymbol {K}}$ bzw. in ${\boldsymbol {K}}'$ beobachtet werden, zueinander in Beziehung zu setzen, muss die Bewegung von ${\boldsymbol {K}}'$ in Bezug auf ${\boldsymbol {K}}$ beschrieben werden. Diese Bewegung ist wie bei einem starren Körper in jedem Moment die Kombination einer Translationsbewegung und einer Rotationsbewegung. Die Translationsbewegung ist durch die Geschwindigkeit gegeben, mit der der Ursprung ${\vec {R}}(t)$ sich in ${\boldsymbol {K}}$ bewegt:

${\vec {v}}_{trans}(t)\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}}{\mathrm {d} t}}$ .

Aufgrund der Translationsbewegung bewegen sich alle Punkte mit konstantem Ortsvektor ${\vec {r}}\,'$ in ${\boldsymbol {K}}$ parallel, also bleiben auch die Basisvektoren ${\vec {e}}'_{i}$ zeitlich konstant. Aufgrund der Rotationsbewegung ändern diese sich aber. Die momentane Rotationsbewegung von ${\boldsymbol {K}}'$ hat eine Drehachse durch den Ursprung am Ort ${\vec {R}}(t)$ und eine Winkelgeschwindigkeit $\omega(t)$ , die mit dem Drehsinn zur vektoriellen Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}(t)$ zusammengefasst sind. (Umgekehrt hat ${\boldsymbol {K}}$ in ${\boldsymbol {K}}'$ seinen Ursprung bei $-{\vec {R}}(t)$ und dreht sich mit $-{\vec {\omega }}(t)$ .) Damit ändern sich die Basisvektoren von ${\boldsymbol {K}}'$ in ${\boldsymbol {K}}$ mit der Geschwindigkeit (siehe Bahngeschwindigkeit):

${\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i}$

Damit kann die Zeitableitung des Vektors ${\vec {r}}'(t)$ , wie sie im Bezugssystem ${\boldsymbol {K}}$ erscheint, berechnet werden. Nach der Produktregel ist

${\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x'_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}'_{i}+\sum _{i}x'_{i}{\frac {\mathrm {d} {\vec {e}}'_{i}}{\mathrm {d} t}}$ .

Nach den obigen Formeln ist das dasselbe wie

${\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\,+\,\sum _{i}x'_{i}\,({\vec {\omega }}\times {\vec {e}}'_{i})\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'$ .

Diese Formel wird oft zu einer Operatorgleichung abgekürzt wiedergegeben als

${\frac {\mathrm {d} \bullet }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} '\bullet }{\mathrm {d} t}}+{\vec {\omega }}\times \bullet$ .

Angewendet auf einen beliebigen Vektor (einzusetzen bei $\bullet$ ), liefert sie den Zusammenhang zwischen seinen Änderungsgeschwindigkeiten ${\boldsymbol {K}}$ bzw. in ${\boldsymbol {K}}'$ .

Transformation der Geschwindigkeit

Im Folgenden werden, in Anlehnung an die Technische Mechanik, die im Bezugssystem ${\boldsymbol {K}}$ beobachteten Größen als Absolutgeschwindigkeit bzw. Absolutbeschleunigung bezeichnet, und die auf ${\boldsymbol {K}}'$ bezogenen Größen als Relativgeschwindigkeit bzw. Relativbeschleunigung.^[1]

Die Absolutgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ des Punktes ist:

${\vec {v}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}\left(\,=\,\sum _{i}{\dot {x}}_{i}{\vec {e}}_{i}\right)$

Die Relativgeschwindigkeit ${\vec v}'$ des Punktes ist analog:

${\vec {v}}'\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,=\,\sum _{i}{\frac {\mathrm {d} x_{i}'}{\mathrm {d} t}}{\vec {e}}_{i}'$

Wegen ${\vec {r}}\,=\,{\vec {R}}+{\vec {r}}\,'$ folgt für die Absolutgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ :

${\vec {v}}\,\,=\,\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\vec {R}}+{\vec {r}}')\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {R}}}{\mathrm {d} t}}\,+\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {r}}'}{\mathrm {d} t}}\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,=\,{\vec {v}}_{trans}\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {v}}\,'$ .

Der Anteil ( ${\vec {v}}_{trans}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$ ) der Absolutgeschwindigkeit wird als Führungsgeschwindigkeit bezeichnet. Alle Punkte, die im Bezugssystem ${\boldsymbol {K}}'$ ruhen, bewegen sich im Bezugssystem ${\boldsymbol {K}}$ mit der Führungsgeschwindigkeit. Falls sie in ${\boldsymbol {K}}'$ nicht ruhen, ist ihre Relativgeschwindigkeit ${\vec {v}}\,'$ zur Führungsgeschwindigkeit zu addieren.

Transformation der Beschleunigung

Die zeitliche Ableitung der Formel für die Geschwindigkeit des Punktes P in ${\boldsymbol {K}}$ ergibt die Absolutbeschleunigung, ausgedrückt durch die in ${\boldsymbol {K}}'$ beobachtbaren Größen ${\vec r}'$ und ${\vec v}'$ :

${\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\vec {v}}_{trans}\,+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {v}}'\right)\,=\,\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{trans}}{\mathrm {d} t}} _{{\vec {a}}_{trans}}\,+\,\underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}}\right)} _{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'\,+\,{\vec {\omega }}\times \underbrace {\left({\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}\,'}{\mathrm {d} t}}\right)} _{{\vec {v}}\,'+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'}\,+\,\underbrace {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}'}{\mathrm {d} t}} _{{\vec {a}}\,'+\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'}$

Dabei muss die obige Operatorgleichung je einmal auf ${\vec r}'$ und ${\vec v}'$ angewendet werden. Die Größen nach den vorstehenden Formeln eingesetzt und etwas umgeordnet:

${\vec {a}}\,=\,{\vec {a}}'\,+\,{\vec {a}}_{trans}\,+{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,')\,+\,2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'\,+\,{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'$

oder

${\vec {a}}'\,={\vec {a}}\,-\,{\vec {a}}_{trans}\,+\,{\vec {a}}_{Zentrifugal}\ \ +\quad {\vec {a}}_{Coriolis}\ +\ {\vec {a}}_{Euler}$

Darin ist:

${\vec {a'}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} '{\vec {v}}'}{\mathrm {d} t}}$	Relativbeschleunigung in Bezug zu ${\boldsymbol {K}}'$
${\vec {a}}_{trans}\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{trans}}{\mathrm {d} t}}$	Translationsbeschleunigung von ${\boldsymbol {K}}'$ in ${\boldsymbol {K}}$
${\vec {a}}_{Zentrifugal}\,=\,-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,')$	Zentrifugalbeschleunigung in ${\boldsymbol {K}}'$
${\vec {a}}_{Coriolis}\,=\,-2\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'$	Coriolisbeschleunigung in ${\boldsymbol {K}}'$
${\vec {a}}_{Euler}\,=\,-{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'$	Eulerbeschleunigung in ${\boldsymbol {K}}'$

Am Ergebnis ist zu sehen: Wenn ein Punkt in einem Bezugssystem beispielsweise ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt, kann er im Allgemeinen in einem anderen Bezugssystem mit (von Null verschiedener) Geschwindigkeit und sogar Beschleunigung beobachtet werden. Die Unterschiede in der beobachteten Beschleunigung werden als Wirkung von Trägheitskräften aufgefasst. Weiteres siehe dort.

Dynamik

Wenn K ein Inertialsystem ist, dann ist Beschleunigung ${\vec {a}}(t)$ proportional zu der auf den Massenpunkt wirkende Kraft ${\vec {F}}$ :

$m{\vec {a}}={\vec {F}}$ .

Einsetzen der obigen Gleichung für ${\vec {a}}$ führt auf die Gleichung:

${\vec {F}}\,=\,{\vec {F}}'\,+\,m\,{\vec {a}}_{\text{trans}}\,-\,{\vec {F}}_{\text{Zentrifugal}}\,-\,{\vec {F}}_{\text{Coriolis}}\,-\,{\vec {F}}_{\text{Euler}}$

Darin ist:

${\vec {F'}}\,=\,m\,{\frac {\mathrm {d} '^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {r}}'$	Kraft zur Erzeugung der Relativbewegung in K' , wenn K' ein Inertialsystem wäre
$m\,{\vec {a}}_{\text{trans}}\,=\,m\,{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {R}}$	Kraft zur Erzeugung der Translationsbeschleunigung von K' in K
${\vec {F}}_{\text{Zentrifugal}}\,=\,-m\,{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,')$	Zentrifugalkraft
${\vec {F}}_{\text{Coriolis}}\,=\,-2m\,\,{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'$	Corioliskraft
${\vec {F}}_{\text{Euler}}\,=\,-m\,{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'$	Eulerkraft

Diese Gleichung lässt sich auf verschiedene Weise anwenden:

Zusammengesetzte Bewegung: Wenn die Bewegung eines Massenpunkts als eine bestimmte Relativbewegung in einem beschleunigten Bezugssystem K' gegeben ist, dann ergibt sich die dazu nötige Kraft ${\vec {F}}$ aus obiger Gleichung. Man sieht, dass außer der Kraft ${\vec {F'}}$ , die die gegebene Relativbewegung in einem Inertialsystem hervorrufen würde, weitere Kräfte erforderlich sind. Diese werden als Trägheitskräfte bezeichnet, weil sie sich aus der Trägheit des bewegten Massenpunkts gegenüber der Führungsbeschleunigung des Bezugssystems K' ergeben.
Scheinkräfte: Wenn eine Bewegung ${\vec {r}}'(t)$ relativ zu einem beschleunigten Bezugssystem K' beobachtet wird, dann kann man die wirkende Kraft nicht allein aus ${\vec {F'}}=m\,d^{2}r'/dt^{2}$ erschließen, sondern muss nach obiger Gleichung zu ${\vec {F'}}$ die Trägheitskräfte addieren. Diese können je nach Art der Beschleunigung von K' verschieden sein und werden nicht durch die Wirkung andere Körper verursacht.
Newtonsche Mechanik im beschleunigten Bezugssystem: Auch in einem beschleunigten Bezugssystem lässt sich die Bahn ${\vec {r}}'(t)$ eines Körpers aus der newtonschen Grundgleichung ${\vec {F'}}=m\,d^{2}r'/dt^{2}$ ermitteln, indem man für ${\vec {F'}}$ diejenige effektive Kraft einsetzt, die sich nach obiger Gleichung aus der äußeren Kraft ${\vec {F}}$ und den Trägheitskräften ergibt:

${\vec {F'}}\,=\,{\vec {F}}\,-\,m\,{\vec {a}}_{\text{trans}}\,+\,{\vec {F}}_{\text{Zentrifugal}}\,+\,{\vec {F}}_{\text{Coriolis}}\,+\,{\vec {F}}_{\text{Euler}}$

Im Folgenden werden verschiedene Spezialfälle hiervon diskutiert:

Beschleunigte Translationsbewegung

Hier gilt ${\vec {\omega }}=0$ , so dass sich die Bewegungsgleichung vereinfacht zu:

$m\,{\vec {a}}\,'={\vec {F}}-m\,{\vec {a}}_{\text{trans}}$

Dies ist z.B. der Fall eines mit einem geradlinig bewegten Fahrzeug verbundenen Bezugssystems. Im einfachsten Fall ist ${\vec {F}}={\vec {0}}$ , etwa wenn das Gewicht des Körpers durch die Auflagefläche kompensiert wird. Es gilt dann ${\vec {a}}\,'=-{\vec {a}}_{\text{trans}}$ , d.h. die auf das Fahrzeug bezogene Beschleunigung ist genau entgegengesetzt zur Beschleunigung des Fahrzeugs. Beim Bremsen bewegt sich der Körper im Fahrzeug nach vorn, beim Anfahren nach hinten (z.B. Autofahren: „Kopfnicker“ beim ruckartigen Bremsen oder Anfahren).

Rotierendes Bezugssystem

Es soll ${\ddot {\vec {R}}}=0$ gelten, d.h. der Ursprung von K' bewegt sich nicht oder nur gleichförmig geradlinig gegenüber K:

$m{\vec {a}}\,'={\vec {F}}-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}\,'-m{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'\right)$

Bezugssystem an der Erdoberfläche

Die Winkelgeschwindigkeit der Erde ist konstant, d.h. ${\dot {\vec {\omega }}}={\vec {0}}$ . Hier rotiert ${\vec {R}}$ (= Vektor vom Erdmittelpunkt zum Ursprung von K' an der Erdoberfläche) mit derselben Winkelgeschwindigkeit wie K' :

$m{\vec {a}}\,'={\vec {F}}-m{\ddot {\vec {R}}}-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'-m{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'\right)$

Stellt man ${\vec {R}}$ bzgl. K' dar, so ergibt die zweite Zeitableitung ( ${\vec {R}}$ ist bzgl. K' konstant):

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}{\vec {R}}=\underbrace {\frac {\mathrm {d} '^{2}{\vec {R}}}{\mathrm {d} t^{2}}} _{=0}+2{\vec {\omega }}\times \underbrace {\frac {\mathrm {d} '{\vec {R}}}{\mathrm {d} t}} _{=0}+\underbrace {\frac {\mathrm {d} '{\vec {\omega }}}{\mathrm {d} t}} _{=0}\times {\vec {R}}+{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {R}}\right)={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {R}}\right)$

Somit ergibt sich die Bewegungsgleichung:

$m{\vec {a}}\,'={\vec {F}}-m{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {R}}\right)-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'-m{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'\right)$

Für Bewegungen, die in der Nähe der Erdoberfläche verlaufen, kann man den letzten Term vernachlässigen, da hier $|{\vec {r}}\,'|\ll |{\vec {R}}|$ gilt.

Setze als Kraft die Gewichtskraft ${\vec {F}}=m{\vec {g}}$ ein:

${\vec {a}}\,'=\underbrace {{\vec {g}}-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {R}}\right)} _{{\vec {g}}_{\text{eff}}}-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'-{\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\,'\right)$

Man fasst normalerweise die Gravitationsbeschleunigung ( ${\vec {g}}$ wirkt in radiale Richtung) und die Beschleunigung des Ursprungs des Bezugssystems ( $-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {R}})$ wirkt senkrecht zur Erdachse) zusammen zu einer effektiven Schwerebeschleunigung (die Richtung folgt aus der Vektorsummenbildung). Da die Zentrifugalbeschleunigung von der geographischen Breite abhängt (an den Polen Null und am Äquator maximal), ist die effektive Schwerebeschleunigung von der geographischen Breite abhängig; die Erdoberfläche ist näherungsweise eine Äquipotentialfläche der effektiven Schwerebeschleunigung, nämliche ein Ellipsoid, das im Vergleich zur Kugel an den Polen abgeplattet ist. ${\vec {g}}_{\text{eff}}$ bestimmt die Vertikale von der Erdoberfläche, die von der radialen Richtung etwas abweicht.

Man betrachte ein mitbewegtes Koordinatensystem K' auf der Erdoberfläche, das so ausgerichtet ist, dass ${\hat {e}}'_{x}$ in Richtung Osten, ${\hat {e}}'_{y}$ in Richtung Norden und ${\hat {e}}'_{z}$ zum Zenit zeigt. Die Winkelgeschwindigkeit der Erde lautet in K', wobei $\phi$ die geographische Breite ist,

${\vec {\omega }}=\Omega \sin \phi \,{\hat {e}}'_{z}+\Omega \cos \phi \,{\hat {e}}'_{y}=:\Omega _{\mathrm {v} }\,{\hat {e}}'_{z}+\Omega _{\mathrm {h} }\,{\hat {e}}'_{y}$

Somit lautet die Coriolisbeschleunigung

${\vec {a}}_{c}^{\,\prime }=-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}\,'=-2{\begin{pmatrix}0\\\Omega _{\mathrm {h} }\\\Omega _{v}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {x}}'\\{\dot {y}}'\\{\dot {z}}'\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}\Omega _{\mathrm {v} }{\dot {y}}'-\Omega _{\mathrm {h} }{\dot {z}}'\\-\Omega _{v}{\dot {x}}'\\\Omega _{\mathrm {h} }{\dot {x}}'\end{pmatrix}}$

Siehe auch

Orthogonaler Tensor

Anmerkungen

↑ Diese Wortwahl bedeutet nicht, dass es in der klassischen Mechanik so etwas wie "absolute Ruhe" oder "absolute Geschwindigkeit" gäbe. Siehe Relativitätsprinzip.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de