Feynman-Diagramm

Feynman-Diagramm eines Beitrags zur Elektron-Elektron-Streuung durch Austausch eines virtuellen Photons (Zeitachse von unten nach oben)

Feynman-Diagramme sind in der Teilchen- und Festkörperphysik standardmäßig verwendete bildliche Darstellungen quantenfeldtheoretischer Wechselwirkungen, die 1949 von Richard Feynman am Beispiel der Quantenelektrodynamik entwickelt wurden. Die Diagramme sind streng in mathematische Ausdrücke übersetzbar.

Bedeutung und Anwendung

Wechselwirkung zwischen Elektron, Positron und Photon (Zeitachse hier von links nach rechts)

Feynman-Diagramme sind eine abstrakte, graphische Repräsentation der Wechselwirkungen von Teilchen, die mathematisch durch Lagrange-Dichten ${\mathcal {L}}$ beschrieben werden. Beispielsweise wird die Interaktion zwischen Elektronen und Photonen durch die folgende Lagrange-Dichte beschrieben:

${\mathcal {L}}={\mathbf {\Psi ^{\dagger }}}{\mathbf {\gamma }}^{0}\left({\mathbf {i}}\,{\mathbf {\gamma }}^{\mu }\,{\mathbf {\partial }}_{\mu }-{\mathbf {e}}\,{\mathbf {\gamma }}^{\mu }\,{\mathbf {A}}_{\mu }+{\mathbf {m}}\right){\mathbf {\Psi }}-{\frac {1}{4}}({\mathbf {\partial }}_{{\nu }}{\mathbf {A}}_{{\mu }}-{\mathbf {\partial }}_{{\mu }}{\mathbf {A}}_{{\nu }})\,({\mathbf {\partial }}^{{\nu }}{\mathbf {A}}^{{\mu }}-{\mathbf {\partial }}^{{\mu }}{\mathbf {A}}^{{\nu }})$

Hierbei ist ${\mathbf {\Psi }}$ das dem Elektron (oder Positron) entsprechende Spinor-Feld als Spaltenvektor, ${\mathbf {\Psi ^{\dagger }}}$ das dazu komplex-konjugierte Feld als Zeilenvektor, ${\mathbf e}$ die elektrische Ladung, ${\mathbf {m}}$ die Masse des Elektrons, ${\mathbf {\gamma }}^{\mu }$ die Dirac-Matrizen und ${\mathbf A}_{\mu }$ das dem Photon entsprechende elektromagnetische Viererpotential. Die Ableitung ${\mathbf {\gamma }}^{\mu }\,{\mathbf {\partial }}_{\mu }$ ist die Ausbreitung der Teilchen in der Raumzeit, während der Ausdruck ${\mathbf {e}}\,{\mathbf {\gamma }}^{\mu }\,{\mathbf {A}}_{\mu }$ die elektrische Ladung des Elektrons mit dem Photon koppelt. Die Indizes $\mu$ und $\nu$ stellen die vier Dimensionen des Minkowski-Raums ( $\mu \in \{ct,x,y,z\}$ ) dar. Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention. Das Produkt aus den zwei Spinor-Feldern wird im Sinne der Matrizenmultiplikation berechnet, d.h. es entspricht einem Skalarprodukt, weil das links stehende Spinorfeld ein Zeilenvektor und das rechts stehende Spinorfeld ein Spaltenvektor ist.

Solche Ausdrücke sind im Allgemeinen sehr kompliziert, lassen sich jedoch eindeutig in entsprechende Feynman-Diagramme übersetzen, die eine vereinfachte und anschauliche Darstellung bieten. Eine einfache Berechnung der mathematischen Ausdrücke erlauben Feynman-Diagramme jedoch nicht. Hierzu muss auf die mathematischen Formeln zurückgegriffen werden.

Üblicherweise werden Feynman-Diagramme dazu verwendet, die Berechnung von Streuprozessen in relativistischen Quantenfeldtheorien, z.B. in der Quantenelektrodynamik oder der Quantenchromodynamik, zu organisieren. Hierzu lässt sich die Gesamtamplitude eines Streuvorgangs als Summe aller gültigen Feynman-Diagramme in einer nach der Kopplungskonstanten entwickelten Potenzreihe aufschlüsseln. Anschließend können die einzelnen beitragenden Amplituden berechnet werden.

Zudem werden Feynman-Diagramme in der nichtrelativistischen Festkörperphysik, speziell in der Vielteilchenphysik und der Statistischen Physik, benutzt.

Aufbau

Feynman-Diagramme setzen sich aus grundlegenden Symbolen zusammen, die jeweils bestimmte Arten von Elementarteilchen abbilden. Fermionen (Materieteilchen) werden nach der üblichen Konvention mittels durchgezogener Linien mit Pfeil repräsentiert. Häufig wird das Antiteilchen als ein sich gegen die Zeit bewegendes Teilchen bezeichnet. Die Pfeilrichtung zeigt daher an, ob es sich um ein Teilchen (in Zeitrichtung) oder ein Antiteilchen (gegen die Zeitrichtung) handelt. Für die Beschriftung der Linien der Teilchen und Antiteilchen gibt es verschiedene Konventionen. Meist wird das genaue Symbol des Teilchens geschrieben. Manche Autoren verwenden aber eine kürzere und allgemeinere Schreibweise, die sowohl das Teilchen als auch das Antiteilchen bezeichnen kann (z.B. anstelle von $e^{+}$ und $e^{-}$ ), da die Information, ob es sich um ein Teilchen oder ein Antiteilchen handelt, bereits in der Pfeilrichtung steckt. Die Richtung der Zeitachse wird manchmal von unten nach oben, manchmal von links nach rechts gewählt.

Die Eichbosonen, welche die Interaktion von Teilchen vermitteln, werden je nach Wechselwirkung üblicherweise durch wellen- bzw. spiralförmige Linien repräsentiert, skalare Teilchen typischerweise durch gestrichelte Linien. Abweichungen von diesen Konventionen kommen vor, beispielsweise können W-Bosonen als gestrichelte Linien symbolisiert werden.

Die Zeit wird im Folgenden von links nach rechts dargestellt.

Symbol	Bedeutung
	Fermion
	Antifermion
	Eichbosonen der elektroschwachen Wechselwirkung
	Gluon g (Eichboson der starken Wechselwirkung)
	Higgs-Boson (oder allgemein skalare Bosonen, seltener auch für Vektorbosonen)
	Terminator (z.B. Interaktion des Higgs-Bosons mit einem Kondensat)

Zusätzlich können Beschriftungen verwendet werden, um zu definieren, welches Elementarteilchen gemeint ist.

Leptonen
Symbol	Bedeutung
	Elektron
	Positron
	Myon
	Neutrino

Bosonen
Symbol	Bedeutung
	Photon
	Z-Boson
	W⁺-Boson
	W⁻-Boson

Feynman-Diagramme haben äußere Linien, die in Wechselwirkungspunkte ein- oder auslaufen, und innere Linien, die Paare von Wechselwirkungspunkten verbinden. Den äußeren Linien entsprechen ein- und auslaufende Teilchen. Die Wechselwirkungspunkte, an denen die Linien zusammentreffen, heißen auch Vertices. An einem Vertex können Teilchen erzeugt, vernichtet oder gestreut werden.

Unter Festhalten der Zeit (von links nach rechts verlaufend) führt die Drehung um einen Vertex zu unterschiedlichen Interpretationen:

Konfluenz- und Splitting-Prozesse
Annihilation eines Elektrons und Positrons zu einem Photon
Emission eines Photons durch ein Elektron
Absorption eines Photons durch ein Positron
Paarbildung eines Elektrons und Positrons durch ein Photon

Hierbei gilt zu beachten, dass ein Feynman-Diagramm nur aus über Teilchen zusammenhängenden Vertices besteht.

Propagatoren

Die inneren Linien nennt man Propagatoren und deutet sie als virtuelle Teilchen. Virtuelle Teilchen können nicht beobachtet werden. Aufgrund dessen ergibt sich eine Mehrdeutigkeit. Alle Diagramme mit den gleichen ein- und auslaufenden Linien sind äquivalent und werden summiert.

Beispiele

Bhabha-Streuung

Zur Berechnung der Streuung eines Fermions und Antifermions – der Bhabha-Streuung – betrachtet man Feynman-Diagramme mit einem einlaufenden und einem auslaufenden Elektron-Positron-Paar.

Die Bilder zeigen die Streuung in niedrigster Ordnung (tree-level). Die vier äußeren Linien stehen für die ein- und auslaufenden Elektronen und Positronen, die innere Wellenlinie für das virtuelle Photon, das die elektromagnetische Wechselwirkung bewirkt.

Ein Fermion und Antifermion (z.;B. Elektron und Positron) mit einem vermittelnden virtuellen Eichboson (z.B. Photon)
Ein äquivalentes Diagramm zur Bhabha-Streuung mit einem anderen Propagator.

Jedem dieser Diagramme entspricht ein Beitrag zur Streuung, der gesamte Streuvorgang wird durch die Summe aller Diagramme dargestellt.

Compton-Effekt

Als weiteres Beispiel sei hier der Compton-Effekt in der niedrigsten Ordnung aufgeführt. Auch hier werden die möglichen Diagramme summiert.

Compton-Effekt =

Die Berechnung dieser Streuung und allgemeiner die Feynman-Regeln für die mathematischen Ausdrücke, die den Linien und Vertices entsprechen, finden sich in vielen Lehrbüchern der Teilchenphysik.

Schleifen

Neben den tree-level-Diagrammen, benannt nach ihrer baumartigen Struktur, sind zur exakten Berechnung auch die sogenannten Loop-Diagramme höherer Ordnung von Bedeutung.

$A_{0}^{0}$ keine Schleife
(tree-level)
$A_{1}^{0}$ eine Schleife
(1-loop)
$A_{2}^{0}$ zwei Schleifen
(2-loop)
$A_{2}^{1}$ zwei Schleifen
(2-loop)

Die möglichen Feynman-Diagramme lassen sich nach der Zahl der inneren Schleifen ordnen, die als Loop-Ordnung bezeichnet wird, und im Zuge einer Reihenentwicklung aufsummieren:

$P=\sum _{{n=0}}^{\infty }\left(\sum _{\nu }A_{n}^{\nu }\right)\alpha ^{n}=A_{0}^{0}\,\alpha ^{0}+A_{1}^{0}\,\alpha ^{1}+(A_{2}^{0}+A_{2}^{1})\,\alpha ^{2}+\ldots$ .

Es sind dabei beliebig viele Diagramme denkbar. Jedoch sind Beiträge höherer Ordnung mit der entsprechenden Potenz der Kopplungskonstanten $\alpha$ unterdrückt. Mit ausreichend hoher Ordnung werden die Beiträge dann gemäß der Arbeitshypothese der Störungstheorie numerisch vernachlässigbar, da sie sich kaum auf das Ergebnis auswirken.

Feynman-Regeln

Die Feynman-Regeln beschreiben, welche Wechselwirkungen möglich sind und welche nicht.

Photonen

Photonen wechselwirken mit allen elektrisch geladenen Elementarteilchen. Abbildungen für Elektronen und Myonen:

Wechselwirkung zwischen Elektron, Positron und Photon
Wechselwirkung zwischen Myonen und Photon

Z-Bosonen

Das Z-Boson wechselwirkt zwischen allen anderen Elementarteilchen des Standardmodells außer Gluonen, mit Photonen allerdings nur zugleich mit W-Bosonen. Insbesondere Neutrinos ( $\nu _{1}$ , $\nu _{2}$ und $\nu _{3}$ ) wechselwirken nicht mit Photonen; daher ist man für deren Erzeugung und Nachweis auf Z-Bosonen und W-Bosonen angewiesen.

Wechselwirkung zwischen Z-Boson und Neutrinos
Wechselwirkung zwischen Elektron, Positron und Z-Boson
Wechselwirkung zwischen Myon, Anti-Myon und Z-Boson

W-Bosonen

Das W-Boson vermittelt einerseits zwischen Neutrinos und den geladenen Leptonen l (Elektronen, Myonen und Tauonen) und andererseits zwischen Up-Typ-Quarks und Down-Typ-Quarks. Das W-Boson ist dabei der Träger einer positiven (W⁺) oder negativen (W⁻) elektrischen Ladung. Aufgrund der elektrischen Ladung unterliegt das W-Boson der Wechselwirkung mit dem Photon; außerdem wechselwirkt es mit dem Z-Boson sowie anderen W-Bosonen.

Wechselwirkung zwischen negativ geladenem Lepton, Neutrino und W-Boson
Wechselwirkung zwischen Neutrino, positiv geladenem Lepton und W-Boson
Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlich geladenen W-Bosonen. Zeitachse läuft von oben nach unten
Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlich geladenen W-Bosonen und zwei Photonen. Zeitachse läuft von oben nach unten
Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlich geladenen W-Bosonen und zwei Z-Bosonen. Zeitachse läuft von oben nach unten
Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlich geladenen W-Bosonen, einem Z-Boson und einem Photon. Zeitachse läuft von oben nach unten

W-Bosonen sind vor allem deshalb interessant, da sie einen Wechsel des Flavour erlauben. Das bedeutet, dass sich die Anzahl der Elektronen, Neutrinos, etc. verändern kann. Diese Eigenschaft spielt etwa im β-Zerfall eine wichtige Rolle.

β⁻-Zerfall eines Neutrons
${\mathrm {n}}\to {\mathrm {p}}+{\mathrm {e}}^{-}+\overline {\nu }_{e}$

β⁺-Zerfall eines Protons
${\mathrm {p}}\to {\mathrm {n}}+{\mathrm {e}}^{+}+\nu _{e}$

Gluonen

Bildhafte Darstellung der Neutralisierung der Farbladung durch Mischung von Rot, Grün und Blau, bzw. der Farben mit den zugehörigen Antifarben

Gluonen vermitteln die starke Wechselwirkung zwischen Quarks.

Quarks besitzen eine Farbladung. Im Gegensatz zur elektrischen Ladung, welche aus den Ladungen „positiv“ (+) und „negativ“ (-) besteht, besteht die Farbladung aus den Ladungen „Rot“, „Grün“ und „Blau“ sowie die Antifarbladungen „Anti-Rot“ („Cyan“), „Anti-Grün“ („Magenta“) und „Anti-Blau“ („Gelb“). Um die Farbladung zu neutralisieren müssen wahlweise Quarks mit den Farbladungen {Rot,Grün,Blau}, {Cyan,Magenta,Gelb}, {Rot,Cyan}, {Grün,Magenta} oder {Blau,Gelb} über Gluonen verbunden werden.

Teilchen mit drei Quarks werden hierbei als Baryonen (hierzu gehören z.B. die Protonen und die Neutronen) bezeichnet. Teilchen aus zwei Quarks werden als Mesonen bezeichnet. Freie Quarks werden sofort durch Gluonen mit der Starken Kraft zu Baryonen oder Mesonen verbunden.

Gluonen werden mathematisch durch Adjunktion zur Speziellen unitären Gruppe SU(3) als spurfreie hermitesche 3×3-Matrizen dargestellt. Es gibt somit acht (3²-1) verschiedene Gluonen.

Gluonen tragen jeweils zwei Farbladungen. Dadurch unterliegen sie selbst der Starken Wechselwirkung und können sich somit mit sich selbst verbinden. Theoretisch lassen sich so auch Gluon-Bälle erzeugen, welche nur aus Gluonen und ohne Quarks auskommen. Jedoch konnten diese bisher nicht nachgewiesen werden.

Higgs-Bosonen

Das Higgs-Boson wechselwirkt mit allen massiven Elementarteilchen, also auch mit sich selbst (Selbstwechselwirkung). Lediglich mit Photonen und Gluonen gibt es keine Wechselwirkung. Nach dem Standardmodell der Teilchenphysik erhalten Elementarteilchen erst durch diese Wechselwirkung ihre Masse (siehe Higgs-Mechanismus).

Typen von Feynman-Diagrammen

Zusammenhängende Diagramme

Ist jeder Vertex über innere Linien und andere Vertices mit jedem anderen Vertex verbunden, so bezeichnet man das Diagramm als zusammenhängend, anderenfalls als unzusammenhängend. Bei jedem zusammenhängenden Teil des Diagramms ist die Summe der Energien, Impulse und Ladungen der einlaufenden Teilchen gleich der Summe der Energien, Impulse und Ladungen der auslaufenden Teilchen.

Ein-Teilchen-irreduzible Diagramme

Kann ein zusammenhängendes Diagramm nicht durch Zerschneiden einer inneren Linie in zwei unzusammenhängende Diagramme geteilt werden, so heißt es Ein-Teilchen-irreduzibel. Bei solchen Diagrammen treten Integrationen auf, die man nicht systematisch als Produkt einfacherer Integrale vereinfachen kann.

Amputierte Diagramme

Lässt man bei einem Diagramm Korrekturen (Selbstenergien, s.u.) zu den äußeren Linien weg, so bezeichnet man es als amputiert.

Selbstenergie-Diagramme

Ein Diagramm mit einem Loop und mit äußeren Linien an nur zwei Vertices heißt (nach Amputation) Selbstenergiediagramm. Sein Wert hängt nur von der Energie und dem Impuls ab, der durch äußere Linien an dem einen Vertex hinein- und an dem anderen hinaus fließt.

Skelett-Diagramme

Ein Diagramm ohne ein Selbstenergie-Unterdiagramm bezeichnet man als Skelett-Diagramm.

Festkörperphysikalische Analogie

Die gebräuchliche Übertragung auf die Festkörperphysik erhält man, indem man von der geschweift dargestellten Photonlinie, also von den Quanten der elektromagnetischen Wellen, zu den sog. Phononen übergeht, also zu den Quanten der Schallwellen, und indem man das rückwärts laufende Elektron nicht als Positron im Sinne der Quantenelektrodynamik, sondern als Defektelektron im Sinne der Festköpertheorie interpretiert. Man erhält auf diese Weise u.a. die wesentlichen Diagramme für das Zustandekommen der Supraleitung und allgemein für Konfluenz- und Splitting-Prozesse durch Vernichtung bzw. Erzeugung einer elementaren fermionischen Anregung (z.B. eines (negativ geladenen) Elektrons bzw. eines (positiv geladenen) Defektelektrons bzw. eines Polarons) zusammen mit einem einlaufenden (oder auslaufenden) bosonischen Quasiteilchens, z.B. des schon erwähnten Phonons oder eines sog. Magnons (quantisierte Spinwellen) oder eines Plasmons (einer quantisierten Plasmaschwingung).

Bei allen Wechselwirkungsprozessen unter Beteiligung der erwähnten Anregungen ist die Summe der Energien (Frequenzen mal $\hbar$ ) bzw. der Impulse (Wellenzahlen mal $\hbar$ ) erhalten, sodass also den dargestellten Diagrammen wohldefinierte mathematische Ausdrücke für die Amplituden der Wechselwirkung entsprechen

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de