Eins

Eins
1
Darstellung
Morsecode	· – – – –
Römisch	000001I
Dual	1
Oktal	1
Dezimal	1
Duodezimal	1
Hexadezimal	1
Mathematische Eigenschaften
Vorzeichen	positiv
Parität	ungerade
Teiler	1
Faktorisierung	1 (keine Primzahl, sondern leeres Produkt)

Die Eins (1) ist die Natürliche Zahl zwischen Null und Zwei. Sie ist ungerade, eine Quadrat- und eine Kubikzahl.

Mathematische Eigenschaften

Die Zahl 1 ist keine Primzahl, aber Teiler jeder natürlichen Zahl. Sie wird oft als die kleinste natürliche Zahl genommen (manche Autoren zählen jedoch die natürlichen Zahlen von null an). Ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, das definitionsgemäß den Wert 1 hat. Die 1 wird häufig als eine der fünf wichtigsten Konstanten der Analysis bezeichnet (neben 0, π, e und i). Die eulersche Identität

${\begin{matrix}e^{{{\mathrm {i}}\,\pi }}+1=0\end{matrix}}$

stellt einen einfachen Zusammenhang zwischen diesen mathematischen Konstanten her.

Die 1 wird auch in anderen Bedeutungen in der Mathematik verwendet, wie als neutrales Element bei der Multiplikation in einem Ring, genannt Einselement. In diesen Systemen können andere Rechenregeln gelten, sodass 1+1 verschiedene Bedeutungen hat und verschiedene Resultate ergeben kann. Mit 1 werden in der linearen Algebra auch Einsvektoren und Einsmatrizen, deren Elemente alle gleich dem Einselement sind, und die identische Abbildung bezeichnet.

Die Zahl 1 ist eine Størmer-Zahl.

Bedeutung in der Informatik

In der Informatik ist die Eins sehr wichtig, da sie zusammen mit der Null ein Teil des Dualsystems (Binärsystem) ist. Sie steht in der Maschinensprache für „an“ (on) und ist in Programmiersprachen als Datentyp boolesche Variable wiederzufinden (1 = wahr = true, 0 = falsch = false).

In der Datenmodellierung (speziell im Entity-Relationship-Modell), in der Beziehungen und Häufigkeiten von Entitäten zueinander geklärt und beschrieben werden, spielt die Zu-1-Beziehung eine wichtige Rolle, da sie die Eindeutigkeit einer Zuordnung festlegt. Beispielsweise steht die Entität „Kfz“ zur Entität „Besitzer“ in einer N-zu-1-Beziehung: Ein Besitzer kann mehrere Kfz haben, aber jedes Kfz muss genau einen Besitzer haben.

Schreibweisen

Das Symbol 1

Das Symbol 1 wird als Ziffer des Stellenwertsystems verwendet. Steht die Ziffer 1 allein, so bedeutet sie nach üblicher Interpretation die „Zahl eins“. Insbesondere ist die 1 die größte Ziffer im Dualsystem.

In Deutschland wird die Ziffer 1 handschriftlich vorwiegend in zwei Zügen gezeichnet: ein senkrechter Strich und ein kleinerer Schrägstrich. In anderen Ländern wie England hingegen wird nur ein senkrechter Strich gezeichnet. Die deutsche Schreibweise mit zwei Strichen wird in England daher oft fälschlicherweise als 7 gelesen. Beim Schreiben von römischen Zahlen und oft auch Binärzahlen wird die 1 auch in Deutschland als alleinstehender Strich gezeichnet.

Periodischer Dezimalbruch

Die Zahl eins besitzt neben der üblichen Schreibung als 1 eine periodische Dezimalbruchdarstellung als $0{,}{\bar 9}=0{,}999\ldots$ .

Diese Aussage lässt sich auf verschiedene Arten beweisen:

Zurückführung auf einen bekannten unendlichen Dezimalbruch

${\frac {1}{3}}=0{,}333\ldots$

$3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots$

$1=0{,}999\ldots$

Dieser Beweis ist weit verbreitet – es ist aber zu bedenken:

Die erste Zeile wird hier vorausgesetzt, wäre aber eigentlich mit ähnlichen Mitteln zu beweisen wie die Aussage selbst.
Der Übergang von der zweiten zur dritten Zeile verwendet auf der rechten Seite eine Eigenschaft von Grenzwerten, nämlich, dass die Multiplikation mit einer Konstanten (hier 3) mit der Grenzwertbildung vertauschbar ist.

Anordnung der reellen Zahlen

Die Gleichheit ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass zwei reelle Zahlen x und y nur dann verschieden sind, wenn es eine reelle Zahl z gibt, die zwischen ihnen liegt, für die also x < z < y oder y < z < x gilt. Die Existenz einer solchen Zahl z ist in diesem Fall nach Definition der Dezimalbruchentwicklung nicht möglich. Bei dieser Argumentation wird verwendet, dass jede reelle Zahl eine Dezimalbruchentwicklung besitzt. Eine Tatsache, die es natürlich vorher schon zu beweisen wäre.

Grenzwert einer Zahlenfolge

$0{,}999\ldots$ ist der Grenzwert der Zahlenfolge $0{,}9\ \ 0{,}99\ \ 0{,}999\ \ 0{,}9999\ \ \ldots$
Das allgemeine Glied $a_{n}$ dieser Folge ist $a_{n}=0{,}\underbrace {99\ldots 9}_{{n}}$ . Die Differenz zwischen und $a_{n}$ ist ${\frac {1}{10^{n}}}$ . Für jedes noch so kleine $\varepsilon >0$ findet man ein n mit ${\frac {1}{10^{m}}}<\varepsilon$ für alle m>n . Also gilt nach Definition des Grenzwerts $0{,}999\ldots =1$ .

Geometrische Reihe

Für die periodische Dezimalbruchdarstellung $0{,}\overline {9}$ gilt

$0{,}\overline {9}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{10^{n}}}$ .

Dies ist eine unendliche geometrische Reihe der Form $\sum _{{i=0}}^{{\infty }}a\cdot q^{{i}}$ . Solche Reihen sind für $|q|<1\;$ konvergent und haben den Wert $a\cdot {\frac {1}{1-q}}$ . Mit $a={\frac {9}{10}}$ und $q={\frac {1}{10}}<1$ ergibt sich der Summenwert als ${\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{10}}\cdot {\frac {1}{{\frac 9{10}}}}=1$ .

Andere Stellenwertsysteme

In anderen Stellenwertsystemen tritt an die Stelle der Ziffer 9 die höchste Ziffer des jeweiligen Systems. Im Binärsystem ist also 1 gleich $0{,}111\ldots$ , im Hexadezimalsystem gleich 0,FFF…, entsprechend in anderen Systemen.

Andere Zahlschriften

Die römische Zahl für eins ist I. In der hebräischen Schrift hat der Buchstabe Aleph (א) den Zahlenwert der Eins, in der arabischen Schrift dessen Äquivalent, dasAlif (ا). Das arabische Schriftzeichen für die Eins ist ١; in Bengalî wird die Zahl ebenfalls ۱ geschrieben, in Devanagari १, in Malayalam ൧ und in chinesisch 一, im Armenischen steht der Buchstabe Ա für 1.

Sonstige Bedeutungen

Die Eins wird in vielen Ländern als Schulnote verwendet und steht unter anderem in Deutschland und Österreich für „sehr gut“, bezeichnet in der Schweiz jedoch die schlechteste Note.
In der Zahlensymbolik wird die 1 als Symbol für alles, den Anfang oder Gott verwendet.
Das Schᵉma Jisroel ist der älteste Ausdruck jüdischen Selbstverständnisses und beinhaltet die Einheit und Einsheit Gottes (adonai echad = Adonai (ist) Eins). Der Schma-Ausdruck umfasst die monotheistische Essenz des Judentums und den Zentralkontext der Tora, in welchen die Kernbotschaft der Nächstenliebe gebettet ist:

שְׁמַע יִשְׂרָאֵל יְהוָה אֱלֹהֵינוּ יְהוָה אֶחָד (schəma jisrael adonai elohenu adonai echad)

„Höre Israel! Adonai (ist) unser Gott; Adonai (ist) Eins“ (Dtn 6,4; siehe Talmud Sukkot 42a und Berachot 13b).

Sprachliches

Wörter, die eine Einzigkeit ausdrücken, beginnen häufig mit der griechischen Vorsilbe mono, etwa Monokel oder Monografie, oder sind aus dem lateinischen singularis oder solus abgeleitet, wie Singular oder Solo.
Wörter, die eine Einheitlichkeit ausdrücken, sind häufig aus dem lateinischen unus abgeleitet: Union oder Uniform. Auch Wörter die Einzigartigkeit darstellen, wie Unikat, unifarben sind vom lateinischen unus abgeleitet.
Wird auf die Rang- oder Abfolge Bezug genommen, so wird der lateinische Stamm prim- verwendet, etwa bei Primus oder Primzahl.

Siehe auch

Basierend auf einem Artikel in:

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