Spektrum (Topologie)

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt.

Definition

Ein Spektrum ist eine Folge punktierter Räume $E_{n}$ mit punktierten stetigen Abbildungen

$\sigma _{n}\colon SE_{n}\to E_{n+1}$ .

Hierbei bezeichnet $SE_{n}$ die reduzierte Einhängung von $E_{n}$ .

Weil die reduzierte Einhängung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist, entspricht $\sigma_n$ einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung $E_{n}\to \Omega E_{n+1}$ . Ein Spektrum ist ein $\Omega$ -Spektrum, wenn die Abbildungen $E_{n}\to \Omega E_{n+1}$ Homöomorphismen sind.

Man findet in der Literatur auch andere Definitionen. Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Präspektrum und die $\Omega$ -Spektren dann als Spektrum bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Präspektrum $E_{n}$ durch $\operatorname {colim} _{k\to \infty }\Omega ^{k}E_{n+k}$ ein Spektrum zuordnen, seine Spektrifizierung.

Ein Morphismus zwischen Spektren $(E_{n},\sigma _{n})$ und $(E_{n}^{\prime },\sigma _{n}^{\prime })$ ist eine Familie stetiger Abbildungen $f_{n}\colon E_{n}\to E_{n}^{\prime }$ mit $f_{n+1}\circ \sigma _{n}=\sigma _{n}^{\prime }\circ Sf_{n}$ für alle .

Beispiele

Einhängungsspektren: Für einen topologischen Raum bildet $E_{n}:=S^{n}X$ mit den kanonischen Homöomorphismen $\sigma _{n}\colon SE_{n}\to E_{n+1}$ ein Spektrum. Es wird als Einhängungsspektrum $\Sigma ^{\infty }X$ des Raumes bezeichnet. Allgemeiner werden Spektren der Form $\Sigma ^{k}\Sigma ^{\infty }X$ mit $k\in \mathbb {Z}$ als Einhängungsspektren bezeichnet, wobei für ein Spektrum $E=(E_{n},\sigma _{n})$ mit $\Sigma ^{k}E$ das Spektrum $(E_{n+k},\sigma _{n+k})$ gemeint ist.
Sphärenspektrum: Das Einhängungsspektrum der $0$ -dimensionalen Sphäre heißt Sphärenspektrum und wird mit $\mathbf{S}$ bezeichnet. In diesem Fall ist also $E_{n}=S^{n}$ und $\sigma _{n}\colon SS^{n}\to S^{n+1}$ der kanonische Homöomorphismus.
Eilenberg-MacLane-Spektrum: Für eine abelsche Gruppe bilden die Eilenberg-MacLane-Räume ein Spektrum mit $E_{n}=K(G,n)$ und $\sigma _{n}\colon SK(G,n)\to K(G,n+1)$ der durch den Satz von Whitehead gegebenen Homotopieäquivalenz. Dieses Spektrum wird auch mit $HG$ bezeichnet.
Thom-Spektrum: Die Thom-Räume $Th(\tau _{n})$ der universellen Vektorbündel $\tau _{n}\to BO(n)$ über den Graßmann-Mannigfaltigkeiten $BO(n)$ bilden ein Spektrum $MO(n)$ . Die Strukturabbildung ist in diesem Fall die von der klassifizierenden Abbildung $BO(n)\to BO(n+1)$ des Vektorbündels $(\tau _{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }})\to BO(n)$ induzierte Abbildung $\sigma _{n}:SMO(n)=STh(\tau _{n})=Th(\tau _{n}\oplus {\underline {\mathbb {R} }})\to Th(\tau _{n+1})=MO(n+1).$
Topologisches K-Theorie-Spektrum: Dieses Spektrum ist definiert durch $E_{2n}=U,E_{2n+1}=\mathbb {Z} \times BU$ für alle $n\in \mathbb {N}$ , wobei die aufsteigende Vereinigung der unitären Gruppen und ihr klassifizierender Raum ist.
$\Omega$ -Spektren: Sei ein unendlicher Schleifenraum, dann definiert $E_{n}=\Omega ^{-n}X$ ein $\Omega$ -Spektrum.
Algebraisches K-Theorie-Spektrum: Für einen kommutativen Ring mit Eins ist $X=BGL^{+}(R)$ , die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum von $GL(R)$ , ein unendlicher Schleifenraum und definiert deshalb ein $\Omega$ -Spektrum.

Homotopiegruppen von Spektren

Die k-te Homotopiegruppe eines Spektrums ist definiert durch

$\pi _{k}(E):=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\pi _{n+k}E_{n}$ .

Die Homotopiegruppen eines Einhängungsspektrums $E_{n}=S^{n}X$ werden als stabile Homotopiegruppen von bezeichnet:

$\pi _{k}^{s}(X):=\pi _{k}(\Sigma ^{\infty }X)$ .

Für $\Omega$ -Spektren gilt bereits $\pi _{k}(E)=\pi _{k}(E_{0})$ .

Beispiele

Die stabilen Homotopiegruppen der Sphären sind die Homotopiegruppen des Sphärenspektrums $\mathbf{S}$ .
Die algebraische K-Theorie $K_{i}(R)$ eines kommutativen Ringes mit Eins erhält man für $i\ge1$ per Definition als Homotopiegruppen des algebraischen K-Theorie-Spektrums.
Die Kobordismusgruppe unorientierter -Mannigfaltigkeiten ist isomorph zur -ten Homotopiegruppe des Thom-Spektrums.

Äquivalenzen

Für Morphismen von Spektren gilt das folgende Analogon zum Satz von Whitehead:

Ein Morphismus von Spektren induziert genau dann einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen, wenn der induzierte Morphismus in der Homotopie-Kategorie der Spektren ein Isomorphismus ist. Solche Abbildungen heißen Äquivalenzen.

Verallgemeinerte Homologietheorien

Ein Spektrum definiert eine (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie durch

${\tilde {E}}_{k}(X):=\left[\Sigma ^{k}\mathbf {S} ,E\wedge X\right]$ ,

wobei $E\wedge X$ das mit Hilfe des Smash-Produktes durch $(E\wedge X)_{n}:=E_{n}\wedge X$ definierte Spektrum bezeichnet.

Insbesondere ist ${\tilde {E}}_{k}(S^{0})=\pi _{k}(E)$ .

Beispiel

$MO_{k}(X)$ ist isomorph zur Kobordismusgruppe singulärer -Mannigfaltigkeiten in .

Verallgemeinerte Kohomologietheorien

Jedes Spektrum definiert eine verallgemeinerte (reduzierte) Kohomologietheorie durch

${\widetilde {E}}^{k}(X):=\operatorname {colim} _{n\to \infty }\left[S^{n}X,E_{n+k}\right]$

für topologische Räume , wobei $\left[.,.\right]$ die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet. (Man sagt, die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt.)

Die zugehörige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit $E^{*}(X)$ bezeichnet.

Beispiele

Das Eilenberg-MacLane-Spektrum K(G,n) definiert die singuläre Kohomologie $H^{*}(X;G)$ , das topologische K-Theorie-Spektrum definiert topologische K-Theorie.

Berechnung

Verallgemeinerte Kohomologiegruppen E^* eines Raumes können oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden. Diese ist eine gegen $E^{*}(X)$ konvergierende Spektralsequenz mit $E_{2}$ -Term

$E_{2}^{pq}=H^{p}(X;E^{q}(X))$ ,

wobei $H^{*}(.;E^{q}(X))$ singuläre Kohomologie mit Koeffizienten-Gruppe $E^{q}(X)$ bezeichnet.

Brownscher Darstellbarkeitssatz

Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt, dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein $\Omega$ -Spektrum darstellen lässt.

Smash-Produkt

Für ein Spektrum $E=(E_{n},\sigma _{n})$ und einen Raum definiert man das Spektrum $E\wedge X$ durch $(E\wedge X)_{n}:=E_{n}\wedge X$ und die Strukturabbildungen $\Sigma _{n}\wedge id_{X}$ .

Es gibt eine auf Adams zurückgehende Konstruktion, die zwei Spektren und ein Smash-Produkt $E\wedge F$ zuordnet, welches die folgenden Eigenschaften hat:

Das Smash-Produkt ist ein kovarianter Funktor beider Argumente.
Es gibt natürliche Äquivalenzen $\alpha \colon (E\wedge F)\wedge G\to E\wedge (F\wedge G),\tau \colon E\wedge F\to F\wedge E,l\colon \mathbf {S} \wedge E\to E,r\colon E\wedge \mathbf {S} \to E,\Sigma \colon \Sigma E\wedge F\to \Sigma (E\wedge F)$ .
Für jedes Spektrum und jeden CW-Komplex gibt es eine natürliche Äquivalenz $e\colon E\wedge X\to E\wedge \Sigma ^{\infty }X$ . Insbesondere $\Sigma ^{\infty }(X\wedge Y)\simeq \Sigma ^{\infty }X\wedge \Sigma ^{\infty }Y$ für alle CW-Komplexe .
Wenn $f\colon E\to F$ eine Äquivalenz ist, dann auch $f\wedge id_{G}\colon E\wedge G\to F\wedge G$ .
Für eine Familie $\left\{E_{\Lambda }\right\}$ von Spektra ist $\left\{i_{\Lambda }\wedge id_{F}\right\}\colon \vee _{\Lambda }(E_{\Lambda }\wedge F)\to (\vee _{\Lambda }(E_{\Lambda }))\wedge F$ eine Äquivalenz.
Wenn $A\to B\to C$ eine Kofaserung von Spektra ist, dann auch $A\wedge E\to B\wedge E\to C\wedge E$ .

Ringspektren

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum mit einem Smash-Produkt $\wedge$ und mit Morphismen

$\mu \colon R\wedge R\to R,\epsilon \colon \mathbf {S} \to R,$

$\alpha \colon R\wedge (R\wedge R)\to (R\wedge R)\wedge R,\lambda \colon \mathbf {S} \wedge R\to R,\rho \colon R\wedge \mathbf {S} \to R$ ,

die den Bedingungen

$\mu \circ (\mu \wedge id)\circ \alpha =\mu \circ (id\wedge \mu )\colon R\wedge (R\wedge R)\to R$

$\mu \circ (\epsilon \wedge id)=\lambda \colon \mathbf {S} \wedge R\to R,\mu \circ (id\wedge \epsilon )=\rho \colon R\wedge \mathbf {S} \to R$

genügen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de