Überlebensfunktion

Eine Überlebensfunktion ist eine spezielle reelle Funktion in der Stochastik, die eine Ergänzung zum Konzept der Verteilungsfunktion darstellt. Wie auch bei Verteilungsfunktionen kann jeder Überlebensfunktion eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet werden. Umgekehrt kann jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den reellen Zahlen eine Überlebensfunktion zugeordnet werden.

Ihren Namen tragen die Überlebensfunktionen aufgrund der Tatsache, dass sie bei der Modellierung von Lebensdauern auftreten, beispielsweise von Individuen oder von Bauteilen. Gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Sterbewahrscheinlichkeit einer Spezies an, so entspricht die Überlebensfunktion an der Stelle der Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum älter als wird. Es "überlebt" also den Zeitpunkt . Eine übliche graphische Darstellung ist die Überlebenskurve.

Definition

Gegeben sei eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $\mathbb {R}$ , versehen mit der Borelschen σ-Algebra ${\mathcal B}(\mathbb{R} )$ , oder eine reellwertige Zufallsvariable . Dann heißt

$G_{P}(t):=P((t,+\infty ))$

beziehungsweise

$G_{X}(t):=P(X>t)$

die Überlebensfunktion von beziehungsweise .

Eigenschaften

Ähnlich wie bei den Verteilungsfunktionen gilt:

Es ist $\lim _{t\to -\infty }G(t)=1$ und $\lim _{t\to +\infty }G(t)=0$
Die Funktion ist monoton fallend
Die Funktion ist rechtsseitig stetig

Beziehung zur Verteilungsfunktion

Ist $F_{P}$ die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung und $G_{P}$ die Überlebensfunktion von , so gilt

$F_{P}(t)+G_{P}(t)=1$ für alle $t\in \mathbb{R}$ .

Ebenso gilt für eine Zufallsvariable

$F_{X}(t)+G_{X}(t)=1$ für alle $t\in \mathbb{R}$ .

Dies folgt direkt aus den Definitionen der jeweiligen Funktionen und der Normiertheit der Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Denn die Verteilungsfunktion ist genau die Wahrscheinlichkeit, einen Wert kleinergleich anzunehmen, die Überlebensfunktion die Wahrscheinlichkeit, einen Wert echt größer als anzunehmen. Somit ist ihre Summe die Wahrscheinlichkeit, irgendeinen Wert anzunehmen und damit eins.

Damit kann aus jeder Überlebensfunktion eine Verteilungsfunktion gewonnen werden. Ebenso kann aus jeder Verteilungsfunktion eine Überlebensfunktion gewonnen werden. Insbesondere lässt sich damit analog zum Vorgehen bei Verteilungsfunktionen jeder Funktion, welche die drei unter "Eigenschaften" aufgezählten Punkte erfüllt, zur Überlebensfunktion einer eindeutig bestimmten Wahrscheinlichkeitsverteilung erklären (siehe auch Korrespondenzsatz).

Bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit und Restlebedauer

Sieht man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung als Wahrscheinlichkeit an, dass ein Individuum stirbt oder ein Bauteil versagt, so ist man häufig an einer Neueinschätzung der Überlebensdauer interessiert. Hat zum Beispiel eine Qualitätskontrolle ergeben, dass ein Bauteil zum Zeitpunkt $t_{0}$ noch arbeitet, so wird sich auf der Basis dieser Information die Einschätzung die Wahrscheinlichkeit verändern. Mittels der bedingten Wahrscheinlichkeit erhält man dann für die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

$P\left(X>t_{0}+t\mid X>t_{0}\right)={\frac {G(t+t_{0})}{G(t_{0})}}={\frac {1-F\left(t_{0}+t\right)}{1-F\left(t_{0}\right)}}$

und für die Restlebensdauer

$F\left(t+t_{0}\mid t_{0}\right)=P\left(X\leq t+t_{0}\mid X>t_{0}\right)={\frac {F\left(t+t_{0}\right)-F\left(t_{0}\right)}{1-F\left(t_{0}\right)}}$

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de