Kritischer Wert (Statistik)

Ein kritischer Wert ist in der Testtheorie derjenige Schwellenwert, der den Ablehnbereich (synonym: kritischer Bereich) vom Nicht-Ablehnungsbereich trennt. Weitere Details sind im Artikel Statistischer Test benannt.

Beispiel: einseitiger t-Test

Da die Teststatistik eine Zufallsvariable ist, kann ihre Realisierung (die Prüfgröße) unter- oder oberhalb des kritischen Werts liegen. Liegt sie oberhalb des kritischen Werts, so wird die Nullhypothese verworfen.

Bei einem einseitigen Einstichproben-t-Test mit dem Ablehnbereich

$A:=\left(t_{1-\alpha ;n-1},\infty \right)$

ist der kritische Wert $t_{1-\alpha ;n-1}$ das $(1-\alpha )$ -Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. Der kritische Wert ist der Berührungspunkt zwischen dem Ablehnbereich $(t_{1-\alpha ;n-1},\infty )$ und dem Annahmebereich $(-\infty ,t_{1-\alpha ;n-1}]$ . Liegt die Prüfgröße t, das ist eine Realisierung einer Teststatistik T, im Ablehnbereich, ist t also größer als der kritische Wert, so wird die Nullhypothese dieses Tests abgelehnt, anderenfalls nicht abgelehnt. Die nebenstehende Abbildung verdeutlicht dies.

Bei einer Testdurchführung, die auf dem p-Wert basiert, ist der p-Wert genau dann kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau $\alpha$ , wenn die Prüfgröße t im Ablehnbereich liegt, das bedeutet hier, dass t größer als der kritische Wert ist.

Beispiel: zweiseitiger t-Test

Darstellung der Trennschärfe und der Fehlerwahrscheinlichkeit erste Art eines statistischen Tests bei gegebener Nullhypothese (sampling distribution 1) und Alternativhypothese (sampling distribution 2).

Bei einem zweiseitigen Einstichproben-t-Test setzt sich der Ablehnbereich

$A:=\left(-\infty ,-t_{1-\alpha /2;n-1}\right)\cup \left(t_{1-\alpha /2;n-1},\infty \right)$

aus zwei Teilintervallen zusammen. Dabei bezeichnet $t_{1-\alpha /2;n-1}$ das $(1-\alpha /2)$ -Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden. Es gibt in diesem Fall die zwei kritischen Werte $k_{1}=-t_{1-\alpha /2;n-1}$ und $k_{1}=t_{1-\alpha /2;n-1}$ , die den Ablehnbereich vom Annahmebereich $[k_{1},k_{2}]$ trennen. Die Nullhypothese dieses Tests wird abgelehnt, wenn die Prüfgröße t im Ablehnbereich liegt, wenn also entweder $t<k_{1}$ oder $t>k_{2}$ gilt.

In der zweiten Abbildung ist, zusammengesetzt aus zwei blauen Teilflächen, die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art, d. h. die Ablehnwahrscheinlichkeit bei Richtigkeit der Nullhypothese, für den Fall einer zweiseitigen Alternativhypothese dargestellt. Die rot schraffierte Fläche unter der roten Dichtefunktion über dem Ablehnbereich verdeutlicht eine Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art und damit einen Wert der Trennschärfe (Power) des Tests. Ein zweiter, in diesem Fall sehr kleiner, Teil der Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art wird durch die Fläche unter der roten Dichtefunktion über dem linken Teil des Ablehnbereichs beigetragen, ist aber in dieser Graphik nicht sichtbar. Häufig, wie auch in den beiden angegebenen Beispielen von Ablehnbereichen, kann im Fall einer einfachen Nullhypothese der Ablehnbereich so gewählt werden, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art und das vorgegebene Signifikanzvniveau übereinstimmen.

Basierend auf einem Artikel in:

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