Eulersche Zahlen

Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge $\,E_{n}$ ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

$\operatorname {sech}(x)={\frac {1}{\cosh(x)}}={\frac {2}{e^{x}+e^{{-x}}}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}E_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$

definiert sind. Sie sind nicht zu verwechseln mit den zweiparametrigen Euler-Zahlen E(n,k).

Zahlenwerte

Die ersten Eulerschen Zahlen $E_{n}$ ≠ 0 lauten

	$E_{n}$
0	1
2	−1
4	5
6	−61
8	1385
10	−50521
12	2702765
14	−199360981
16	19391512145
18	−2404879675441
20	370371188237525

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E₀ bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest −1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren $(-1)^{n}E_{{2n}}$ entsprechen.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

$E_{{2n}}\sim (-1)^{n}\,8\,{\sqrt {{\frac {n}{\pi }}}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{{2n}}=(-1)^{n}{\frac {{\sqrt e}}{2}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{{2n+{\frac 12}}}$

oder präziser

${\frac {E_{{2n}}}{(2n)!}}\sim 2\,(-1)^{n}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{{2n+1}}$

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

Rekursionsgleichung

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert $E_{0}=1$ lautet

$\forall \,n\in \mathbb{N} \colon \quad (E+1)^{n}+(E-1)^{n}=0$

wobei $E^{n}$ als $E_{n}$ zu interpretieren ist und woraus

$\forall \,n\in \mathbb{N} \colon \quad \sum _{{k=0}}^{n}\left(1+(-1)^{{n-k}}\right){n \choose k}E_{{k}}=0$

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

$\forall \,n\in \mathbb{N} \colon \quad E_{n}=-\sum _{{k=1}}^{{\lfloor n/2\rfloor }}{n \choose 2k}E_{{n-2k}}$

folgt.

Geschlossene Darstellungen

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt

$\forall \,n\in \mathbb{N} _{0}\colon \quad E_{{2n}}={\frac {(2n)!\,2^{{2n+2}}}{(-1)^{n}\pi ^{{2n+1}}}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{{2n+1}}}}={\frac {(2n)!\,2}{(-1)^{n}(2\pi )^{{2n+1}}}}\left(\zeta (2n+1,{\tfrac 14})-\zeta (2n+1,{\tfrac 34})\right)$

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion $\zeta$ falls $n\not =0$ ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

$E_{{2n}}=4^{{2n+1}}\zeta (-2n,{\tfrac 14})$

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf $\mathbb {C} \setminus \{1\}$ holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch

$E_{{2n}}=-4^{{2n+1}}{\frac {B_{{2n+1}}({\tfrac 14})}{2n+1}}$

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-Polynomen $B_{n}(x)$ und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt. Außerdem gilt

$E_{{2n}}={\frac {(-1)^{n}4^{{n+1}}(2n)!}{\pi ^{{2n+1}}}}\cdot \beta (2n+1),$

wobei $\beta (s)$ die Dirichletsche Betafunktion bezeichnet.

Eulersche Polynome

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome ${\text{E}}_{n}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ werden meistens durch ihre erzeugende Funktion

${\frac {2e^{{xt}}}{e^{t}+1}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }{\text{E}}_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}$

implizit definiert. Die ersten lauten

${\text{E}}_{0}(x)=1$

${\text{E}}_{1}(x)=x-{\tfrac 12}$

${\text{E}}_{2}(x)=x^{2}-x=x(x-1)$

${\text{E}}_{3}(x)=x^{3}-{\tfrac 32}x^{2}+{\tfrac 14}={\tfrac 14}(2x-1)(2x^{2}-2x-1)$

${\text{E}}_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x=x(x-1)(x^{2}-x-1)$

${\text{E}}_{5}(x)=x^{5}-{\tfrac 52}x^{4}+{\tfrac 52}x^{2}-{\tfrac 12}={\tfrac 12}(2x-1)(x^{2}-x-1)^{2}$

${\text{E}}_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x=x(x-1)(x^{4}-2x^{3}-2x^{2}+3x+3)$

Man kann sie aber auch zu ${\text{E}}_{0}(x)=1$ und dann für $n\in \mathbb {N}$ über die Gleichung

${\text{E}}_{n}(x)=\int _{c}^{x}n{\text{E}}_{{n-1}}(t)\,{\text{d}}t$

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze für ungerades 1/2 ist und für gerades Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um ${\tfrac 12}$ , d.h.

${\text{E}}_{n}({\tfrac 12}+x)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}({\tfrac 12}-x)\qquad {bzw.}\qquad {\text{E}}_{n}(x+1)=(-1)^{n}{\text{E}}_{n}(-x)$

und ihre Funktionswerte an den Stellen ${\tfrac 12}$ und $0$ der Beziehung

${\text{E}}_{n}({\tfrac 12})=2^{{-n}}E_{{n}}$

und

${\text{E}}_{{n-1}}(0)=(2^{{n+1}}-2){\frac {B_{{n}}}{n}}$

genügen, wobei $B_{n}$ die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

${\text{E}}_{n}(x+1)+{\text{E}}_{n}(x)=2x^{n}$

Das Eulersche Polynom ${\text{E}}_{n}$ hat für n > 5 weniger als n reelle Nullstellen. So hat zwar ${\text{E}}_{5}$ fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon ${\text{E}}_{6}$ nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei $R(n)=\{x\in \mathbb{R} \colon {\text{E}}_{n}(x)=0\}$ die Nullstellenmenge. Dann ist

$-{\tfrac 12}|R(n)|+1\leq \min R(n)\leq \max R(n)\leq {\tfrac 12}|R(n)|$

– wobei im Fall n=5 die Anzahl |R(5)| als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

$\lim _{n\to \infty }{\frac {|R(n)|}{n}}={\frac {2}{\pi e}}\approx 0{,}2342$

wobei die Funktion $|\cdot |$ angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

Vorkommen

Taylorreihen

Die Folge der Eulerschen Zahlen $E_{n}$ tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}}={\frac {1}{\cosh({\mathrm {i}}\,x)}}=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}(-1)^{n}E_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}$

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen $B_{n}$ was man auch an der Darstellung

$\operatorname {csch}(x)={\frac {1}{\sinh(x)}}=\sum _{{n=0}}^{\infty }(2-2^{n})B_{n}{\frac {x^{{n-1}}}{n!}}$

erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei ${\tfrac {\pi }{2}}$ – von ${\tfrac {\pi }{2}}$ > folgt aus dem Wurzelkriterium das $\limsup \log |{\tfrac {E_{n}}{n!}}|\sim n\log \left({\tfrac 2\pi }\right)$ asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

Integrale

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}}\,dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{{n+1}}$ .

Permutationen

Die Eulerschen Zahlen kommen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{{2n}}$ , so dass diese Permutation kein Tripel $a_{{j-1}},a_{j},a_{{j+1}}$ mit 1<j<2n enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl $A_{{2n}}$ der alternierenden Permutationen von Elementen (die vergleichbar sind)

$A_{{2n}}=2|E_{{2n}}|$ ,

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl $n\in \mathbb{N} _{0}$ gilt

$A_{n}=2\,n!\,\alpha _{n}$

mit $\alpha _{0}=\alpha _{1}=1$ und

$\alpha _{n}={\frac 1{2n}}\sum _{{j=0}}^{{n-1}}\alpha _{j}\alpha _{{n-1-j}}$

für $n\geq 2$ , womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der $E_{2n}$ erhält. Für ungerades werden die Werte ${\tfrac {A_{n}}2}$ auch Tangentenzahlen genannt.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de