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Euler-Zahlen

Die nach Leonhard Euler benannte Euler-Zahl An,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als {\displaystyle E(n,k)} oder \textstyle {\bigl \langle }\!{n \atop k}\!{\bigr \rangle }, ist die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von {\displaystyle 1,\ldots ,n}, in denen genau k Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau k Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl {\displaystyle a(n,k)} die Anzahl der Permutationen von {\displaystyle 1,\ldots ,n} mit genau k maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: {\displaystyle a(n,k)=A_{n,k-1}}.

Euler-Dreieck

Wie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck können die Euler-Zahlen im Euler-Dreieck angeordnet werden (erste Zeile n=1, erste Spalte k=0; Folge A008292 in OEIS): 

                             1
                          1     1
                       1     4     1
                    1    11    11     1
                 1    26    66    26     1
              1    57    302   302   57     1
           1    120  1191  2416  1191   120    1
        1    247  4293  15619 15619 4293   247    1
     1    502  14608 88234 156190 88234 14608 502    1
  1    ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...    1

Dabei kann man mit der folgenden Rekursionsformel jeden Eintrag aus den beiden darüberstehenden berechnen:

A_{{n,k}}=(n-k)\,A_{{n-1,k-1}}+(k+1)\,A_{{n-1,k}}

für n>0 mit {\displaystyle A_{0,0}=1} und {\displaystyle A_{0,k}=0} für k\not =0. Auch die Konvention {\displaystyle A_{0,-1}=1} und {\displaystyle A_{0,k}=0} für {\displaystyle k\not =-1} wäre sinnvoll, sie ist bei der alternativen Definition üblich.

Eigenschaften

Direkt aus der Definition folgen {\displaystyle A_{n,0}=1} und {\displaystyle A_{n,n-1-k}=A_{n,k}} für n>0 und

\sum _{{k=0}}^{n}A_{{n,k}}=n!     für n\ge 0.

Aus den Binomialkoeffizienten können die Euler-Zahlen mit der Formel

A_{{n,k}}=\sum _{{i=0}}^{k}\,(-1)^{i}{\binom {n+1}{i}}(k+1-i)^{n}

für {\displaystyle n,k\geq 0} berechnet werden, insbesondere

Es gilt die Worpitzky-Identität (Julius Worpitzky 1883)

\sum _{{k=0}}^{n}A_{{n,k}}\,{\binom {x+k}{n}}=x^{n}

für n\ge 0, wobei x eine Variable und {\tbinom {x+k}{n}} ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist.

Eine erzeugende Funktion für A_{n,k} ist

\sum _{{n=0}}^{\infty }\sum _{{k=0}}^{n}A_{{n,k}}\,{\frac {t^{n}}{n!}}\,x^{k}={\frac {x-1}{x-e^{{(x-1)\,t}}}}\,.

Eine Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen {\displaystyle \beta _{m}} wird durch die alternierende Summe

\sum _{{k=0}}^{{m-1}}(-1)^{k}A_{{m-1,k}}={\frac {(-2)^{m}\,(2^{m}-1)}{m}}\,\beta _{m}

für m > 0 hergestellt.

Euler-Polynome

Euler-Zahlen als Koeffizienten von Euler-Polynomen

Das Euler-Polynom {\displaystyle A_{n}(x)} ist definiert durch

A_{n}(x)=\sum _{{k=0}}^{n}A_{{n,k}}\,x^{k}\,,

also

Aus den entsprechenden Gleichungen für die Euler-Zahlen erhält man die Rekursionsformel

A_{{n+1}}(x)=(1+n\,x)\,A_{n}(x)+x\,(1-x)\,A_{n}^{\prime }(x)

und die erzeugende Funktion

\sum _{{n=0}}^{\infty }A_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {x-1}{x-e^{{(x-1)\,t}}}}\,.
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Basierend auf einem Artikel in: Extern Wikipedia.de
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Datum der letzten Änderung:  Jena, den: 02.06. 2019