Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Das quadratische Reziprozitätsgesetz gibt, zusammen mit den beiden unten genannten Ergänzungssätzen, ein Verfahren an, um das Legendre-Symbol zu berechnen und damit zu entscheiden, ob eine Zahl quadratischer Rest oder Nichtrest einer (anderen) Zahl ist. Die Entdeckung des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Euler und der Beweis durch Gauß (Disquisitiones Arithmeticae 1801, er hatte aber bereits 1796 einen Beweis) waren die Ausgangspunkte der Entwicklung der modernen Zahlentheorie. Obwohl es elementare Beweise des Reziprozitätsgesetzes gibt, liegt dessen Wesen relativ tief, nämlich in der Primfaktorzerlegung in den Kreisteilungskörpern ${\mathbb {Q}}(\zeta )$ mit einer primitiven Einheitswurzel $\zeta$ . Gauß selbst hat mehrere methodisch verschiedene Beweise vorgelegt.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz macht Aussagen über die Lösbarkeit quadratischer Gleichungen in der modularen Arithmetik, die Frage nach der Lösbarkeit von Gleichungen höheren Grades führt auf die höheren Reziprozitätsgesetze, was eine der treibenden Kräfte der algebraischen Zahlentheorie seit Gauß war. Den Fall dritten Grades (kubisches Reziprozitätsgesetz) behandelte Gotthold Eisenstein, den Fall vierten Grades (biquadratisches Reziprozitätsgesetz) Gauß.

Aussage

Im Folgenden bezeichnet $\left({\frac {a}{p}}\right)$ mit einer ganzen Zahl und einer Primzahl das Legendre-Symbol.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz besagt, dass für zwei verschiedene ungerade Primzahlen und gilt:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}=\left\{{\begin{matrix}-1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} &p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}\\1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ p\equiv 1{\pmod {4}}\quad {\mbox{oder}}\quad q\equiv 1{\pmod {4}}{\mbox{)}}&\end{matrix}}\right.$

1. Ergänzungssatz: Für jede ungerade Primzahl gilt:

$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} &p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ p\equiv -1{\pmod {4}}{\mbox{)}}&\end{matrix}}\right.$

2. Ergänzungssatz: Für jede ungerade Primzahl gilt:

$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} &p\equiv \pm 1{\pmod {8}}\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ p\equiv \pm 3{\pmod {8}}{\mbox{)}}&\end{matrix}}\right.$

Rechenregel

Sind und zwei verschiedene ungerade Primzahlen, so gilt:

$\left({\frac {p}{q}}\right)={\begin{cases}-\left({\frac {q}{p}}\right)&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ p\equiv q\equiv 3{\pmod {4}}\\[0.5em]\left({\frac {q}{p}}\right)&{\text{sonst}}\end{cases}}$

Aus $\left({\frac {p}{q}}\right)\in \{\pm 1\}$ folgt nämlich $\left({\frac {p}{q}}\right)^{{-1}}=\left({\frac {p}{q}}\right)$ .

Beispiele

Es ist zu prüfen, ob die Kongruenz

$x^{2}\equiv 10{\pmod {13}}$

lösbar ist. Dazu berechnet man

$\left({\frac {10}{13}}\right)=\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {5}{13}}\right)$ (das Legendre-Symbol ist multiplikativ im oberen Argument).

Der erste Faktor lässt sich mit Hilfe des zweiten Ergänzungssatzes zu bestimmen. Um den zweiten Faktor zu berechnen, wendet man das Reziprozitätsgesetz an:

$\left({\frac {5}{13}}\right)=\left({\frac {13}{5}}\right)=\left({\frac {3}{5}}\right)=\left({\frac {5}{3}}\right)=\left({\frac {2}{3}}\right)=-1$

Hier wurde beim zweiten Gleichheitszeichen $13\equiv 3{\pmod {5}}$ verwendet, analog dazu $5\equiv 2{\pmod {3}}$ beim vorletzten.

Setzt man nun beide Faktoren zusammen, so ergibt sich

$\left({\frac {10}{13}}\right)=(-1)(-1)=1$

und damit weiß man, dass die obige Kongruenz eine Lösung besitzt. Die Lösung ist $x\equiv \pm 6{\pmod {13}}$ .

Es ist zu prüfen, ob die Kongruenz

$x^{2}\equiv 57{\pmod {127}}$

lösbar ist. Dazu berechnet man wieder

$\left({\frac {57}{127}}\right)=\left({\frac {3}{127}}\right)\left({\frac {19}{127}}\right)$

und kann wie oben die beiden Faktoren mit dem Reziprozitätsgesetz weiter vereinfachen:

$\left({\frac {3}{127}}\right)=(-1)\left({\frac {127}{3}}\right)=(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)=-1$ (im letzten Schritt wurde $\left({\frac {a^{2}}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)^{2}=1$ mit a=1

verwendet)

und

$\left({\frac {19}{127}}\right)=(-1)\left({\frac {127}{19}}\right)=(-1)\left({\frac {13}{19}}\right)=(-1)\left({\frac {19}{13}}\right)=(-1)\left({\frac {6}{13}}\right)$

$=(-1)\left({\frac {2}{13}}\right)\left({\frac {3}{13}}\right)=(-1)(-1)\left({\frac {13}{3}}\right)=(-1)(-1)\left({\frac {1}{3}}\right)=1$

Setzt man alles zusammen, so ergibt sich

$\left({\frac {57}{127}}\right)=(-1)\cdot 1=-1$

und damit die Erkenntnis, dass die obige Kongruenz keine Lösung besitzt.

Effiziente Berechnung des Legendre-Symbols

Der hier aufgezeigte Berechnungsweg besitzt den Nachteil, die Primfaktorzerlegung des Zählers des Legendre-Symbols bestimmen zu müssen. Es gibt ein effizienteres Verfahren, das ähnlich wie der Euklidische Algorithmus abläuft und ohne diese Faktorisierung auskommt. Dabei wird das Jacobi-Symbol, eine Verallgemeinerung des Legendre-Symbols, benutzt, für das das quadratische Reziprozitätsgesetz immer noch gültig ist.

Siehe auch

Lemma von Zolotareff, eine Beweisvariante für das quadratische Reziprozitätsgesetz mit Hilfe von Permutationen

Literatur

K. Chandrasekharan: Introduction to Analytic Number Theory. Springer Verlag, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 148, ISBN 3540041419

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de