Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definitionen

Symplektische Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit $(X,\omega)$ ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur , welche mit der symplektischen Form $\omega$ kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

$g(u,v)=\omega (u,Jv)$

auf dem Tangentialraum von an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Komplexe Sichtweise

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer hermitischen Metrik dessen zugehörige 2-Form $\omega$ ist geschlossen. Genauer gesagt, gibt eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum an jedem Punkt von und die 2-Form $\omega$ ist definiert durch

$\omega (u,v)=\operatorname {Re} h(iu,v)=\operatorname {Im} h(u,v)$

für Tangentialvektoren und . Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik angesehen werden definiert durch

$g(u,v)=\operatorname {Re} h(u,v).$

Riemannsche Sichtweise

Sei eine glatte Mannigfaltigkeit, $J\colon TM\to TM$ eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung $J\colon TM\to TM$ mit $J^{2}=-Id$ und $g\colon {\mathcal {V}}(M)\times {\mathcal {V}}(M)\to C^{{\infty }}(M;{\mathbb {R}})$ eine riemannsche Metrik, wobei ${\mathcal {V}}(M)$ den Raum der glatten Vektorfelder auf bezeichnet. Das Tripel (M,J,g) heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

für alle Vektorfelder $X,Y\in {\mathcal {V}}(M)$ gilt und

$\omega (X,Y):=g(JX,Y)$ eine symplektische Form

ist. Die 2-Form $\omega$ heißt dann die Kähler-Form von .

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Hogde-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension N, ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten -Formen als $\Delta _{d}:=dd^{*}+d^{*}d$ definiert, wobei die äußere Ableitung und $d^{*}:=-(-1)^{Nr}\star d\star$ ist und $\star$ den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermetische Mannigfaltigkeit werden und $d^{*}$ zerlegt als

$d=\partial +{\bar {\partial }},\ \ \ \ d^{*}=\partial ^{*}+{\bar {\partial }}^{*},$

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

$\Delta _{\bar {\partial }}:={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }:=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .$

Wenn Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

$\Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }}=2\Delta _{\partial }.$

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit die Gleichheit

${\mathcal {H}}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}}^{p,q}(X)$

gilt, wobei ${\mathcal {H}}^{r}$ der Raum harmonischer -Formen auf (Formen $\alpha$ mit $\Delta \alpha =0$ ) und ${\mathcal {H}}^{p,q}$ der Raum harmonischer (p,q) -Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform $\alpha$ harmonisch ist, wenn alle ihre (p,q) -Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit , gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie $H^{r}(X,\mathbb {C} )$ von mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

$H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Omega ^{p}).$

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele

Der komplexe Raum $\mathbb {C} ^{n}$ .
Ein kompakt komplexer Torus $\mathbb {C} \setminus \Lambda$ .
Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
Der komplex-projektive Raum $\mathbb {C} P^{n}$ und projektive Varietäten $X\subset \mathbb {C} ^{n}$ .
Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
Hermetisch symmetrische Räume.
Jede K-3 Oberfläche ist Kähler.
Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.

Siehe auch

Fastkomplexe Mannigfaltigkeit

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de