Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf riemannsche Mannigfaltigkeit definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Definition

Sei (M,g) eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, $\pi \colon E \to M$ ein hermitesches Vektorbündel und $H \colon \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)$ ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

$\sigma_H^2(x,\xi) = \|\xi\|^2$

für $x\in M$ und $\xi \in T^*_xM$ gilt. Die Norm wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

Beispiele

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition (M,g) eine -dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\pi \colon E \to M$ ein Vektorbündel.

Laplace-Beltrami-Operator

Definition

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

$\Delta f := \operatorname{div} (\operatorname{grad} f ).$

für zweimal stetig differenzierbare Funktionen $f\colon M \to \R$ . Dabei bezeichnet $\operatorname{grad} f$ den Gradienten der Funktion , ein Vektorfeld auf . Die Divergenz eines Vektorfeldes auf an der Stelle $p\in M$ ist definiert als die Spur der linearen Abbildung $\nabla X\colon T_pM \to T_p M$ , $\xi \mapsto \nabla_\xi X$ , wobei $\nabla$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf ist. Hat man als Definitionsbereich keine echte Mannigfaltigkeit, sondern eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ , so ist der Zusammenhang $\nabla$ die gewöhnliche Richtungsableitung und $\operatorname {div}$ die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Lokale Koordinaten

Es seien $(x_1, \dots, x_n)$ lokale Koordinaten auf und $\tfrac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \tfrac{\partial}{\partial x_n}$ die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit $g_{ij}$ für $1 \le i,j \le n$ seien die Komponenten der riemannschen Metrik bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten $\operatorname {grad}$ in lokalen Koordinaten lautet dann

$\operatorname{grad} f = \sum_{i,j} \left(g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x_j} \right) \frac{\partial}{\partial x_i}$ .

Hierbei ist $(g^{ij})$ die inverse Matrix der Matrix $(g_{ij})$ .

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds $\textstyle X = \sum\limits_i X^i \tfrac{\partial }{\partial x_i}$ ist

$\operatorname{div} X = \frac{1}{\sqrt{\det g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\sqrt {\det g} X^i\right)$ ,

wobei $\det g$ die Determinante der Matrix $(g_{ij})$ ist.

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

$\Delta f = \operatorname{div}(\nabla f) = \frac{1}{\sqrt {\det g}} \sum_{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i} \left(\sqrt{\det g}\, g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x_j} \right)$

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik . Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Hodge-Laplace-Operator

Sei $\textstyle \mathcal{A}(M) := \bigoplus_{i=1}^n \mathcal{A}^i(M)$ der Raum der Differentialformen über und $\mathrm{d} : \mathcal{A}^i(M) \to \mathcal{A}^{i+1}(M)$ die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit $\delta$ bezeichnet. Dann heißt der Operator

$\Delta := \mathrm{d} \delta + \delta \mathrm{d} = (\mathrm{d} + \delta)^2$

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Dirac-Laplace-Operator

Ein Dirac-Operator

$D : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)$

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt IMG class="text" style="width: 29.3ex; height: 3.17ex; vertical-align: -0.83ex;" alt="D^2 : \Gamma^\infty(M,E) \to \Gamma^\infty(M,E)" src="/svg/597eeb7a5965a19a5d74b26c516e0853b0f2519d.svg"> ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Bochner-Laplace-Operator

Definition

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang $\nabla^E \colon \Gamma(M,E) \to \Gamma(T^*M \otimes E)$ auf dem Vektorbündel definiert. Sei außerdem $\nabla^{T^*M} \colon \Gamma(M,T^*M) \to \Gamma(T^*M \otimes T^*M)$ der Levi-Civita-Zusammenhang und $\nabla^{T^*M \otimes E}$ der durch $\nabla^E$ und $\nabla^{T^*M}$ induzierte Zusammenhang auf dem Bündel $T^*M \otimes E$

dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch

$\Delta^E \cdot := - \operatorname{Tr}_g\left(\nabla^{T^*M \otimes E} \nabla^E \cdot \right)\,.$

definiert. Die Abbildung $\operatorname{Tr}_g$ ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

$\Delta^E := - (\nabla^E)^* \nabla^E.$

Dabei ist $(\nabla^E)^*$ der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik .

Lokale Darstellung

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen $e_1 , \ldots , e_n$ die Darstellung

$\Delta^E = - \sum_{i = 1}^n \left( \nabla^E_{e_i} \nabla^E_{e_i} - \nabla^E_{\nabla_{e_i}e_i}\right)\,.$

Eigenschaften

Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein geometrischer Differentialoperator der Ordnung zwei.
Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol $|\xi|^2$ hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten riemannschen Metrik auf der Mannigfaltigkeit und einer geeigneten hermiteschen Metrik auf dem Vektorbündel.
Sind $\phi, \psi \in \Gamma^{\infty}(M,E)$ glatte Schnitte, so gilt

$g(\Delta^E \phi,\psi) = g(\nabla^E\phi, \nabla^E \psi)$ .

Der Operator $\Delta^E$ ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich .
Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator bestimmt eindeutig einen Zusammenhang $\nabla^E$ auf dem Vektorbündel und einen Schnitt $B \in \Gamma^\infty(M,\operatorname{End}(E))$ , so dass $H = \Delta^E - B$ gilt, wobei $\Delta^E$ der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein.

Siehe auch

Vektorieller Laplace-Operator

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de