(LF)-Raum

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Definition

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum , für den es eine Folge $(E_{n})_{n}$ von Fréchet-Räumen gibt, so dass Folgendes gilt:

$E_{n}\subset E_{{n+1}}$ für alle $n\in {{\mathbb N}}$
Für jedes $n\in {{\mathbb N}}$ trägt $E_{n}$ die durch $E_{{n+1}}$ gegebene Teilraumtopologie.
ist die Vereinigung aller $E_{n}$ .
trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen $E_{n}\subset E$ stetig macht.

In dieser Situation nennt man $(E_{n})_{n}$ eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für . Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Manche Autoren schwächen die zweite Bedingung auch ab und fordern nur, dass die Inklusion von $E_{n}$ nach $E_{{n+1}}$ stetig ist. Für solche allgemeineren (LF)-Räume sind nicht alle unten angegebenen Eigenschaften automatisch erfüllt, insbesondere gibt es dann (LF)-Räume, die nicht vollständig sind.

Beispiele

Jeder Fréchet-Raum ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge $E_{n}=E$ wählen.

Sei $c_{{00}}$ der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man ${\mathbb {K} }^{n}$ mit dem Raum aller Folgen, die ab der (n+1) -ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist $({{\mathbb K}}^{n})_{n}$ eine darstellende Folge für den (LF)-Raum $c_{{00}}$ , der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf $c_{{00}}$ ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d.h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist $K\subset {{\mathbb R}}^{m}$ kompakt, so sei $C^{\infty }(K)$ der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in . Ist $\Omega \subset {{\mathbb R}}^{m}$ offen, so nennt den Raum ${{\mathcal D}}(\Omega ):=\bigcup \{C^{{\infty }}(K);\,K\subset \Omega \,\,{\text{kompakt}}\}$ den Raum der Testfunktionen auf $\Omega$ . ${{\mathcal D}}(\Omega )$ trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen $C^{{\infty }}(K)\subset {{\mathcal D}}(\Omega )$ stetig macht. Dann ist ${{\mathcal D}}(\Omega )$ ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge $(C^{\infty }(K_{n}))_{n}$ nehmen, wobei $(K_{n})_{n}$ eine Folge von kompakten Teilmengen in $\Omega$ ist, so dass jedes K_n im Inneren von $K_{{n+1}}$ liegt und $\Omega$ die Vereinigung dieser K_n ist. Die Topologie auf ${{\mathcal D}}(\Omega )$ ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften

Beschränkte Mengen

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge $(E_{n})_{n}$ gilt folgender Satz:

Eine Menge $B\subset E$ ist genau dann beschränkt, wenn es ein $n\in {{\mathbb N}}$ gibt, so dass $B\subset E_{n}$ und in $E_{n}$ beschränkt ist.

Stetigkeit

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum mit darstellender Folge $(E_{n})_{n}$ in einen anderen lokalkonvexen Raum lässt sich wie folgt charakterisieren:

Ein linearer Operator $T:E\rightarrow F$ ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen $T|_{{E_{n}}}:E_{n}\rightarrow F$ stetig sind.

Vollständigkeit

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist $(T_{\alpha })_{{\alpha \in I}}$ eine Familie stetiger linearer Operatoren $E\rightarrow F$ zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei (LF)-Raum sei, und ist $\{T_{\alpha }(x);\alpha \in I\}$ für jedes $x\in E$ beschränkt, so ist $(T_{\alpha })_{{\alpha \in I}}$ gleichstetig, d.h. zu jeder Nullumgebung $V\subset F$ gibt es eine Nullumgebung $U\subset E$ , so dass $T_{\alpha }(U)\subset V$ für alle $\alpha \in I$ .

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung $T:E\rightarrow F$ zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung $T:E\rightarrow F$ zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge $\Omega \subset {{\mathbb R}}^{m}$ als lineare Abbildung $T:{{\mathcal D}}(\Omega )\rightarrow {{\mathbb R}}$ , so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist $K\subset \Omega$ kompakt und ist $(f_{n})_{n}$ eine Folge in ${{\mathcal D}}(\Omega )$ , so dass jedes $f_{n}$ Träger in hat und so dass $f_{n}\to 0$ gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist $T(f_{n})\to 0$ .

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat, Folgenstetigkeit zu betrachten, denn ${{\mathcal D}}(\Omega )$ ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von auf $C^{\infty }(K)$ , $K\subset \Omega$ kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf ${{\mathcal D}}(\Omega )$ .

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum ${{\mathcal D}}(\Omega )$ definieren.

Literatur

K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de