Aleph-Funktion

Die Aleph-Funktion, benannt nach dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als $\aleph$ geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung aller unendlichen Kardinalzahlen.

Definition

Die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen ist unter Verwendung des Auswahlaxioms in der Klasse $\mathbf {On}$ der Ordinalzahlen enthalten, wobei jede Kardinalzahl $\kappa$ mit der kleinsten zu $\kappa$ gleichmächtigen Ordinalzahl identifiziert wird. Ferner ist das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen stets wieder eine Kardinalzahl. Daher gibt es genau einen Ordnungsisomorphismus $\aleph$ von $\mathbf {On}$ auf die Klasse der unendlichen Kardinalzahlen. Den Wert von $\aleph$ an der Stelle $\alpha$ bezeichnet man mit $\aleph _{\alpha }$ , das heißt $\aleph _{\alpha }$ ist die $\alpha$ -te unendliche Kardinalzahl.

Die Aleph-Funktion lässt sich mit transfiniter Rekursion wie folgt definieren:

$\aleph _{0}=|\omega |$ ist kleinste unendliche Ordinalzahl und damit auch kleinste unendliche Kardinalzahl,
$\aleph _{\alpha +1}=\min _{\kappa >\aleph _{\alpha }}\kappa$ , also die kleinste Kardinalzahl, die größer als $\aleph _{\alpha }$ ist,
$\aleph _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\aleph _{\alpha }$ für Limes-Ordinalzahlen $\lambda$ .

Eigenschaften

Die kleinste unendliche Kardinalzahl ist $\aleph _{0}$ , die Kardinalität der abzählbar unendlichen Mengen. Die Nachfolger-Kardinalzahl, das heißt die kleinste Kardinalzahl größer als $\aleph _{0}$ , ist $\aleph_1$ , und so weiter. Die Frage, ob $\aleph_1$ gleich der Mächtigkeit der Menge der reellen Zahlen ist, ist als Kontinuumshypothese bekannt.

Allgemein ist $\aleph _{\alpha }$ eine Nachfolger-Kardinalzahl, falls $\alpha$ eine Nachfolger-Ordinalzahl ist, anderenfalls eine Limes-Kardinalzahl.

Üblicherweise bezeichnet $\omega$ die kleinste unendliche Ordinalzahl. Diese ist gleich $\aleph _{0}$ , aber als Index für die Aleph-Funktion verwendet man lieber die Ordinalzahl-Schreibweise. $\aleph _{\omega }$ ist damit die kleinste Limes-Kardinalzahl und kann als $\sup _{n<\omega }\aleph _{n}$ geschrieben werden.

Es gilt stets $\alpha \leq \aleph _{\alpha }$ für alle Ordinalzahlen $\alpha$ . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen $\alpha$ , für die $\alpha =\aleph _{\alpha }$ gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge $\aleph _{0},\aleph _{{\aleph _{0}}},\aleph _{{\aleph _{{\aleph _{0}}}}},\ldots$ , der informal als $\aleph _{\aleph _{{}_{\ddots }}}$ dargestellt wird. Ebenso sind schwach unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Aleph-Funktion.

Siehe auch

Beth-Funktion

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de