Portmanteau-Theorem

Das Portmanteau-Theorem, auch Portmanteau-Satz genannt (alternative Schreibweise auch Portemanteau-Theorem bzw. Portemanteau-Satz) ist ein Satz aus den mathematischen Teilgebieten der Stochastik und der Maßtheorie. Es listet äquivalente Bedingungen für die schwache Konvergenz von Maßen und ihrem Spezialfall, der Konvergenz in Verteilung von Zufallsvariablen, auf. Diese Bedingungen sind in manchen Situationen einfacher nachzurechnen als die Definition der schwachen Konvergenz. Der Satz geht zurück auf eine Arbeit von Pawel Sergejewitsch Alexandrow aus dem Jahr 1940, wird aber in unterschiedlichsten Varianten unterschiedlicher Notation und Allgemeinheit formuliert und teils noch um eigenständige mathematische Sätze ergänzt.

Formulierungen

Das Portmanteau-Theorem besteht im Wesentlichen aus drei verschiedenen Typen von Aussagen:

Das Verhalten der Folgen von (Wahrscheinlichkeits)maßen auf bestimmten Mengen
Das Verhalten bei Erwartungswertbildung/Integration gewisser Funktionenklassen
Selbstständige mathematische Sätze, die in die Aufzählung mit eingereiht werden.

Diese werden je nach Autor

für endliche Maße, Wahrscheinlichkeitsmaße, Sub-Wahrscheinlichkeitsmaße oder als Verteilungen von Zufallsvariablen
auf unterschiedlichen Grundmengen wie $\mathbb {R}$ , dem $\mathbb {R} ^{n}$ , polnischen Räume oder metrischen Räumen
in der dem Themengebiet entsprechenden Notation (Erwartungswert vs Integral, vs. $\mu$ )

formuliert.

Dementsprechend sind viele unterschiedliche Formulierungen in der Literatur zu finden. Dieser Artikel enthält einerseits eine Formulierung für die Konvergenz in Verteilung reellwertiger Zufallsvariablen, welche die für die Stochastik wichtigsten Aussagen enthält. Die zweite Formulierung ist eine allgemeine, maßtheoretische. Sie kann durch entsprechende Einschränkungen auf Spezialfälle angepasst werden.

Abkürzungen und Vorbemerkungen

Wichtig für die Formulierung des Theorems sind die sogenannten $\mu$ -randlosen Mengen, auch $\mu$ -Stetigkeitsmengen genannt. Ist $\mu$ ein Borelmaß auf einem Hausdorff-Raum und der Borelschen σ-Algebra ${\mathcal B}$ , so heißt eine Menge eine $\mu$ -randlose Menge, wenn ihr Rand eine $\mu$ -Nullmenge ist. Es gilt dann also

$\mu (\partial B)=\mu ({\overline {B}}\setminus B^{\circ })=0$ ,

wobei ${\overline {B}}$ den Abschluss und $B^{\circ }$ das Innere der Menge bezeichnet.

Des Weiteren sei

$C_{b}^{g}(E)$ der Raum der gleichmäßig stetigen beschränkten Funktionen auf
$B(E)$ der Raum der beschränkten Funktionen auf
$\operatorname {Lip} (E)$ der Raum der Lipschitz-stetigen Funktionen auf
$U_{f}$ die Menge aller Unstetigeitsstellen der Funktion

Formulierung für Verteilungskonvergenz reeller Zufallsvariablen

Seien $X,X_{1},X_{2},\dotsc$ reellwertige Zufallsvariablen. Dann sind äquivalent:

Die $X_{n}$ konvergieren in Verteilung gegen
Die Verteilungsfunktionen $F_{X_{n}}$ konvergieren an jeder Stetigkeitsstelle von $F_{X}$ punktweise gegen $F_{X}$ (Satz von Helly-Bray).
Die charakteristischen Funktionen $\varphi _{X_{n}}$ konvergieren punktweise gegen $\varphi _{X}$ (Stetigkeitssatz von Lévy)
Es gilt für alle $f\in C_{b}^{g}(X)$ :

$\lim _{{n\to \infty }}\operatorname E(f\circ X_{n})=\operatorname E(f\circ X)$ .
Es ist $\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (X_{n}\in C)=\mathbb {P} (X\in C)$ für alle $P_{X}$ -randlosen Mengen.
Für alle offenen Mengen gilt

$\liminf _{n\to \infty }\mathbb {P} (X_{n}\in G)\geq \mathbb {P} (X\in G)$ .
Für alle abgeschlossenen Mengen gilt

$\limsup _{n\to \infty }\mathbb {P} (X_{n}\in A)\leq \mathbb {P} (X\in A)$ .

Maßtheoretische Formulierung

Gegeben sei ein metrischer Raum $(E,d)$ sowie die dazugehörige Borelsche σ-Algebra ${\mathcal {B}}$ . Für endliche Maße $\mu ,\mu _{n}$ auf dem Messraum $(E,{\mathcal {B}})$ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Die $\mu _{n}$ konvergieren schwach gegen $\mu$
Für alle $f\in C_{b}^{g}(E)$ gilt

$\lim _{n\to \infty }\int _{E}f\mathrm {d} \mu _{n}=\int _{E}f\mathrm {d} \mu$
Für alle $f\in B(E)\cap \operatorname {Lip} (E)$ gilt

$\lim _{n\to \infty }\int _{E}f\mathrm {d} \mu _{n}=\int _{E}f\mathrm {d} \mu$
Für alle messbaren $f\in B(E)$ mit $\mu (U_{f})=0$ gilt

$\lim _{n\to \infty }\int _{E}f\mathrm {d} \mu _{n}=\int _{E}f\mathrm {d} \mu$
Für jede $\mu$ -randlose Menge $R\in {\mathcal {B}}$ gilt

$\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(R)=\mu (R)$
Es ist $\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=\mu (E)$ und für jede offene Menge ist

$\liminf _{n\to \infty }\mu _{n}(U)\geq \mu (U)$ .
Es ist $\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=\mu (E)$ und für jede abgeschlossene Menge ist

$\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}(A)\leq \mu (A)$ .

Ist $(E,d)$ zusätzlich lokalkompakt und polnisch, so lässt sich die Liste um die folgenden beiden Aussagen erweitern:

Die $\mu _{n}$ konvergieren vage gegen $\mu$ und $\lim _{n\to \infty }\mu _{n}(E)=\mu (E)$
Die $\mu _{n}$ konvergieren vage gegen $\mu$ und $\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}(E)\leq \mu (E)$

Für endliche Maße auf $\mathbb {R}$ gilt außerdem zusätzlich:

Eine Folge von endlichen Maßen auf $\mathbb {R}$ konvergiert genau dann schwach gegen ein Maß $\mu$ , wenn eine reelle Folge $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ existiert, so dass die Folge von Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie) $(F_{n}-c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ schwach gegen die Verteilungsfunktion von $\mu$ konvergiert (Satz von Helly-Bray).

Weitere Formulierungen

Es existieren noch weitere äquivalente Formulierungen für die schwache Konvergenz. Teils finden sich noch weitere trennende Familien (differenzierbare Funktionen, Einschränkung der Eigenschaften durch Gültigkeit mit Ausnahme einer Nullmenge etc.) Nicht alle sind hier mit aufgezählt.

Des Weiteren existieren noch äquivalente Formulierungen der schwachen Konvergenz, die meist nicht in das Theorem mit aufgenommen werden. Dazu zählt beispielsweise die Metrisierung der entsprechenden Topologie mittels der Prochorow-Metrik oder Straffheitskriterien für die Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen.

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de