Beschränkte Abbildung

Als eine beschränkte Abbildung oder eine beschränkte Funktion bezeichnet man in der Analysis und der Funktionalanalysis eine Abbildung, deren Bildmenge beschränkt ist. Beschränkte Abbildungen bilden einen normierten Vektorraum und enthalten viele weitere wichtige Mengen von Abbildungen wie die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger oder die beschränkten stetigen Funktionen.

Der Begriff der beschränkten Abbildung ist abzugrenzen von dem der beschränkten linearen Abbildung. Für diese Klasse von Abbildungen ist lediglich das Bild beschränkter Teilmengen wiederum beschränkt.

Definition

Allgemein heißt eine Abbildung

$f\colon X\to S$

beschränkt, wenn ihre Bildmenge $f(X)$ beschränkt ist. Konkreter bedeutet dies:

Ist eine reellwertige Funktion oder eine komplexwertige Funktion, so entspricht dies

$\sup\{|f(x)|\;|\;x\in X\}<\infty$ .

Anschaulich ist dann die Bildmenge der Funktion im reellwertigen Fall in einem endlichen Intervall oder im komplexwertigen Fall in einem in der komplexen Ebene liegenden Kreis enthalten.

Ist ein normierter Raum mit Norm $\|\cdot \|_{S}$ so entspricht dies

$\sup\{\|f(x)\|_{S}\;|\;x\in X\}<\infty$ .

Ist ein metrischer Raum und so entspricht dies

$\operatorname {diam} (f(X))=\sup\{d(f(x),f(y))\;|\;x,y\in X\}<\infty$ .

Insbesondere werden keine Anforderungen an die Struktur der Definitionsmenge gestellt.

Die Menge aller beschränkten Abbildungen von nach wird mit $B(X;S)$ bezeichnet oder mit $B(X)$ , falls $S=\mathbb {C}$ oder $S=\mathbb {R}$ oder falls aus dem Kontext ersichtlich ist.

Beispiele

Beschränkte Folgen sind beschränkte Funktionen von $\mathbb {N}$ nach beispielsweise $\mathbb {R}$ oder einen allgemeinen metrischen Raum.

Die Sinusfunktion $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad f(x):=\sin(x)$ ist beschränkt, da $|\sin(x)|\leq 1$ für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt.

Ist $f\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, so ist sie auch beschränkt. Denn als stetige Funktion auf dem Kompaktum [0,1] nimmt ein Maximum und ein Minimum an und es gilt $f([0,1])\subseteq [\min f,\max f]$ .

Das vorangehende Beispiel ist ein Spezialfall der folgenden Tatsache: Ist ein kompakter topologischer Raum und ein metrischer Raum, so ist jede stetige Abbildung beschränkt. Aufgrund der Stetigkeit existiert zu jedem Punkt $x\in K$ ein $\varepsilon _{x}>0$ , so dass die Inklusion

$f(B_{\varepsilon _{x}}(x))\subset B_{1}(f(x))$

gilt. Die so definierte offene Überdeckung $(B_{\varepsilon _{x}}(x))_{x\in K}$ besitzt aufgrund der Kompaktheit von aber eine endliche Teilüberdeckung mit $(B_{\varepsilon _{x_{i}}}(x_{i}))_{i=1,\dots ,n}$ und damit folgt

$f(K)\subset \bigcup _{i=1}^{n}B_{1}(f(x_{i}))$ .

Also ist beschränkt.

Ein Beispiel für eine unstetige beschränkte Funktion bildet die Dirichlet-Funktion.

Struktur

Trägt die Struktur eines Vektorraumes, so kann man die Addition und die Skalarmultiplikation in $B(X;S)$ punktweise definieren,

$(f+g)(x):=f(x)+g(x)$ sowie $(\lambda f)(x):=\lambda f(x){\text{ für alle }}x\in X$ ,

wodurch die Menge der beschränkten Abbildungen auf natürliche Weise zu einem Vektorraum wird.

Ist ein normierter Raum, so lässt sich eine Norm auf $B(X;S)$ erklären durch

$\|f\|_{B(X,S)}:=\sup _{x\in X}\|f(x)\|_{S}$ ,

wobei $\|\cdot \|_{S}$ die Norm auf bezeichnet. Dies ist genau die Supremumsnorm, sie wird dementsprechend auch mit $\|\cdot \|_{\infty }$ oder $\|\cdot \|_{\operatorname {sup} }$ bezeichnet, wenn alle beteiligten Räume klar sind.

Ist außerdem ein Banachraum, also vollständig, so ist auch $B(X;S)$ ein Banachraum.

Ist ein kompakter Raum, so ist jede stetige Abbildung beschränkt. Es gilt dann die Inklusion

$C(X,S)\subset B(X,S)$ .

Ist kompakt und ein Banachraum, so bilden die stetigen Funktionen einen abgeschlossenen Unterraum der beschränkten Funktionen.

Wichtige Unterräume der beschränkten Abbildungen mit Werten in $\mathbb {K}$ sind

die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger $C_{c}(X)$ ,
die stetigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden $C_{0}(X)$ und
die beschränkten stetigen Funktionen $C_{b}(X)$ .

Es gelten dann die Inklusionen

$B(X)\supset C_{b}(X)\supset C_{0}(X)\supset C_{c}(X)$ .

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de