Hausdorff-Maß

Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer -dimensionalen Fläche im -dimensionalen Raum $\mathbb {R} ^{n}$ (mit m < n ) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten) -dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ .)

Das bekannteste dieser Maße ist das -dimensionale Hausdorff-Maß $\mathcal{H}^m$ , benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das -dimensionale sphärische Maß $\mathcal{S}^m$ erläutert werden.

Definition des sphärischen Maßes

Zu einer Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ betrachtet man die Größen

$\mathcal{S}^m_\varepsilon(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \alpha(m)\left(\frac{1}{2}\,\operatorname{diam}(B_i)\right)^m\right|\left.A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i;\;B_i\text{ Kugel im }\R^n;\; \operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon\right\}$

für $\varepsilon >0$ , wobei das Infimum über alle Überdeckungen $(B_{i})_{{i\in \mathbb{N} }}$ von durch abzählbar viele -dimensionale Kugeln $B_{1},B_{2},$ … im $\mathbb {R} ^{n}$ mit Durchmessern (Diametern) $\operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon$ gebildet wird. Hierbei ist $\alpha (m)$ das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im $\mathbb {R} ^{m}$ , gleichbedeutend mit dem -dimensionalen Flächeninhalt des -dimensionalen Einheitskreises im $\mathbb {R} ^{n}$ . Der Formfaktor $\alpha (m)$ sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden $\alpha(m)(\operatorname{diam}(B_i)/2)^m$ sind gerade die -dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln B_i mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden -dimensionalen Ebenen im $\mathbb {R} ^{n}$ .

Das -dimensionale sphärische Maß von wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

$\mathcal{S}^m(A)=\lim_{\varepsilon\to0}\mathcal{S}^m_\varepsilon(A).$

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der -dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche .

Definition des Hausdorff-Maßes

Zur Definition des Hausdorff-Maßes $\mathcal{H}^m$ gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von $B\subset \mathbb{R} ^{m}$ ist definiert durch

$\operatorname{diam}(B)=\sup\,\left\{|x-y|\,:\,x,y\in B\right\}$

für $B\neq \emptyset$ und $\operatorname{diam}(\O)=0$ , und man setzt entsprechend für $A\subset \mathbb{R} ^{n}$

$\mathcal{H}^m_\varepsilon(A)=\inf\left\{\sum_{i=1}^\infty \alpha(m)\left(\frac{1}{2}\operatorname{diam}(B_i)\right)^m\right|\left.A\subset\bigcup_{i=1}^\infty B_i;\;B_i\subset\R^n;\; \operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon\right\},$

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen $(B_{i})_{{i\in \mathbb{N} }}$ von durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen $B_{1},B_{2},$ … des $\mathbb {R} ^{n}$ mit $\operatorname{diam}(B_i)<\varepsilon$ . Schließlich definiert man

$\mathcal{H}^m(A)=\lim_{\varepsilon\to0}\mathcal{H}^m_\varepsilon(A)$

das metrische äußere Maß $\mathcal{H}^m$ , das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß $\mathcal{H}^m$ .

Die Ausdrücke $\mathcal{S}^m_\varepsilon$ und $\mathcal{H}^m_\varepsilon$ sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang $\varepsilon$ gegen 0 – jedoch liefern die beiden Maße $\mathcal{S}^m$ und $\mathcal{H}^m$ bei den rektifizierbaren (den „anständigen“) -dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung

$\mathcal{H}^m\le \mathcal{S}^m\le[2n/(n+1)]^{m/2}\mathcal{H}^m.$

Zusammenhang mit der Flächenformel

Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche A=f(G) mit einem Gebiet $G\subset {\mathbb R}^{m}$ und einer injektiven differenzierbaren Funktion $f\colon G\to \mathbb {R} ^{n}$ findet die Flächenformel Anwendung:

$\mathcal{H}^m(A)=\int_G\sqrt{\det(Df\,^tDf)}\,\mathrm{d}\mathcal{L}^m.$

Dabei ist ${\sqrt {\det(Df\,^{t}Df)}}$ die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von , und $\mathcal{L}^m$ bezeichnet das -dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im $\mathbb {R} ^{m}$ .

Verallgemeinerungen

Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“ die obigen Definitionen von $\mathcal{S}^m$ und $\mathcal{H}^m$ mit $\alpha (m)=\Gamma (1/2)^{m}/\Gamma (1+m/2)$ , wobei $\Gamma$ die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl mit $\mathcal{H}^s(A)=\infty$ für alle und $\mathcal{H}^s(A)=0$ für alle . Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen $\mathcal{H}^m$ und $\mathcal{S}^m$ bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}$ mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
Die Definition des -dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des $\mathbb {R} ^{n}$ ; das Gleiche gilt für das -dimensionale sphärische Maß. (Es wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Diameters durch die zugrundeliegende Metrik ersetzt, genauer: aus wird )

Basierend auf einem Artikel in:

Wikipedia.de